时间管理第三章连续时间系统的频域分析

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您可自由编辑第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法(§6・3---6・4)信号分解的目的：将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。1.正交函数集任意信号f((t)可表示为n维正交函数之和：f(t)=Cg(()+Cg(()+・・・Cg(t)+…+Cg(t)1122rrnn=£Cg(t)r=1原函数gQg0-g。相互正交：Jt2g(t)-g(t)dt=<?m'n12r七mn[K,m=ngrG)称为完备正交函数集的基底。一个信号可用完备的正交函数集表示，.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。2.能量信号和功率和信号(§6.6一)设iG)为流过电阻R的电流，瞬时功率为P(t)=i2(t)R一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R=1Q则在整时间域内，实信号fG)的能量，平均功率为：W=limJ亨f2(t)dtp=limlJ亨f2(tdT。*±T。*T01°讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：0vWV8(有限值)P=00<PV8(有限值)W=8满足①式的称为能量信号，满足②式称功率信号。3.帕斯瓦尔定理设匕(t)｝为完备的正交函数集，即

ff2(t必=WC2fg2(t^t=Ef\Cgr(t)1dt"r=1tir=1ti信号的能量基底信号的能量各分量此式称为帕斯瓦尔定理P331式(6-81)(P93,P350)左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。物理意义：一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。二、周期信号的频谱分析一一傅里叶级数周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式：f(t)=a+*Gcosn®t+bsinn®t)0n1n1n=1=c+Eccos(n④t+9)0n1n指数形式：f(t)=WF(n®1*币吃周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性(T,F(n®1)|D谐波性：(离散性)谱线只出现在n®1处，唯一性：f(t)的谱线唯一两种频谱图的关系••••三角形式：cn~®，指数形式：|F(n®1)|~®,七en~®单边频谱~®双边频谱两者幅度关系F(n®1)=板Cjin壬0)指数形式的幅度谱为偶函数|F(n®)|=|F(-n®)|指数形式的相位谱为奇函数11。(n®)=』(-n®)F0=C0=a0(4)引入负频率对于双边频谱，负频率(«®1)，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？1•••f((t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejn^t与e-jn^1，才能保证f(()实函数性质不变。(5)对特殊信号不一定满足上述三个性质例如：冲激序列6(t)=2^S(t-nT)(n为整数)的付里叶级数O&分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即F(nro)=—fs(t)e-jn%dt=—TT-T2•••f(()=st(()=*Tejn&1n=-ssT(t)的频谱，有离散性，谐波性，'无收敛性，频带无限宽周期信号的功率周期信号的平均功率=各正交分量的平均功率之和(帕斯瓦尔定理)cosn®t+bsinn①t平均功率：1P=T』:f2(t)dtn=102=a2+2n0n=1£n=1七是三角形式傅里叶级数的余弦形式中振幅值。n.•・总平均功率=各次谐波的平均功率之和对于指数形式的傅里叶级数P=L』Tf2(t)dt=EF。①1)2=£F|2,

0n=-8n=-8三、典型周期信号的傅立叶级数本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论其频谱的特点。频谱结构已知矩形脉冲信号的脉宽为脉宽为J脉冲高度为E，周期为T1。三角形式的谱系数fG)是个偶函数％=0,只有a0,气。指数形式的谱系数1etrt^F(n①1)=T*f(t)e*dt=—S*n气^J频谱特点包络线按抽样形状变化xx频谱是离散的F(no1)~①是n气的函数，只在①1的整数倍有值(谐波性)

.Er其最大值在n=0处，为质T1幅度J＜谱线间隔叫=舞J1T1当孔T8,时，Q1T8，竿为无限小，/（t而周期信号T非周期信号。•1•矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性=mn（m取整数）时，通过零点。其中第此后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在频带宽度周期矩形脉冲信号的频谱每当气任2一个零点在号』，即n^=2n21r第一个零点以内。信号一般主要集中在低频段。=mn（m取整数）时，通过零点。其中第此后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：B&=竿或Bf=1，带宽与脉宽成反比。对于一般周期信号，将幅度下降为§\F(no1)皿的频率区间定义为频带宽度。系统的通频带〉信号的带宽，才能不失真非周期信号的频谱分析一傅里叶变换傅里叶变换当孔—8时，/(t):周期信号-非周期信号谱系数：F(丽1)=:!?2f(t)e-施1W(1)1T1%T1FG①1)=F,；〔)=F1)单位频带上的频谱值1T1JfG=lim;FG%)T1T8=limJT12f(t)e-jn(d1tdtTT8T】2=J00f(t)e-加tdt-8FJ)称为频谱密度函数，简称频谱函数。由f(t)求F佃)称为傅立叶变换。F(&)一般为复信号，故可表示为F(①)=1F佃)le为(0lF0)l~S幅度频谱9(①)~①：相位频谱

反变换fJ)应是F妇)的反变换。f(t)=M』8Fd、td&2冗一8傅立叶变换对F@)=J8f(t)e-J①tdt=Ff(t)]一8f(t)=如8Fdj①td®=F-1f(t)]称为付里叶变换对，简写fQ"F(J,其中f(t)称为原函数，F(o)称为象函傅立叶变换的特殊形式F(o)=|F(o)eM)=A(o)+jX(o)实部虚部f(t)=feQ+fo。实信号偶分量奇分量F(o)=f8f(t)e-jotdt-8=J8f(t)+f(t)]・lcosot一jsinotd-8=2J8fe(t)cosotdt一j2J8fo(t)sinotdt虚部实部关于o的偶函数关于o的奇函数关于o的偶函数关于o的奇函数R(ok2J8fe(t)cosotdtX(o)=-2J:fo(t)sinotdt\F妇卜气上妇几+X(o^2。妇)=坨-1洛fQ偶函数(奇分量为零)QF(o)为实函数，只有R(o)，相位土兀f()奇函数(偶分量为零)QF(o)为虚函数，只有X(o)，相位土;2

奇偶虚实性傅里叶变换的物理意义/(t)为实函数f(t)=—J00F(o>/e如=卜^^^©.e虚部关于o的偶函数关于o的奇函数关于o的偶函数关于o的奇函数=&JoF(42冗-ojl(®)ej®td&=—Jo|F(o)costot+|^®Ud®+j-1Jo|F(o)sinLt+|(o)d®2丸-o2冗-o=—JoF(o)costot+|(o)do2冗-o=—Jo|F(o)costot+|(o)do冗0=Jo0F(o)docoslo=Jo0冗求和振幅正弦量由上式可得出，非周期信号可分解为：无穷多个幅度为无穷小(:F(o)d°)的连续指数信号之和，占据整个频域，2丸1o:—oTo；无穷多个振幅为无穷小(§|F(o)d°)的连续余弦信号之和，频域范围：0To。傅里叶变换存在的条件1°|/([t=有限值知分条件)-o即f(t)绝对可积，F4)存在。所有能量信号均满足此条件。当引入5(o)函数的概念后，允许作变换的函数类型大大扩展了。典型非周期信号的频谱相位频谱单边指数信号F(»)=J8EeFuC>-加画一8直流信号Ef(t)=E一8VtV+8fG)不满足绝对可积的条件，不能直接用定义求F4)；利用矩形脉冲的频谱求极限。:.E.2冗6(o)+F（d）（2nE）Od时域无限宽，频带无限窄。当f。=1时，FEJ=2冗6(d)t>0,c这个信号不满足绝对可积条件。处理方法:tV0符号函数f(t)=sgn(t)=｛一1，做成一个双边函数f1。=sgn(tL-W，，求七(o)，求极限得到F(o)...码盖）”=-§=旨ez2

冲激函数F(®)=J^8(t)?-j攵dt=1—3t>0,c这个信号不满足绝对可积条件。处理方法:tV0...码盖）”=-§=旨ez2冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。f(t)t对称性tf(t)oF(o)冲激偶的付里叶变换3f(t\t(t)dt=—f血)f(t)o...8t(t)e38《\—jotdt=-^e-joJ=o=—(—jo)=jo—3单位阶跃函数u(t)u(t)e在8(D)+j-

o

傅立叶变换的性质傅立叶变换具有唯一性。付氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论付里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；•用性质求F(o)了解在通信系统领域中的实用。对称性线^奇偶虚实性微分性质尺度变换特性时移特性频移特性时域积分性质微分性质时域微分f(t)QF(o)，贝iff(t)IjoF(o)如果fG)中有确定的直流分量，应先取出单独求付氏变换，余下部分再用微分性质。频域微分若f(t)IF(o),则tf(t)—jdF(&)do或-jtf(t)IdF(o)do尺度变换特性若f(t)IF(o)，则f(at)11F⑵，a为非零常数。aIa)信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。

.时移特性都(l)eF(o),则f。-匕)eF(c))e-j^0；若H((o)="(co)衔枷)，贝![f(r-^)o|F(a))|-ejb(®)-j®rol幅度频谱无变化，只影响相位频谱，.当时移和尺度变换都有时新£)5"贝VJ+万).n仁)•0\a\aJ8.频移特性通信中调制与解调，频分复用若f(t)ej(d^—F(D-(O)贝U八)(°、0)。为常数，注意土号<^fQd+g)0)|9.时域积分性质若丁0—F(d)贝[|正(0)=0时,FyGL.些?—00JG)H(0)o0时,F八认.时GM)+些^—00JG)卷积定理1.时域卷积定理意义:时域卷积对应频域频谱密度函数乘积2.频域卷积定理若/20^F2（o）1.时域卷积定理意义:时域卷积对应频域频谱密度函数乘积2.频域卷积定理若/20^F2（o）意义：时间函数的乘积一各频谱函数卷积的治倍。3•作用卷积定理：揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯理论中有重要作用4.应用：用时间卷积定理求频谱密度函数求FfG》t的傅立叶变换。一8求系统的响应一口^叩一g0=f%认)5.调制原理与频分复用调制：将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高频段上的过程。图1为幅度调制(AM)。解调将己调信号恢复成原来的调制信号的过程。图4所示为同步解调

G(®)①Gad2F(G(®)①Gad2F(o)+4F(d+加『+F<D-西)频分复用所谓频分复用，就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。发信端：调制，将各信号搬移到不同的频率范围。收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。再利用一个低通滤波器(带宽①诳<H<2%-®TO,)，滤除再2%附近的分量，即可取出f0,完成解调。"m°周期信号的傅立叶变换周期信号：fQ.傅里叶级数-F(n^1)离散谱非周期信号f().傅里叶变换-F。切)连续谱cosQ01OK§(»+①0)+kS(»-&0)正弦信号：TOC\o"1-5"\h\zsin切otO—j丸S(©-o.)+j航(o+气)f。=EF(no一般周期信号：；：°1F.(o)=£F^no,*ljnof=2丸EF(no).6(d-no)T111—8-8离散谱走示的是频谱密度.T(M频谱由冲激序列组成；位置：o=no1(谐波频率)强度：2冗F(no1),与F(no1)G)谱线的幅度不是有限值，因为

周期信号的F(o)只存在于o=no1处,频率范围无限小,幅度为离散谱走示的是频谱密度.由F，)求F(no1)：FG®1)=TF0

1(®)o=n®1F0(o)=jMf(tL-jotdt——2单位冲激序列的8FG®1)=TF0

1(®)o=n®18t。=荒8(t-nT)=£F(no1)?jno1t=土£ejno/

n=-8n=—81—8F(o)=臾EsCo-no)=o2^3(0-no)T1-■』F1n=-8、>no)111n=-81iF(o)888...・・.ii(o)1iJ(o)19o)►2oo-2o-o0o2oo88o11111111.•.8t(t)的频谱密度函数仍是冲激序列,强度和间隔都是o11T1周期矩形脉冲序列的傅氏变换F(o)=Et®1£Saf"；任jsG-n®1)—8抽样信号的傅立叶变换f(t)…(1)(1)G)(1)。…-2T-T°T2Tt188111

连续信号⑤

八）连续信号⑤

八）*抽样信号七^^5。抽样脉冲p(t)=5t(t)=艺5(t-nT).①2^5(①一n®)一8—8fs(t)=f(t)5t(t)=*f(nT)8(t-nT)一8频域:Fs(o)=FfCbTG)]=圣F(®)®8T(o)=1tF(o-n®s)Sn=-8若接一个理想低通滤波器，其④<®<©一⑦即可重现原信号。增益为Ts截止频率滤除高频成份抽样定理f.=④<®<©一⑦即可重现原信号。Tsmax=f是最大抽样间隔，称为奈奎斯特抽样间隔一个频率受限的信号fQ如果频谱只占据-％o〜+%的范围,则信动（t局用等间隔的抽样值来唯一地表示。其抽样间隔必须不大于沼，即Ts<21■（其中®m=2f），或者说最低抽样mm频率为2fm。抽样定理的应用一时分复用用于时分复用，在同一时间里传送不同信号。

十.系统函数H(jo)H(o)=R(o)_响应信号的傅氏变换丽_激励信号的傅氏变换物理意义H(o)=表征系统固有的性质或特性h()为冲激响应，取决于系统本身的结构，描述了系统的固有性质。H(o)也仅仅决定于系统结构，H<0)是表征系统特性的重要参数。系统冲激响应的傅立叶变换当e(t)=S(t)时，r(t)=h(t)，此时5(t)