组合与组合数课件

4.2.2组合与组合数数学理4.2.2组合与组合数数学理1

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3两个问题有什么联系和区别？问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加2

从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二

从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题3组合定义:

一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合有什么共同点与不同点？组合的特征：（1）每个组合中元素互不相同；（2）“只取不排”——无序性；（3）组合相同即元素相同；

（4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任意取出m（m≤n）个元素”，不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者是“不管顺序并成一组”；若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.例如ab与ba是不同的排列，但是相同的组合组合定义:一般地,从n个不同元素中取出m（m4组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数如何计算这个组合数呢？C是英文Combination的首字母组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素5组合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第一步第二步×=从a,b,c,d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：组合abcabdacdbcd排列a6

求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,

第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有种不同的取法;Cnm可看作以下2个步骤得到:

第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的排法.Anm求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,7n,m∈N*,并且m≤n.组合数公式规定：Cn0=1n,m∈N*,并且m≤n.组合数公式规定：Cn0=18例1．计算：（1）

例1．计算：（1）9组合数的两个性质性质1：性质2：例3计算：（1）和（2）和

组合数的两个性质性质1：性质2：例3计算：（1）和（2）和10

例1一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:简单的组合问题(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?(1)没有角色差异共有(2)分两步完成这件事第1步,从17名学员中选出11人上场第2步,从上场的11人中选1名守门员例1一位教练的足球队共有17名初级学员,11

例2(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?10个不同元素中取2个元素的组合数.

10个不同元素中取2个元素的排列数.(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?例2(1)平面内有10个点,以其中每2个12

例3(1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本，则有多少种不同的借法？

(2)有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三个步骤完成，共有（种）例3(1)有4本不同的书，一个人去借13

练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?100个不同元素中取3个元素的组合数(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?从2件次品中抽出1件次品的抽法有从98件合格品中抽出2件的抽法有练习在100件产品中,有98件合格品,214

练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件减98件合格品中抽3件练习在100件产品中,有98件合格品,215①主要学习了组合、组合数的概念。②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。n个不同元素m个元素m个元素的全排列第一步组合第二步排列课堂小结：①主要学习了组合、组合数的概念。②利用组合和排列的关系得到了161某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：含有附加条件的组合问题：例1

一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？或1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：含有附加17按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例2按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？例218（1）（2）（3）（4），或（5）（6）

例3在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？(2)全是正品；(1)无任何限制条件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.（1）（2）（3）（4），或（5）（6）例319

例4

平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？2某些特殊元素有特殊归类问题：解法一：（直接法）设五个点所在直线为l，分为两类：(1)过l上的三个红点：可与l外的三个蓝点各连一条直线,有条，又与l上的两个蓝点只连一条直线，可连条(2)过l外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有条共可连（条）例4平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个20

例4

平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？解法二：（间接法）不考虑五点共线，有其中共线的五个点可连条，条而这条只能是一条共可连（条）

说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作一条直线．例4平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与21例3由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？3组合中的有重复问题：解：选两个数相加有选三个数相加有选四个数相加有但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．（个）．例3由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？3组合中的有22例4以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有４个侧面和6个对角面，∴共有解法二：从正方体的8个顶点中任选4个有种，其中共面的有6个面和6个对角面，∴共有（种）例4以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？解法一23．5“名额分配”问题：

例1．有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？解：先将10个名额中的7个名额分给7个学校每校一个，则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法.第一类:选三个学校,每个学校一个名额,分配方法数第二类:选两个学校,决定哪个学校分别给一个或两个名额，分配方法种数为第三类:选一个学校,三个名额都给该校,分配方法种数为所以不同的名额分配方法种数为．5“名额分配”问题：例1．有10个24则“挡板”的一种插法恰好对应10个名额的一种分配方法,解法二：注意到10个名额之间是没有差别的，设想将10个名额排成一排，每两个“相邻”的名额间形成一个空隙，如下图示：”表示名额间形成的空隙，“○”表示相同的名额，“

设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10个名额分割成七个部分，

将第一、二、三、…、七个部分所包含的名额数分给第一、二、三、…、七所学校，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为则“挡板”的一种插法恰好对应10个名额的一种分配方法,解法二25实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法本题的解法二所用的方法一般称为“挡板法”，用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，而且每个位置至少应分配一个元素．与解法一相比，挡板法比较简捷，但不如解法一易于理解．实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法本题的解法二所用的26

解：⑴在五个1之间添加两个加号，添加的方法种数就等于方程解的个数．故有

每一个均加1，然后再均减1．则可以将原来的问题理解为：求例2．已知方程，求⑴有多少组正整数解？⑵有多少组非负整数解？．解：此问题则可以解释为：先将的正整数解个数，同（1），则解：⑴在五个1之间添加两个加号，添加的方法种27

例七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种．1．注意区别“恰好”与“至少”

例从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种．2．特殊元素（或位置）优先安排

例将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种．3．“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”方法回顾例七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲285“分组”问题：（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？例1有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？5“分组”问题：（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种29

例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？4．混合问题，先“组”后“排”

（1）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?

（2）今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?

（3）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?5．分清排列、组合、等分的算法区别例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的30

例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?6、分类组合,隔板处理

例2.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解．解法一：共分三类：第一类，一个班出4人，6个班各出1人，有C71种；第二类，有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人有A72

种；第三类，有3个班各出2人，其余4个班各出1人，共有种．有C73

种，C71+A72+C73=84例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞31

注意：本题易把10个名额看成10个不同的元素，从而得出错误的结果．

解法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空（两端不计）；

例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?C96

从这9个空位里任选6个（即这6个位置放入隔板，将其分为七部分），有种放法，如△|△△|△|△|△△△|△|△表示什么意义？

它表示表示第1个班1人，第2个班2人，第3个班1人，第4个班1人，第5个班3人，第6、7个班各1人．注意：本题易把10个名额看成10个不同的元素32排列与组合的综合问题

解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：解题思路：1特殊(元素,位置)优先法:2科学分类法：3插空法：4捆绑法：5“分组”问题：6隔板处理排列与组合的综合问题解排列组合问题，要正确使33(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．1特殊(元素,位置)优先法:

对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.

例1:有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．(2)某女生一定要担任语文科代表．(1)有女生但人数必须少于男生．＝5400种=360种．(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代1特34前4次中应有1件正品、3件次品，有种，

例2对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次测试中的顺序有种，··＝576。前4次中应有1件正品、3件次品，有种，35

对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生

例1从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？2科学分类法：解法一：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有2（－）种；（3）甲、乙二人均参加，有（

-2＋）种共有252种．对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此36

例1从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法二：六人中取四人参加的种数为减去甲跑第一棒时从剩余5人中选3人的排列组合数再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数

再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数－＝252种

对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种。例1从6名短跑运动员中选4人参加4×10037

例2由数字1，2，3，4，5可以组成无重复的5位数，从小到大排队；1）43251是第几个数；2）第96个数是多少？43512,43521,45123,45132,45213,45231,45312,45321例2由数字1，2，3，4，5可以组成无重383插空法：

解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决

例1有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是：①前后各一个，有8×12×2＝192种方法解：②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法两人都在前排左边的四个位置：③两人都在前排：此种情况共有4＋2＝6种方法两边都是4个位置,所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右∴有192＋32＋12＋110＝346种3插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元39

例1有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是：解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻，9号座位与10号座位不算相邻，共有种例1有两排座位，前排11个座位，后排1240

例210双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双；(2)4只鞋子恰好成双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双。例210双互不相同的鞋子混装在一只口袋414捆绑法：

相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列.

例1在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?（3）若A、B之间隔8垄，有A22种方法.解:A,B两种作物的间隔至少6垄,至多8垄,分3种情况：（1）若A、B之间隔6垄，这样的选垄方法有3A22种.（2）若A、B之间隔7垄，这样的选垄方法有2A22种.4捆绑法：相邻元素的排列,可以采用“整体425“分组”问题：（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？例1有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？5“分组”问题：（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种436隔板处理

例1（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？

（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解:⑴按指标的个数进行分类,讨论比较复杂,可构造模型，即用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即即为所求。⑵先拿3个指标分别给二班1个，三班2个，则问题转化为7个优秀名额分给三个班，每班至少一个同⑴得即为所求。6隔板处理例1（1）10个优秀指标分配44例围棋擂台赛问题7建立“模型”例围棋擂台赛问题7建立“模型”45

例210双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双；(2)4只鞋子恰好成双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双。例210双互不相同的鞋子混装在一只口袋464.2.2组合与组合数数学理4.2.2组合与组合数数学理47

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3两个问题有什么联系和区别？问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加48

从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二

从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题49组合定义:

一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合有什么共同点与不同点？组合的特征：（1）每个组合中元素互不相同；（2）“只取不排”——无序性；（3）组合相同即元素相同；

（4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任意取出m（m≤n）个元素”，不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者是“不管顺序并成一组”；若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.例如ab与ba是不同的排列，但是相同的组合组合定义:一般地,从n个不同元素中取出m（m50组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数如何计算这个组合数呢？C是英文Combination的首字母组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素51组合abcabdacdbcd排列abcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb第一步第二步×=从a,b,c,d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：组合abcabdacdbcd排列a52

求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,

第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有种不同的取法;Cnm可看作以下2个步骤得到:

第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的排法.Anm求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,53n,m∈N*,并且m≤n.组合数公式规定：Cn0=1n,m∈N*,并且m≤n.组合数公式规定：Cn0=154例1．计算：（1）

例1．计算：（1）55组合数的两个性质性质1：性质2：例3计算：（1）和（2）和

组合数的两个性质性质1：性质2：例3计算：（1）和（2）和56

例1一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:简单的组合问题(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?(1)没有角色差异共有(2)分两步完成这件事第1步,从17名学员中选出11人上场第2步,从上场的11人中选1名守门员例1一位教练的足球队共有17名初级学员,57

例2(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?10个不同元素中取2个元素的组合数.

10个不同元素中取2个元素的排列数.(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?例2(1)平面内有10个点,以其中每2个58

例3(1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本，则有多少种不同的借法？

(2)有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本（本）(2)解：分三个步骤完成，共有（种）例3(1)有4本不同的书，一个人去借59

练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?100个不同元素中取3个元素的组合数(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?从2件次品中抽出1件次品的抽法有从98件合格品中抽出2件的抽法有练习在100件产品中,有98件合格品,260

练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件减98件合格品中抽3件练习在100件产品中,有98件合格品,261①主要学习了组合、组合数的概念。②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。n个不同元素m个元素m个元素的全排列第一步组合第二步排列课堂小结：①主要学习了组合、组合数的概念。②利用组合和排列的关系得到了621某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：含有附加条件的组合问题：例1

一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？或1某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：含有附加63按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例2按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？例264（1）（2）（3）（4），或（5）（6）

例3在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？(2)全是正品；(1)无任何限制条件；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.（1）（2）（3）（4），或（5）（6）例365

例4

平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？2某些特殊元素有特殊归类问题：解法一：（直接法）设五个点所在直线为l，分为两类：(1)过l上的三个红点：可与l外的三个蓝点各连一条直线,有条，又与l上的两个蓝点只连一条直线，可连条(2)过l外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有条共可连（条）例4平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个66

例4

平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？解法二：（间接法）不考虑五点共线，有其中共线的五个点可连条，条而这条只能是一条共可连（条）

说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作一条直线．例4平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与67例3由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？3组合中的有重复问题：解：选两个数相加有选三个数相加有选四个数相加有但1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．（个）．例3由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？3组合中的有68例4以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？解法一：上三下一下三上一上二下二其中共面的有４个侧面和6个对角面，∴共有解法二：从正方体的8个顶点中任选4个有种，其中共面的有6个面和6个对角面，∴共有（种）例4以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？解法一69．5“名额分配”问题：

例1．有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？解：先将10个名额中的7个名额分给7个学校每校一个，则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法.第一类:选三个学校,每个学校一个名额,分配方法数第二类:选两个学校,决定哪个学校分别给一个或两个名额，分配方法种数为第三类:选一个学校,三个名额都给该校,分配方法种数为所以不同的名额分配方法种数为．5“名额分配”问题：例1．有10个70则“挡板”的一种插法恰好对应10个名额的一种分配方法,解法二：注意到10个名额之间是没有差别的，设想将10个名额排成一排，每两个“相邻”的名额间形成一个空隙，如下图示：”表示名额间形成的空隙，“○”表示相同的名额，“

设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10个名额分割成七个部分，

将第一、二、三、…、七个部分所包含的名额数分给第一、二、三、…、七所学校，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为则“挡板”的一种插法恰好对应10个名额的一种分配方法,解法二71实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法本题的解法二所用的方法一般称为“挡板法”，用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，而且每个位置至少应分配一个元素．与解法一相比，挡板法比较简捷，但不如解法一易于理解．实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法本题的解法二所用的72

解：⑴在五个1之间添加两个加号，添加的方法种数就等于方程解的个数．故有

每一个均加1，然后再均减1．则可以将原来的问题理解为：求例2．已知方程，求⑴有多少组正整数解？⑵有多少组非负整数解？．解：此问题则可以解释为：先将的正整数解个数，同（1），则解：⑴在五个1之间添加两个加号，添加的方法种73

例七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种．1．注意区别“恰好”与“至少”

例从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种．2．特殊元素（或位置）优先安排

例将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种．3．“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”方法回顾例七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲745“分组”问题：（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？例1有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本,

有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？5“分组”问题：（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种75

例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？4．混合问题，先“组”后“排”

（1）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?

（2）今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?

（3）今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?5．分清排列、组合、等分的算法区别例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的76

例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?6、分类组合,隔板处理

例2.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解．解法一：共分三类：第一类，一个班出4人，6个班各出1人，有C71种；第二类，有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人有A72

种；第三类，有3个班各出2人，其余4个班各出1人，共有种．有C73

种，C71+A72+C73=84例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞77

注意：本题易把10个名额看成10个不同的元素，从而得出错误的结果．

解法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空（两端不计）；

例1从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?C96

从这9个空位里任选6个（即这6个位置放入隔板，将其分为七部分），有种放法，如△|△△|△|△|△△△|△|△表示什么意义？

它表示表示第1个班1人，第2个班2人，第3个班1人，第4个班1人，第5个班3人，第6、7个班各1人．注意：本题易把10个名额看成10个不同的元素78排列与组合的综合问题

解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：解题思路：1特殊(元素,位置)优先法:2科学分类法：3插空法：4捆绑法：5“分组”问题：6隔板处理排列与组合的综合问题解排列组合问题，要正确使79(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表．1特殊(元素,位置)优先法:

对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.

例1:有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．(2)某女生一定要担任语文科代表．(1)有女生但人数必须少于男生．＝5400种=360种．(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代1特80前4次中应有1件正品、3件次品，有种，

例2对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次测试中的顺序有种，··＝576。前4次中应有1件正品、3件次品，有种，81

对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生

例1从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？2科学分类法：解法一：问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有2（－）种；（3）甲、乙二人均参加，有（

-2＋）种共有252种．对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此82

例1从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法二：六人中取四人参加的种数为减去甲跑第一棒时从剩余5人中选3人的排列组合数再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数

再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数－＝252种

对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种。例1从6名短跑运动员中选4人参加4×10083

例2由数字1，2，3，4，5可以组成