课堂授课专题3：特殊函数的可视化课件

数学物理建模与计算机辅助设计专题3：特殊函数的可视化数学物理建模与计算机辅助设计专题3：特殊函数的可视化1Page2本专题主要内容与参考资料主要内容MATLAB涉及的特殊函数Γ函数(Gamma函数)勒让德(Legendre)函数球函数贝塞尔函数参考资料杨华军,数学物理方法,电子工业出版社彭芳麟,数学物理方程的MATLAB解法与可视化,清华大学出版社Page2本专题主要内容与参考资料主要内容2Page3MATLAB涉及的特殊函数查看方法-MATLAB中特殊函数的调用在命令窗口输入helpmatlab\specfunairy -Airyfunctions.爱里函数besselj-1stkindBesselfunction.第一类贝塞尔函数bessely-2ndkindBesselfunction.第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）besselh-3rdkindBesselfunctions.第三类贝塞尔函数（汉开尔函数）besseli-1stkind

modifiedBesselfunction.第一类虚宗量贝塞尔函数besselk-2ndkindModifiedBesselfunction.第二类虚宗量贝塞尔函数beta -Betafunction.Beta函数betainc-Incompletebetafunction.不完全的Beta函数

betaln-Logarithmofbetafunction.Beta函数的对数ellipj -Jacobiellipticfunctions.雅可比椭圆函数ellipke-Completeellipticintegral.完全的椭圆积分Page3MATLAB涉及的特殊函数查看方法-MATLAB3Page4MATLAB涉及的特殊函数erf -Errorfunction.误差函数erfc -Complementaryerrorfunction.余误差函数erfcx-Scaledcomplementaryerrorfunction.标度的余误差函数erfinv-Inverseerrorfunction.逆误差函数expint-Exponentialintegralfunction.指数积分函数gamma-Gammafunction.Γ函数gammainc-Incompletegammafunction.不完全的Γ函数gammaln-Logarithmofgammafunction.Γ函数的对数psi -Psi(polygamma)function.双(多值)Γ函数legendre-AssociatedLegendrefunction.连带勒让德函数Page4MATLAB涉及的特殊函数erf 4Page5Γ函数(Gamma函数)Γ函数的定义Γ函数的性质：（3）Γ(z)在整个复平面上除去z=0,z=-1,z=-2,…之外处处解析。（1）（2）（4）Γ(z)在全平面内无零点，即。Page5Γ函数(Gamma函数)Γ函数的定义（3）Γ(z5Page6Γ函数(Gamma函数)Γ函数的图形的绘制x=-3:0.01:3;y=gamma(x);plot(x,y,'linewidth',4);gridonaxis([-33-55])Γ(x)的奇点分布：z=0,z=-1,x=-2,…Page6Γ函数(Gamma函数)Γ函数的图形的绘制Γ(x6Page7Γ函数(Gamma函数)如何绘制复变量Γ(z)函数图形?z=5*cplxgrid(30);f=mfun('gamma',z);cplxmap(z,f);view(60,30)axis([-55-55-1010])%mfun是数学软件MAPLE中的函数，是对经典的特殊函数求值Page7Γ函数(Gamma函数)如何绘制复变量Γ(z)函7勒让德(Legendre)函数问题来由：球域内Laplace方程的边值问题：勒让德(Legendre)函数问题来由：球域内Laplace8分解为两个常微分方程:

(1)

(2)球函数方程方程（2）进一步分离变量将得到关于φ的本征值方程（3）和关于ϴ的连带勒让德方程（4）：变量分离R(r)：分解为两个常微分方程:(1)9满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解:：：满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解:：10(cos-1x)=y(x)：即：x=cos

l阶连带勒让德方程连带勒让德多项式勒让德(Legendre)函数(cos-1x)=y(x)：即：x=cosl阶连11Page12勒让德(Legendre)函数勒让德(Legendre)函数：连带勒让德(Legendre)函数：Page12勒让德(Legendre)函数勒让德(Lege12Page13勒让德(Legendre)函数求勒让德(Legendre)函数的Matlab函数legendre(N,x)求所有N阶连带勒让德函数的值>>legendre(2,0.0:0.1:0.2)ans=-0.5000-0.4850-0.44000-0.2985-0.58793.00002.97002.8800Page13勒让德(Legendre)函数求勒让德(Leg13Page14勒让德(Legendre)函数绘制前6个勒让德(Legendre)函数的图形%P20_1.mx=0:0.01:1;y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);y5=legendre(5,x);y6=legendre(6,x);plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:),x,y5(1,:),x,y6(1,:));legend('P_1^0','P_2^0','P_3^0','P_4^0','P_5^0','P_6^0');title('勒让德多项式')(m=0,l=1,2,…6)Page14勒让德(Legendre)函数绘制前6个勒让德14Page15勒让德(Legendre)函数前6个勒让德(Legendre)函数的图形Page15勒让德(Legendre)函数前6个勒让德(L15Page16勒让德(Legendre)函数绘制以俯仰角θ为变量的勒让德函数%P22_1.mt=0:0.1:2*pi;rho1=legendre(1,cos(t));rho2=legendre(2,cos(t));rho3=legendre(3,cos(t));subplot(3,4,1);polar(t,rho1(1,:));subplot(3,4,2);polar(t,rho1(2,:));subplot(3,4,5);polar(t,rho2(1,:));subplot(3,4,6);polar(t,rho2(2,:));subplot(3,4,7);polar(t,rho2(3,:));subplot(3,4,9);polar(t,rho3(1,:));subplot(3,4,10);polar(t,rho3(2,:));subplot(3,4,11);polar(t,rho3(3,:));subplot(3,4,12);polar(t,rho3(4,:));Page16勒让德(Legendre)函数绘制以俯仰角θ为16Page17勒让德(Legendre)函数以俯仰角θ为变量的勒让德函数图形Page17勒让德(Legendre)函数以俯仰角θ为变量17Page18球函数问题来由：求解球谐方程：球函数：归一化系数：Page18球函数问题来由：求解球谐方程：球函数：归一化系18球函数归一化的球函数：前四个球函数：Page19球函数归一化的球函数：Page1919Page20球函数球函数的表达式和特点复数形式的球函数表达式：球函数的特点：球函数是在球面上的二元函数球函数的图形是空间图形，必须指定球的半径根据欧拉公式：线性独立的l阶球函数共有2l+1个，m=0，Pl

(cosϴ)；m=1,2,…l,各有两个球函数和Page20球函数球函数的表达式和特点根据欧拉公式：20Page21球函数球函数的图形绘制方法：对复数形式的球函数，必须对其实部和虚部分别作图xyzPage21球函数球函数的图形xyz21Page22球函数%P81_1.ml=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;theta0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;[phi,theta]=meshgrid(phi,theta0);

%构建θ,

φ数据网路Ymn=legendre(l,cos(theta0));

%计算了勒让德多项式的值Ymn=Ymn(m+1,:)';L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi);%实球谐函数Imyy=yy.*sin(m*phi);%虚球谐函数ReM=max(max(abs(Reyy)));Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rey=Rer.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);%球坐标系subplot(1,2,1);surf(Rex,Rey,Rez);%绘制实球谐函数三维图像light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('实球谐函数');Page22球函数%P81_1.m22Page23球函数ImM=max(max(abs(Imyy)));Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM==0));Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imy=Imr.*sin(phi);Imz=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('虚球谐函数');Page23球函数ImM=max(max(abs(Imyy23球函数Page24实球谐函数和虚球谐函数的仿真图形球函数Page24实球谐函数和虚球谐函数的仿真图形24Page25球函数Page25球函数25球函数Page26可以绘制一个球面，球面上的颜色来表示相应方向上的数值球函数Page26可以绘制一个球面，球面上的颜色来表示相应26Page27贝塞尔方程的解-贝塞尔函数典型实例：求解固定边界的圆膜二维振动:v阶贝塞尔方程二维极坐标系下分离变量变量代换Page27贝塞尔方程的解-贝塞尔函数典型实例：求解27贝塞尔方程的解-贝塞尔函数v阶贝塞尔方程的通解通常有下列3种形式：Page28Jv(x)、Nv(x)、Hv(x)分别为为v阶第一类、第二类、第三类、贝塞尔(柱)函数。贝塞尔方程的解-贝塞尔函数v阶贝塞尔方程的通解通常有28Page29贝塞尔方程的解-贝塞尔函数Jv(x)为v阶第一类贝塞尔(柱)函数（简称贝塞尔函数）Nv(x)为v阶第二类贝塞尔(柱)函数（又称诺依曼函数）（1）当(整数)时，贝塞尔方程的通解为：（A和B为任意常数）*当

v=n(整数)时,J-n(x)=(-1)nJn(x),J-n(x)与Jn(x)线性相关。因此必有。（2）当取任意值时，贝塞尔方程的通解为：*当

v是否为整数，上式都成立。Page29贝塞尔方程的解-贝塞尔函数Jv(x)为v阶第一29Page30贝塞尔方程的解-贝塞尔函数（3）当取任意值时，由第一类和第二类还可以构成线性独立的第三类贝塞尔(柱)函数Hv(x)，(又称汉克尔函数)和分别称为第一种和第二种汉克尔函数。于是贝塞尔方程的通解又可以表示为：Page30贝塞尔方程的解-贝塞尔函数（3）当取任30Page31贝塞尔函数贝塞尔函数的表达式第一类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔方程

将贝塞尔方程的宗量x变换为虚数ix，于是得到虚宗量贝塞方程：Page31贝塞尔函数贝塞尔函数的表达式31Page32贝塞尔函数特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数Iv(x)为v阶第一类虚宗量贝塞尔函数（第一类修正贝塞尔函数）（1）当(整数)时，虚宗量贝塞方程的通解为：（C和D为任意常数）（2）当取任意值时，定义：Kv(x)为v阶第二类虚宗量贝塞尔函数（或麦克唐纳函数，或第二类修正贝塞尔函数）Page32贝塞尔函数特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数Iv32Page33贝塞尔函数当v

取任意值时，虚宗量贝塞方程的通解为：贝塞尔函数的计算和图形绘制j=Besselj(nu,z)nu为阶，z为贝塞尔函数的常点

（或复数变量）Besselj 第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数Bessely 第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数Besselh 第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数Besseli 第一类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量贝塞尔函数Besselk 第二类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量汉克尔函数Page33贝塞尔函数当v取任意值时，虚宗33Page34贝塞尔函数的图形绘制贝塞尔函数图形y=besselj(0:3,(0:0.2:10)');figure(1)plot((0:0.2:10)',y)legend('J_0','J_1','J_2','J_3')Page34贝塞尔函数的图形绘制贝塞尔函数图形y=bess34Page35贝塞尔函数寻找贝塞尔函数零点%方法I(插值法)x=0:0.05:50;y=besselj(0,x);LD=[];fork=1:length(y)-1ify(k)*y(k+1)<0h=interp1(y(k:k+1),x(k:k+1),0);%插值函数LD=[LD,h];endend%方法II(利用Matlab内建函数)j=1;LD=[];

y=inline('besselj(0,x)','x')%直接定义函数的表达式fork=1:16while~(besselj(0,j)*besselj(0,j+1)>0)j=j+1;end

q=fzero(y,j);%查找一元连续函数的零点j=j+1;LD=[LD,q];k=k+1;endPage35贝塞尔函数寻找贝塞尔函数零点%方法I(插值法)35Page36贝塞尔函数贝塞尔函数及其零点LD=2.40495.52018.653711.791514.930918.071121.211624.352527.493530.634633.775836.917140.058443.199846.341249.4826Page36贝塞尔函数贝塞尔函数及其零点LD=236Page37贝塞尔函数绘制诺依曼函数的图形y=bessely(0:1,(0:0.02:10)');plot((0:0.02:10)',y)legend('N_0','N_1')axis([010-3.51])gridonPage37贝塞尔函数绘制诺依曼函数的图形y=bessel37Page38贝塞尔函数绘制虚宗量贝塞尔函数的图形I=besseli(0:1,(0.1:0.3:3)');plot((0.1:0.3:3)',I)legend('I_0','I_1')axis([0305])Page38贝塞尔函数绘制虚宗量贝塞尔函数的图形I=bes38Page39贝塞尔函数绘制虚宗量汉克尔函数的图形K=besselk(0:1,(0.1:0.1:3)');plot((0.1:0.1:3)',K)legend('K_0','K_1')axis([03010])Page39贝塞尔函数绘制虚宗量汉克尔函数的图形K=bes39问题由来：与时间有关的三维方程的变量分离分解为两个常微分方程：

亥姆霍兹方程球贝塞尔方程及其解问题由来：与时间有关的三维方程的变量分离分解为两个常微分方程402.三维热传导(输运)方程

分离变量：

分解为两个常微分方程

亥姆霍兹方程:球贝塞尔方程及其解2.三维热传导(输运)方程分离变量：41亥姆霍兹方程在球坐标系中的变量分离分离变量形式的解：

球贝塞尔方程及其解亥姆霍兹方程在球坐标系中的变量分离分离变量形式的解：42分解为两个常微分方程:

(10.4.23)

(10.4.24)球函数方程球贝塞尔方程及其解l阶球贝塞尔方程分解为两个常微分方程:(10.4.23)43阶的贝塞尔方程。球贝塞尔方程的解称为球贝塞尔函数。球贝塞尔方程及其解阶的贝塞尔方程。球贝塞尔方程的解称为球贝塞尔函数。球贝塞尔44Page45球贝塞尔函数第一类球贝塞尔函数：第二类球贝塞尔函数（球诺依曼函数）：第二类球贝塞尔函数（球汉克尔函数）：球贝塞尔方程的通解为：球贝塞尔方程的通解为：Page45球贝塞尔函数第一类球贝塞尔函数：第二类45Page46球贝塞尔函数绘制球贝塞尔函数图形x=eps:0.2:15;y1=sqrt(pi/2./x).*besselj(1/2,x);y2=sqrt(pi/2./x).*besselj(3/2,x);y3=sqrt(pi/2./x).*besselj(5/2,x);y4=sqrt(pi/2./x).*besselj(7/2,x);plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)legend('j_0','j_1','j_3','j_4')Page46球贝塞尔函数绘制球贝塞尔函数图形x=eps:046Page47球贝塞尔函数绘制球贝塞尔函数图形x=0.8:0.2:15;y1=sqrt(pi/2./x).*bessely(1/2,x);y2=sqrt(pi/2./x).*bessely(3/2,x);y3=sqrt(pi/2./x).*bessely(5/2,x);y4=sqrt(pi/2./x).*bessely(7/2,x);plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)axis([110-0.50.4])legend('N_0','N_1','N_3','N_4')gridonPage47球贝塞尔函数绘制球贝塞尔函数图形x=0.8:047Page48本专题小结MATLAB涉及的特殊函数Γ函数(Gamma函数)勒让德(Legendre)函数球函数贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数球贝塞尔函数Page48本专题小结MATLAB涉及的特殊函数48数学物理建模与计算机辅助设计专题3：特殊函数的可视化数学物理建模与计算机辅助设计专题3：特殊函数的可视化49Page50本专题主要内容与参考资料主要内容MATLAB涉及的特殊函数Γ函数(Gamma函数)勒让德(Legendre)函数球函数贝塞尔函数参考资料杨华军,数学物理方法,电子工业出版社彭芳麟,数学物理方程的MATLAB解法与可视化,清华大学出版社Page2本专题主要内容与参考资料主要内容50Page51MATLAB涉及的特殊函数查看方法-MATLAB中特殊函数的调用在命令窗口输入helpmatlab\specfunairy -Airyfunctions.爱里函数besselj-1stkindBesselfunction.第一类贝塞尔函数bessely-2ndkindBesselfunction.第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）besselh-3rdkindBesselfunctions.第三类贝塞尔函数（汉开尔函数）besseli-1stkind

modifiedBesselfunction.第一类虚宗量贝塞尔函数besselk-2ndkindModifiedBesselfunction.第二类虚宗量贝塞尔函数beta -Betafunction.Beta函数betainc-Incompletebetafunction.不完全的Beta函数

betaln-Logarithmofbetafunction.Beta函数的对数ellipj -Jacobiellipticfunctions.雅可比椭圆函数ellipke-Completeellipticintegral.完全的椭圆积分Page3MATLAB涉及的特殊函数查看方法-MATLAB51Page52MATLAB涉及的特殊函数erf -Errorfunction.误差函数erfc -Complementaryerrorfunction.余误差函数erfcx-Scaledcomplementaryerrorfunction.标度的余误差函数erfinv-Inverseerrorfunction.逆误差函数expint-Exponentialintegralfunction.指数积分函数gamma-Gammafunction.Γ函数gammainc-Incompletegammafunction.不完全的Γ函数gammaln-Logarithmofgammafunction.Γ函数的对数psi -Psi(polygamma)function.双(多值)Γ函数legendre-AssociatedLegendrefunction.连带勒让德函数Page4MATLAB涉及的特殊函数erf 52Page53Γ函数(Gamma函数)Γ函数的定义Γ函数的性质：（3）Γ(z)在整个复平面上除去z=0,z=-1,z=-2,…之外处处解析。（1）（2）（4）Γ(z)在全平面内无零点，即。Page5Γ函数(Gamma函数)Γ函数的定义（3）Γ(z53Page54Γ函数(Gamma函数)Γ函数的图形的绘制x=-3:0.01:3;y=gamma(x);plot(x,y,'linewidth',4);gridonaxis([-33-55])Γ(x)的奇点分布：z=0,z=-1,x=-2,…Page6Γ函数(Gamma函数)Γ函数的图形的绘制Γ(x54Page55Γ函数(Gamma函数)如何绘制复变量Γ(z)函数图形?z=5*cplxgrid(30);f=mfun('gamma',z);cplxmap(z,f);view(60,30)axis([-55-55-1010])%mfun是数学软件MAPLE中的函数，是对经典的特殊函数求值Page7Γ函数(Gamma函数)如何绘制复变量Γ(z)函55勒让德(Legendre)函数问题来由：球域内Laplace方程的边值问题：勒让德(Legendre)函数问题来由：球域内Laplace56分解为两个常微分方程:

(1)

(2)球函数方程方程（2）进一步分离变量将得到关于φ的本征值方程（3）和关于ϴ的连带勒让德方程（4）：变量分离R(r)：分解为两个常微分方程:(1)57满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解:：：满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解:：58(cos-1x)=y(x)：即：x=cos

l阶连带勒让德方程连带勒让德多项式勒让德(Legendre)函数(cos-1x)=y(x)：即：x=cosl阶连59Page60勒让德(Legendre)函数勒让德(Legendre)函数：连带勒让德(Legendre)函数：Page12勒让德(Legendre)函数勒让德(Lege60Page61勒让德(Legendre)函数求勒让德(Legendre)函数的Matlab函数legendre(N,x)求所有N阶连带勒让德函数的值>>legendre(2,0.0:0.1:0.2)ans=-0.5000-0.4850-0.44000-0.2985-0.58793.00002.97002.8800Page13勒让德(Legendre)函数求勒让德(Leg61Page62勒让德(Legendre)函数绘制前6个勒让德(Legendre)函数的图形%P20_1.mx=0:0.01:1;y1=legendre(1,x);y2=legendre(2,x);y3=legendre(3,x);y4=legendre(4,x);y5=legendre(5,x);y6=legendre(6,x);plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:),x,y5(1,:),x,y6(1,:));legend('P_1^0','P_2^0','P_3^0','P_4^0','P_5^0','P_6^0');title('勒让德多项式')(m=0,l=1,2,…6)Page14勒让德(Legendre)函数绘制前6个勒让德62Page63勒让德(Legendre)函数前6个勒让德(Legendre)函数的图形Page15勒让德(Legendre)函数前6个勒让德(L63Page64勒让德(Legendre)函数绘制以俯仰角θ为变量的勒让德函数%P22_1.mt=0:0.1:2*pi;rho1=legendre(1,cos(t));rho2=legendre(2,cos(t));rho3=legendre(3,cos(t));subplot(3,4,1);polar(t,rho1(1,:));subplot(3,4,2);polar(t,rho1(2,:));subplot(3,4,5);polar(t,rho2(1,:));subplot(3,4,6);polar(t,rho2(2,:));subplot(3,4,7);polar(t,rho2(3,:));subplot(3,4,9);polar(t,rho3(1,:));subplot(3,4,10);polar(t,rho3(2,:));subplot(3,4,11);polar(t,rho3(3,:));subplot(3,4,12);polar(t,rho3(4,:));Page16勒让德(Legendre)函数绘制以俯仰角θ为64Page65勒让德(Legendre)函数以俯仰角θ为变量的勒让德函数图形Page17勒让德(Legendre)函数以俯仰角θ为变量65Page66球函数问题来由：求解球谐方程：球函数：归一化系数：Page18球函数问题来由：求解球谐方程：球函数：归一化系66球函数归一化的球函数：前四个球函数：Page67球函数归一化的球函数：Page1967Page68球函数球函数的表达式和特点复数形式的球函数表达式：球函数的特点：球函数是在球面上的二元函数球函数的图形是空间图形，必须指定球的半径根据欧拉公式：线性独立的l阶球函数共有2l+1个，m=0，Pl

(cosϴ)；m=1,2,…l,各有两个球函数和Page20球函数球函数的表达式和特点根据欧拉公式：68Page69球函数球函数的图形绘制方法：对复数形式的球函数，必须对其实部和虚部分别作图xyzPage21球函数球函数的图形xyz69Page70球函数%P81_1.ml=3;m=2;R=4;A=3;delta=pi/40;theta0=0:delta:pi;phi=0:2*delta:2*pi;[phi,theta]=meshgrid(phi,theta0);

%构建θ,

φ数据网路Ymn=legendre(l,cos(theta0));

%计算了勒让德多项式的值Ymn=Ymn(m+1,:)';L=size(theta,1);yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi);%实球谐函数Imyy=yy.*sin(m*phi);%虚球谐函数ReM=max(max(abs(Reyy)));Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta);Rex=Rer.*cos(phi);Rey=Rer.*sin(phi);Rez=Rerho.*cos(theta);%球坐标系subplot(1,2,1);surf(Rex,Rey,Rez);%绘制实球谐函数三维图像light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('实球谐函数');Page22球函数%P81_1.m70Page71球函数ImM=max(max(abs(Imyy)));Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM==0));Imr=Imrho.*sin(theta);Imx=Imr.*cos(phi);Imy=Imr.*sin(phi);Imz=Imrho.*cos(theta);subplot(1,2,2);surf(Imx,Imy,Imz);light;lightingphong;axis('square');axis([-55-55-55]);axis('off');view(40,30)title('虚球谐函数');Page23球函数ImM=max(max(abs(Imyy71球函数Page72实球谐函数和虚球谐函数的仿真图形球函数Page24实球谐函数和虚球谐函数的仿真图形72Page73球函数Page25球函数73球函数Page74可以绘制一个球面，球面上的颜色来表示相应方向上的数值球函数Page26可以绘制一个球面，球面上的颜色来表示相应74Page75贝塞尔方程的解-贝塞尔函数典型实例：求解固定边界的圆膜二维振动:v阶贝塞尔方程二维极坐标系下分离变量变量代换Page27贝塞尔方程的解-贝塞尔函数典型实例：求解75贝塞尔方程的解-贝塞尔函数v阶贝塞尔方程的通解通常有下列3种形式：Page76Jv(x)、Nv(x)、Hv(x)分别为为v阶第一类、第二类、第三类、贝塞尔(柱)函数。贝塞尔方程的解-贝塞尔函数v阶贝塞尔方程的通解通常有76Page77贝塞尔方程的解-贝塞尔函数Jv(x)为v阶第一类贝塞尔(柱)函数（简称贝塞尔函数）Nv(x)为v阶第二类贝塞尔(柱)函数（又称诺依曼函数）（1）当(整数)时，贝塞尔方程的通解为：（A和B为任意常数）*当

v=n(整数)时,J-n(x)=(-1)nJn(x),J-n(x)与Jn(x)线性相关。因此必有。（2）当取任意值时，贝塞尔方程的通解为：*当

v是否为整数，上式都成立。Page29贝塞尔方程的解-贝塞尔函数Jv(x)为v阶第一77Page78贝塞尔方程的解-贝塞尔函数（3）当取任意值时，由第一类和第二类还可以构成线性独立的第三类贝塞尔(柱)函数Hv(x)，(又称汉克尔函数)和分别称为第一种和第二种汉克尔函数。于是贝塞尔方程的通解又可以表示为：Page30贝塞尔方程的解-贝塞尔函数（3）当取任78Page79贝塞尔函数贝塞尔函数的表达式第一类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔方程

将贝塞尔方程的宗量x变换为虚数ix，于是得到虚宗量贝塞方程：Page31贝塞尔函数贝塞尔函数的表达式79Page80贝塞尔函数特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数Iv(x)为v阶第一类虚宗量贝塞尔函数（第一类修正贝塞尔函数）（1）当(整数)时，虚宗量贝塞方程的通解为：（C和D为任意常数）（2）当取任意值时，定义：Kv(x)为v阶第二类虚宗量贝塞尔函数（或麦克唐纳函数，或第二类修正贝塞尔函数）Page32贝塞尔函数特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数Iv80Page81贝塞尔函数当v

取任意值时，虚宗量贝塞方程的通解为：贝塞尔函数的计算和图形绘制j=Besselj(nu,z)nu为阶，z为贝塞尔函数的常点

（或复数变量）Besselj 第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数Bessely 第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数Besselh 第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数Besseli 第一类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量贝塞尔函数Besselk 第二类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量汉克尔函数Page33贝塞尔函数当v取任意值时，虚宗81Page82贝塞尔函数的图形绘制贝塞尔函数图形y=besselj(0:3,(0:0.2:10)');figure(1)plot((0:0.2:10)',y)legend('J_0','J_1','J_2','J_3')Page34贝塞尔函数的图形绘制贝塞尔函数图形y=bess82Page83贝塞尔函数寻找贝塞尔函数零点%方法I(插值法)x=0:0.05:50;y=besselj(0,x);LD=[];fork=1:length(y)-1ify(k)*y(k+1)<0h=interp1(y(k:k+1),x(k:k+1),0);%插值函数LD=[LD,h];endend%方法II(利用Matlab内建函数)j=1;LD=[];

y=inline('besselj(0,x)','x')%直接定义函数的表达式fork=1:16while~(besselj(0,j)*besselj(0,j+1)>0)j=j+1;end

q=fzero(y,j);%查找一元连续函数的零点j=j+1;LD=[LD,q];k=k+1;endPage35贝塞尔函数寻找贝塞尔函数零点%方法I(插值法)83Page84贝塞尔函数贝塞尔函数及其零点LD=2.40