矢量控制系统理论基础及其公式推导

矢量控制系统理论基础及其公式推导矢量控制系统理论基础及其公式推导矢量控制系统理论基础及其公式推导资料仅供参考文件编号：2022年4月矢量控制系统理论基础及其公式推导版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：矢量控制系统理论基础及其公式推导目录：坐标变换理论A-B-C静止坐标系下的感应电机数学模型任意转速旋转的d-q坐标系下的感应电机数学模型α-β坐标系下的感应电机数学模型dq0坐标系下的感应电机数学模型间接矢量控制系统的关键公式推导磁链观测器关键公式推导内容：坐标变换理论A-B-C坐标系与α-β坐标系： (1)推导的条件：①磁动势相等；②功率守恒；③。α-β坐标系与d-q坐标系： (2)逆变换：(3)其中：为d-q轴与α-β轴之间的夹角；为d-q坐标系的旋转速度特殊情况：当d-q坐标系的旋转角速度与同步角速度相一致时，d轴与q轴的分量为直流量。2、A-B-C静止坐标系下的感应电机动态数学模型 动态数学模型有五部分组成：电压方程、磁链方程、转矩方程、运动方程和速度方程。 电压方程： 定子电压方程 (4) 转子电压方程 (5) 归纳为：（6） 磁链方程： 由于感应电机共有六组线圈，分别是定子三组和转子三组线圈，每组线圈的磁通量是自感产生的磁通量和其它线圈感应产生的磁通量之和，如A相磁链为： （7） 其中：，为A相自感产生的磁通量；，为B相在A相感应的磁通量，其它各相感应的磁通量分别是：，，和。 包含六个线圈的磁链方程为： （8）归纳为：（9） 并且：（10） （11）其中，为定子和转子每相互感，为定子漏感，为转子漏感，为定转子之间的夹角，为转子电角速度 式（10）分别为定子三相和转子三相的自感和互感，由于定子三相之间位置相对固定为120度，转子三相之间位置也是固定的120度，因此，互感都是定值。 式（11）为定子与转子之间的互感，由于转子处于旋转状态，定转子之间位置并不固定，因此，定转子之间的互感为时变值，当定子A相与转子a相重合时，其互感最大，当两者为90度时，其互感最小。 综合式（6）和（9），可得： （12） 由于L和i都是变化的，对其求微分得到： （13） 其中，为电感压降，也被称为由于电流突变而导致的脉变电动势，为与速度相关的速度反电动势。 转矩方程： （14） 运动方程： （15） 其中，为负载转矩，为转动惯量，为磁极对数。3、任意旋转速度d-q坐标系下的感应电机数学模型 设为d-q坐标系相对于定子的旋转速度，为d-q坐标系相对于转子的旋转速度。 电压方程： （16） 归纳为： 其中，为旋转反电动势，并且该反电动势存在d-q轴之间的耦合。 磁链方程： （17）其中，。由于定子和转子都转换为相同的d-q坐标系上（图6-50所示），由于d轴和q轴相互垂直，不存在磁链相互耦合，并且在相同的d轴和q轴上都不存在绕组之间的相对运动，所以互感不再是时变参数，而是定参数。转矩方程： （18）运动方程为式（15）所示。转子电角速度：（19）4、α-β坐标系下的感应电机数学模型 α-β坐标系可以认为是，的一种旋转坐标系，此时只需将d-q坐标系下的数学模型中包含速度项做相应替换即可。5、dq0坐标系下的感应电机数学模型 dq0坐标系即是以同步角速度旋转的d-q坐标系，此时，，为同步电角速度，，为转差角速度。dq0坐标系下的d轴和q轴分量均为直流量，dq0坐标系下的数学模型只需将速度项进行相应的替换即可。 电压方程： （20） dq0坐标系下的数学模型中，和难以检测，根据磁链方程（17），可以分别用定子磁链和转子磁链替换和，所以其状态方程有两种形式，一种是以速度、定子磁链和电流为变量，另一种是以速度、转子磁链和电流为变量。 当以转子磁链为变量时， （21） 考虑感应电机转子为短路状态，因此，此时方程（20）中的后两项表达式为（22） 将式（21）代入式（22）中，并整理得到： （23）其中，将式（21）代入式（18）中，并整理得到： （24）6、间接矢量控制系统的关键公式推导 间接矢量控制系统中，将dq0坐标系的d轴建立于转子磁场方向上，此时， （25） 将式（25）分别代入式（23）和（24）中，（26） （27）（28）由式（26）可知： （29）将式（29）代入式（28）中： （30）由式（27）可知： （31）所以，转子磁链的位置： （32） 式（29）说明转子磁链只与定子d轴电流分量相关，而转矩仍然与d轴和q轴电流相关，无法完全解耦，但是当转子磁场保持不变时，可以认为转矩只与q轴电流相关 式（32）说明间接矢量控制系统磁场定向的角度计算方法，利用转子电转速度和转差角速度分别计算角度，然后相加即得到转子磁场的实际位置。 值得注意的是，磁场定向中所用到的d轴和q轴电流均是指令值。7、磁链观测器关键公式推导利用磁链观测器进行磁场定向一般是在α-β坐标系下进行。电流模型：α-β坐标系相当于，的旋转d-q坐标系，因此，式（21）可以变换为α-β坐标系下的关系式： （33）利用感应电机转子类似短路，因此，，并利用式（16）得到： （34）整理得到：（35）具体实现办法如图6-56。通过求解和，就可求出转子磁链的大小