2023届山西省大同市第一中学全国Ⅰ卷数学高一上期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，动点满足，则动点轨迹与圆位置关系是（）A.外离 B.外切C.相交 D.内切2．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A.y=sin2x+cos2xB.y=sin2xcos2xC.y=cos（4x+）D.y=sin22x﹣cos22x3．已知集合，

，则（

）A. B.C. D.4．刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（）A. B.C. D.5．对于空间中的直线，以及平面，，下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则6．中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是℃，环境温度是℃，则经过分钟后物体的温度℃将满足，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，℃的水应大约冷却()分钟冲泡该绿茶(参考数据：，)A.3 B.3.6C.4 D.4.87．给定四个函数：①；②（）；③；④．其中是奇函数的有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个8．下列函数是偶函数且值域为的是（）①；②；③；④A.①② B.②③C.①④ D.③④9．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A.90° B.60°C.45° D.30°10．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知为角终边上一点，且，则______12．已知点为圆上的动点,则的最小值为__________13．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________.14．函数，且）的图象恒过定点，则点的坐标为___________；若点在函数的图象上，其中，，则的最大值为___________.15．计算：__________．三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知.（1）若在第二象限，求的值；（2）已知，且，求值.17．已知函数，，且.（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；（2）若函数在区间上为增函数，求实数a取值范围.18．已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.19．已知函数（其中），函数（其中）.（1）若且函数存在零点，求的取值范围；（2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.20．已知：，．设函数求：（1）的最小正周期；（2）的对称中心，（3）若，且，求21．指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、C【解析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解.，详解】设，由，得，整理得，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为为圆心，为半径的圆两圆的圆心距为，满足，所以两个圆相交.故选：C.2、D【解析】A中，周期为,不是偶函数；B中，周期为，函数为奇函数；C中，周期为，函数为奇函数；D中，周期为，函数为偶函数3、D【解析】因，，故，应选答案D4、B【解析】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形；根据题意，可知个等腰三角形的面积和近似等于圆的面积，从而可求的近似值.【详解】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，则，即，所以.故选：B.5、D【解析】利用线面关系，面面关系的性质逐一判断.【详解】解：对于A选项，，可能异面，故A错误；对于B选项，可能有，故B错误；对于C选项，，的夹角不一定为90°，故C错误；故对D选项，因为，，故，因为，故，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.6、B【解析】根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，＝100℃，＝20℃代入即可求得t的值.【详解】由题可知：，冲泡绿茶时水温为80℃，故.故选：B.7、B【解析】首先求出函数的定义域，再由函数的奇偶性定义即可求解.【详解】①函数的定义域为，且，，则函数是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数（）为非奇非偶函数；③函数的定义域为，，则函数不是奇函数；④函数的定义域为，，则函数是奇函数.故选：B8、C【解析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.【详解】对于①，是偶函数，且值域为；对于②，是奇函数，值域为；对于③，是偶函数，值域为；对于④，偶函数，且值域为，所以符合题意的有①④故选：C.9、B【解析】连接，可证明，然后可得即为异面直线与所成的角，然后可求出答案.【详解】连接，因为是正方体，所以和平行且相等所以四边形是平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角.因为是等边三角形，所以故选：B10、D【解析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.【详解】由题设有，令，则有即因为在区间内没有零点，故存在整数，使得，即，因为，所以且，故或，所以或，故选：D.【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、##【解析】利用三角函数定义可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定义计算得解【详解】由三角函数定义可得：，解得：，则，所以，，.故答案为：.12、-4【解析】点为圆上的动点，所以.由，所以当时有最小值-4.故答案为-4.13、【解析】由题意得出方程有唯一实数解或有两个相等的实数解，然后讨论并求解当和时满足题意的参数的值.【详解】∵集合A有且仅有2个子集，可得A中仅有一个元素，即方程仅有一个实数解或有两个相等的实数解.当时，方程化为，∴，此时，符合题意；当时，则由，，令时解方程得，此时，符合题意，令时解方程得，此时符合题意；综上可得满足题意的参数可能的取值有0，-1，1，∴a的取值构成的集合为.故答案为：.【点睛】本题考查了由集合子集的个数求参数的问题，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.14、①②.##0.5【解析】根据对数函数图象恒过定点求出点A坐标；代入一次函数式，借助均值不等式求解作答.【详解】函数，且）中，由得：，则点；依题意，，而，，则，当且仅当2m=n=1时取“=”，即，所以点的坐标为，的最大值为.故答案为：；15、4【解析】故答案为4三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）（2）【解析】（1）根据题意，结合半角公式得，故，，再根据二倍角公式计算即可.（2）由题知，再结合正切的和角公式求解即可.【小问1详解】解：，∴∵在第二象限，∴，，∴【小问2详解】解：∴，17、（1）..（2）【解析】（1）由求得，作出函数图象可知的范围；（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论【详解】（1）因为，所以.函数的大致图象如图所示令，得.故有3个不同的零点.即方程有3个不同的实根.由图可知.（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.因为，且函数在区间上为增函数，所以可得，解得.所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题18、（1）（2）【解析】（1）利用诱导公式求出，由已知得出，再由齐次式即可求解.（2）由题意可得，，再由两角和的正切公式即可求解.【小问1详解】由已知，，得所以【小问2详解】由，，可知，，∴.∵，∴.而，∴.∴，∴.19、（1）；（2）或.【解析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.【小问1详解】由题意知函数存零点，即有解.又，易知在上是减函数，又，，即，所以，所以的取值范围是.【小问2详解】的定义域为，若是偶函数，则，即解得.此时，，所以即为偶函数.又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，即方程有且只有一个实根令，则方程有且只有一个正根①当时，，不合题意，②当时，方程有两相等正根，则，且，解得，满足题意；③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，综上所述：实数的取值范围为或.【点睛】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.20、（1）；（2）（k∈Z）；（3）或.【解析】（1）解：由题意，，（1）函数的最小正周期为；（2），得，所以对称中心；（3）由题意，，得或，所以或点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用．本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得到，利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等21、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.【小问1详解】∵函数，其反函数为，∴，∴，又函数在区间上单调递减，又∵在定义域上单调递增，∴函数在区间上单调递减，∴，解得；【小问2详解】∵，∴，∵，，令，则时，方程有两