第四章杆件横截面上的剪应力(共56张PPT)

第四章杆件横截面上的剪应力§4-1圆轴扭转时横截面上的剪应力受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的 力偶，力偶作用面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。CL5TU2第1页，共56页。外力偶矩的计算:

设某轮所传递的功率是NkW，轴的转速是nrpmCL5TU18第2页，共56页。第3页，共56页。第4页，共56页。GB3101-93中规定的数值方程式表示方法第5页，共56页。例：图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。CL5TU3扭矩和扭矩图:第6页，共56页。解：第7页，共56页。第8页，共56页。第9页，共56页。薄壁圆筒的扭转实验:CL5TU4第10页，共56页。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径第11页，共56页。

根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。第12页，共56页。剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。第13页，共56页。剪切胡克定律:CL5TU8第14页，共56页。薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。第15页，共56页。 剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ三个弹性常数之间存在着如下关系:第16页，共56页。圆轴扭转时的应力和变形:一、圆轴扭转时横截面上的应力 变形几何关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系CL5TU5第17页，共56页。观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度γ第18页，共56页。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。8，转速n=250r/m,功率N=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的误差不超过4.大许可扭矩为Ｔ1因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ三个弹性常数之间存在着如下关系:例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的倍？在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。CL5TU5第19页，共56页。CL5TU5第20页，共56页。解：设实心轴的直径为d1，由例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。圆轴扭转时的应力和变形:解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T变形特征：横截面绕轴线转动。例：图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300转/分。剪切弹性模量G例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。从三方面考虑：物理关系对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化第21页，共56页。根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 剪应力方向垂直于半径2.物理关系第22页，共56页。第23页，共56页。第24页，共56页。CL5TU9第25页，共56页。第26页，共56页。二、圆轴扭转时的变形CL5TU5第27页，共56页。第28页，共56页。圆轴扭转时的强度条件和刚度条件第29页，共56页。例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的

倍？圆轴的扭转角是原来的

倍？816第30页，共56页。例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿面上发生断裂，其破坏是由

应力引起的。在图上画出破坏的截面。CL5TU1045螺旋最大拉第31页，共56页。例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：由得：第32页，共56页。例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1，由得：第33页，共56页。例：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。第34页，共56页。解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的扭转理论可求得第35页，共56页。例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。第36页，共56页。解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、

D1，最大许可扭矩为Ｔ1第37页，共56页。例：一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m,功率N=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。解：第38页，共56页。例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。CL5TU12第39页，共56页。解：第40页，共56页。例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。解：第41页，共56页。例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90°变为88°。如杆长l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。CL5TU13第42页，共56页。解：由第43页，共56页。例：传动轴传递外力偶矩ｍ＝5kN·m,材料的[τ]=30MPa,G=80GPa,[θ]=0.5°/m,试选择轴的直径ｄ。解：第44页，共56页。例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。CL5TU14第45页，共56页。解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T第46页，共56页。例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。CL5TU15第47页，共56页。解：静力平衡方程为：变形协调条件为：即：第48页，共56页。圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设

的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。§4-2非圆截面杆扭转剪应力第49页，共56页。CL5TU20第50页，共56页。非圆截面杆在扭转时有两种情形:CL5TU21在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应力。第51页，共56页。扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。