材料力学-第9章-能量法课件

第九章能量法MechanicsofMaterials

材料力学第九章能量法MechanicsofMateria第九章能量法§9-1概述§9-2杆件变形能的计算§9-3互等定理§9-4单位荷载法莫尔定理§9-5卡氏定理§9-6计算莫尔积分的图乘法

第九章能量法§9-1概述§9-2杆件变形能的计算§9-§9-1概述在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量方法三、变形能二、外力功固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.§9-1概述在弹性范围内,弹性体在外力作用可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.

Vε=W四、功能原理可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均§9-2杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1.轴向拉压的变形能当轴力或截面发生变化时:当轴力或截面连续变化时：应变能密度（比能）:§9-2杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1.轴2.扭转杆内的变形能或纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变形能2.扭转杆内的变形能或纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变形能4.组合变形的变形能截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.4.组合变形的变形能截面上存在几种内力,各个

二、变形能的普遍表达式F--广义力包括力和力偶δ--广义位移包括线位移和角位移B'C'F3BCF2AF1二、变形能的普遍表达式F--广义力δ--广义位移B'C'假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如

2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也是线性的.假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功i三、变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原理计算变形

三、变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,F2（1）设在线弹性结构上作用力1,2一、功的互等定理§9-3互等定理12F1F2两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,FF1F212F1和F2完成的功应为（2）在结构上再作用有力F3,F4

沿F3和F4方向的相应位移为3,4F334F4F3和F4完成的功应为F1F212F1和F2完成的功应为（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位移F1和F2在1´和2´上完成的功应为F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,结构的应变能为1´和2´（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故F1F21234F4F3若按先加F3功的互等定理:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理若第一组力F1,第二组力只有F3,则如果F1=

F3,则有位移互等定理：

F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移.功的互等定理:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功三、注意（1）力和位移都应理解为广义的.（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形引起的位移.三、注意（1）力和位移都应理解为广义的.§9-4单位荷载法莫尔定理一、莫尔定理的推导求任意点A的位移wA

F1F2A§9-4单位荷载法莫尔定理一、莫尔定理的推导

A图b变形能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1（1）先在A点作用单位力F0,再作用F1,F2力A图b变形能为aA图F1F2=1F0AF1F（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:变形能:（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:变形能桁架：桁架：二、普遍形式的莫尔定理注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.二、普遍形式的莫尔定理注意:上式中Δ应看成广三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍及整个结构.（1）M(x)：结构在原载荷下的内力;（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M(x)三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力:F1,F2,,Fi,相应的位移为：

1,

2,,i

,§9-5卡氏定理F1F2F3结构的变形能213设弹性结构在支座的约束下无任何刚只给Fi一个增量

Fi.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为213F1F2F3在作用Fi的过程中,Fi完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为只给Fi一个增量Fi.如果把原来的力看作第一组力,而把

Fi

看作第二组力.根椐互等定理略去高阶微量或者当Fi

趋于零时,上式为这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem)如果把原来的力看作第一组力,而把Fi（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明：（2）Fi

为广义力，i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明：（3）卡氏第二定理的应用（a）轴向拉、压（b）扭转（c）弯曲（3）卡氏第二定理的应用（a）轴向拉、压（4）平面桁架（5）组合变形（4）平面桁架（5）组合变形§9-6计算莫尔积分的图乘法

在等直杆的情况下,莫尔积分中的EI,GIP,EA为常量,可提到积分号外面,只需计算:§9-6计算莫尔积分的图乘法在等直杆的情

因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的图一般是由直线或折线组成.M(x)图一般是曲线.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM因为是由单位力或ωxCCM(x)xxl设在杆长为l的一段内M(x)图是曲线设直线方程是M(x)是直线,为l段内图M(x)的面积ωωxCCM(x)xxl设在杆长为l的一段M(x)xlxωxCCC

为图M(x)的形心,xC为其坐标为图M(x)对y轴坐标的静矩是和M(x)图的形心对应处的M(x)的值.M(x)xlxωxCCC为图M(x)的形心,xC为其坐标为M(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积ω

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替MC当M图为正弯矩时,ω应代以正号.当M图为负弯矩时,ω应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.MCM(x)xlxωxcC对于等直杆有b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而为折线,则应以折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和.M(x)注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而质点和质点系的虚位移原理:质点和质点系处于平衡状态的充要条件是,作用在其上的力对于虚位移所作的总功为零.§9-7虚功原理一、虚功原理作用在杆件上的力分为外力和内力外力:荷载和支座反力内力:截面上各部分间的相互作用力对于处于平衡状态的杆件,其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零.质点和质点系的虚位移原理:质点和质点系处于平外力虚功内力虚功杆件的约束条件:（1）支座约束条件（2）各单元体变形的几何相容条件杆件在荷载作用下所发生的位移都满足上述两类约束条件,且为微小量,即符合虚位移的基本要求.所以,可以把杆件由荷载作用产生的微小实位移当作虚位移.外力虚功内力虚功杆件的约束条件:梁上荷载:F1,F2,

F3,

F4,

RA,RB给梁任一虚位移,荷载作用点沿其作用方向的相应虚位移（支座处没有虚位移）为1,2,3,4（1）梁的外力虚功1234AlBF4F1F2F3RARB外力虚功为梁上荷载:F1,F2,F（2）梁的内力虚功弯矩虚功dx（受拉）MM+dMF4F1F2F3RAAlRBBdxFSMFS+dFSM+dMdx（2）梁的内力虚功弯矩虚功dx（受拉）Mdx剪力虚功F4F1F2F3RAAlRBBdxdxFSMFS+dFSM+dMdx剪力虚功F4F1F2F3RAAlRBBdxdxFSMFS（1）该微段的外力虚功M,FS应看作该微段的外力该微段的外力虚功为（略去二阶小量）（1）该微段的外力虚功M,FS应看作该微（2）该微段的内力虚功dWi由该微段的虚位移原理（3）梁的内力虚功梁的虚位移原理为（2）该微段的内力虚功dWi由该微段的虚位移原理（3）梁的若横截面上不仅有弯矩M和剪力FS,还有轴力FN和扭矩T,则杆的虚位移原理为（a）i

为Fi力作用点沿Fi方向的相应虚位移,d,d,d,d分别为与弯矩M,剪力FS,轴力FN和扭矩T相对应虚位移；（b）虚位移原理既不限定于线性问题,也不限定于弹性问题.若横截面上不仅有弯矩M和剪力FS,还有第九章结束第九章结束第九章能量法MechanicsofMaterials

材料力学第九章能量法MechanicsofMateria第九章能量法§9-1概述§9-2杆件变形能的计算§9-3互等定理§9-4单位荷载法莫尔定理§9-5卡氏定理§9-6计算莫尔积分的图乘法

第九章能量法§9-1概述§9-2杆件变形能的计算§9-§9-1概述在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性变形能,简称变形能.一、能量方法三、变形能二、外力功固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.§9-1概述在弹性范围内,弹性体在外力作用可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功.对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.

Vε=W四、功能原理可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内力均§9-2杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1.轴向拉压的变形能当轴力或截面发生变化时:当轴力或截面连续变化时：应变能密度（比能）:§9-2杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1.轴2.扭转杆内的变形能或纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变形能2.扭转杆内的变形能或纯弯曲横力弯曲3.弯曲变形的变形能4.组合变形的变形能截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.4.组合变形的变形能截面上存在几种内力,各个

二、变形能的普遍表达式F--广义力包括力和力偶δ--广义位移包括线位移和角位移B'C'F3BCF2AF1二、变形能的普遍表达式F--广义力δ--广义位移B'C'假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值.对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移,例如

2可表示为F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分别表示力F1,F2,F3在C点引起的竖向位移.C1,C2,C3是比例常数.F3/F2在比例加载时也是常数F1/F2和2与F2之间的关系是线性的.同理,1与F1,3与F3之间的关系也是线性的.假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功i三、变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原理计算变形

三、变形能的应用1.计算变形能2.利用功能原两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,F2（1）设在线弹性结构上作用力1,2一、功的互等定理§9-3互等定理12F1F2两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,FF1F212F1和F2完成的功应为（2）在结构上再作用有力F3,F4

沿F3和F4方向的相应位移为3,4F334F4F3和F4完成的功应为F1F212F1和F2完成的功应为（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位移F1和F2在1´和2´上完成的功应为F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,结构的应变能为1´和2´（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故F1F21234F4F3若按先加F3功的互等定理:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理若第一组力F1,第二组力只有F3,则如果F1=

F3,则有位移互等定理：

F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移.功的互等定理:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功三、注意（1）力和位移都应理解为广义的.（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形引起的位移.三、注意（1）力和位移都应理解为广义的.§9-4单位荷载法莫尔定理一、莫尔定理的推导求任意点A的位移wA

F1F2A§9-4单位荷载法莫尔定理一、莫尔定理的推导

A图b变形能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1（1）先在A点作用单位力F0,再作用F1,F2力A图b变形能为aA图F1F2=1F0AF1F（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:变形能:（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:变形能桁架：桁架：二、普遍形式的莫尔定理注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.二、普遍形式的莫尔定理注意:上式中Δ应看成广三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍及整个结构.（1）M(x)：结构在原载荷下的内力;（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M(x)三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力:F1,F2,,Fi,相应的位移为：

1,

2,,i

,§9-5卡氏定理F1F2F3结构的变形能213设弹性结构在支座的约束下无任何刚只给Fi一个增量

Fi.引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为213F1F2F3在作用Fi的过程中,Fi完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为只给Fi一个增量Fi.如果把原来的力看作第一组力,而把

Fi

看作第二组力.根椐互等定理略去高阶微量或者当Fi

趋于零时,上式为这就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem)如果把原来的力看作第一组力,而把Fi（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明：（2）Fi

为广义力，i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明：（3）卡氏第二定理的应用（a）轴向拉、压（b）扭转（c）弯曲（3）卡氏第二定理的应用（a）轴向拉、压（4）平面桁架（5）组合变形（4）平面桁架（5）组合变形§9-6计算莫尔积分的图乘法

在等直杆的情况下,莫尔积分中的EI,GIP,EA为常量,可提到积分号外面,只需计算:§9-6计算莫尔积分的图乘法在等直杆的情

因为是由单位力或单位力偶引起的弯矩,故沿杆长方向的图一般是由直线或折线组成.M(x)图一般是曲线.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM因为是由单位力或ωxCCM(x)xxl设在杆长为l的一段内M(x)图是曲线设直线方程是M(x)是直线,为l段内图M(x)的面积ωωxCCM(x)xxl设在杆长为l的一段M(x)xlxωxCCC

为图M(x)的形心,xC为其坐标为图M(x)对y轴坐标的静矩是和M(x)图的形心对应处的M(x)的值.M(x)xlxωxCCC为图M(x)的形心,xC为其坐标为M(x)xlxωxcC对于等直杆有即积分可用M(x)图的面积ω

和与M(x)图形心C对应的的乘积来代替MC当M图为正弯矩时,ω应代以正号.当M图为负弯矩时,ω应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号.MCM(x)xlxωxcC对于等直杆有b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点二次抛物线b几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形CClh顶点lh顶点cN

次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4lh顶点cN次抛物线lh顶点c二次抛物线3l/4l/4注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而为折线,则应以折线的转折点为界,把积分分成几段,逐段使用图乘法,然后求其和.M(x)注意有时M(x)图为连续光滑曲线,而质点和质点系的虚位