中南大学复变函数考试卷试题及答案

中南大学考试试卷(B)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分考试形式：闭专业年级教改信息班 总分100分，占总评成绩70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、单项选择题（15分，每小题3分）z2,z01fz

z fz的连续点集合为（。0,z0（A）单连通区域 （B）多连通区域（C）开集非区域 （D）闭集非闭区域f(zu(xyiv(xy)u(xyv(xyxy0 0

可微是fz在点z x0

可微的（。0A充分但非必要条件C充分必要条件下列命题中，不正确的是（。

B必要但非充分条件D既非充分也非必要条件A如果无穷远是f的可去奇那么Refz, 0BfD

z邻域内展开成泰勒级数,则f0

C幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.Dezi0I映射为单位圆1.eziczit，t12的线段，则argzdz（。cA4

B4

i 4

i

D1ifz在0z1内解析且limzfz1，那么Resfz（。z0应用数理统计试题第1页共5页A2i B2i C1 D1二、填空题（15分，每空3分）Ln1i的主值。函数z+Imz仅在点处可导。2n zn罗朗级数的 1n 1n1 收敛域。z3 3n1 n1映射w

1，将圆域z11映射为 。z1dz 。coszz1三．(10分求解析函数已知uy2 1i四．(20分求下列积分的值ezdzz2z12z4xsinx dxa00x2 a五．(15分若函数 z在点z0

解析，试分析在下列情形：z0z0

为函数fz的m阶零点；为函数fz的m阶极点；fz求Res z 。fz 0ez2六（15分）写出函数 的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。cosz七（10分）求函数ft1tut 3tsi傅氏变换。应用数理统计试题第2页共5页中南大学考试试卷答案(B)2008--2009学年第二学期 时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分考试形式：闭专业年级教改信息班0701 总分100分，占总评成绩70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上2三、单项选择题（15分，每小题3分）1．A。2．B。3．A。4．C。5．C。四、填空题（15分，每空3分）2ln

i。2．i 。3．2z33。4．半平面Rew1。5．0。4 2三．(10分)解:容易验证u是全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。v

2yx,

u

2xyx y y xv(x,y)x,y2yxdx2xydyC0,0xxdxy2xydyC0 01 1x22xy y2C2 2四．(20分)求下列积分的值1．ei这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的x2

xa2

eixdx2πiRes[R(z)eiz,ai]ilim

zeiz

2πi πieaeziaziae因此

xsin

dxIm(1 x

eixdx)

1ea.0 x2

a2

2

x2a2 2五．(15分)应用数理统计试题第3页共5页解:函数z在点z0

解析等价于在z的一个邻域内0nzzzz0

zz0

0 zzn!

n为fz的阶零点等价于在z的一个邻域内fzzz

mz其中

在点z0

解析,z

0 00,于是在z的去心领域0fz z z

z

zz

z

0 m z

n1z

f z zz0

z zz000

n1 n!

z Res

z

fz,zz fz 2与上面类似Resz ,z zfz 0 0 六．函数ez2

距原点最近的奇点

,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径, cosz 1 12即R=

,z2

2由ez 1z22!z4n!z2n

z,1 1 n cosz12!z24!z4

2n

z2n z及幂级数的除法,可设ez2 cosz

cz

z2z20 1 2 2ez2与cosz2n,cc1 3

02!1 1 2!

1

n 于1z2 z4 z2n

ccz21 z2 z4

z2n2! n!

0 2

2n! 比较同次系数得c

1,c

3,c

29,ez2

0 2 2 4 243 29 故cos

1z2 z4z z 2 24（10分）

2证明F[tu(t)]1