初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对有关的题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上示数到原点的距离叫做数a的绝，记|a|(2)代数意义：①正数的绝对值它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。a当正数也可以写成：

0当为0a当负数说明≥0即是非负数；（Ⅱ）|a|概中蕴含分类讨论想。三、典型例题例数结合思想已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式||+|a+b+|A．-3aB．－aCD．

）解：|a|+|a+b+|c-a||b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符时，必须先确定绝对值符号内各数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道题运用了数形结合的数学思想，、c在轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从去掉绝对值符号，完成化简。例．知

x0z

，

xy0

，且

yzx

，么

xzyzxy的值（C）A．正数B是负数C．零D．不能确定符号解：由题意数轴上位置如图所示：所以

x(y分析：数与代数这一领域中数形合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借数轴直观、轻松的找到了x、y三数大关，我顺简铺平了道路。虽然例题中有给出数轴，但我们应该有数形合解决问题的意识。例分论的思）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，数轴上表示这数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题息示两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数号相反，即一正一负。那么究竟是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问。解：设甲数为x乙数为由题意得：

x3y

，（1）数轴上表示这两数的点位原点两侧：若x在原点左侧在原点右侧即，y>0，4y=8，以y=2,x=-6若x在原点右侧在原点左侧即，y<0，，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位原点同侧：若x在点左侧，即，，以y=-4,x=-12若x在点右侧，即，2y=8，y=4,x=12例整的思想）程

x20082008x

的解的个数是（D）A．1个B．2个C个D．多个分析：这道题我们用整体的思想决。将x-2008看个整体，问题即转化为求方程

aa

的解，利用绝对值的代数意义我们难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负都是方程的解，即本题的答案为D。例非性）已与相互数，试求下式的值．1122a20072007分析：利用绝对值的非负性，我可以得到a，得a=1,b=2于是

1122a2007200711112233420082009111111122334200820091

12009在上述分数连加求和的过程中，们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再入思考，

1111244668如果题目变成求在课下继续探究。

值办解吗？有兴趣的学可以例离问题）观下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与

，3与5，与6，与并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两数的差的绝对值有什么关系吗？答____等.（2）若数轴上的点A表示，点表的1AB两间的距离可以表示为

x1

．分析：点B示的数为1所我们可以在数轴上找到点B在的位置。那么点呢为x可以表示任意有理数，所以点可于数轴上的任意位置。那么，如何求出与两的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三情况进行讨论。当，距离-x-1,

当-1<x<0时，距离为，

当，离为x+1综上，我们得到A点间距离可以表示为

x1（3）结合数轴求得

x2x3

的最小值为5，最小时的范围为≤x_分析：

x2

即x与2的差的绝对值，它可以示数轴上2之间距。x3x(

即-3的绝对值，它也可表示数轴上-之的离如图x数轴上的位置有三种能：图1图2符合意x1x43（4）满足

的

x

图的取值范围为或

图3分析：同理

x1

表示数轴上x-1之的距离

x4

表示数轴上x与-4之的距离本题即求，当是数时x与1之距离加上与-间的距离会大于3。数轴，我们可以得到正确答案或。说明：借助数轴可以使有关绝对的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距问题也可以转化为绝对值问题互化在解决某些问题时可以带来方便

AB

表示的几何意义就是在数轴上表示与数之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是用这一结论并结合数轴的知识解了3难题。四、小结．理解绝对值的代数意义和几何义以及绝对值的非负性．体会数形结合、分类讨论等重的数学思想在解题中的应用bxcxbxcx值为8，求当时数式ax5353535的值时,代数式3x57得2，方程同解原理，得3第二讲：代数的化简求值问题一知链．“式”是用运算符号把字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二根式等内容，是初中阶段同学们该重点掌握的内容之一。．用具体的数值代替代数式中的母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打基础。二典例例．多

2mx

2

2

5x7x

2

3y5x

的值与x无关求

2

2

4

的值分析：多项式的值与x关，即x的项均为零因为

2mx

2

2

5x7x

2

3y5x2mx

2

3y所以m=4将代，

22m2mm

4m利用“整体思想”求代数式的值例时，代数式

ax

535

cx

的值。分析：因为

ax

5bx3

cx68当时

2a2b2c6得22b68

，所以

223b2c8614当，

ax

5bx

cx6=ab6例．代

x

22

9x

的值分析：观察两个代数式的系数由

x

222

9x6整体代人，

2

9x24代数式的求值问题是中考中的热问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整代人的方法就是其中之一。a10，a10，2aa10得aa10，得a例．已知

a

232

2007

的值.分析：解法一（整体代人

a

232

a0所以：

aa

33

2a2a

2

a

2aa

2

1解法二（降次作画实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由

a

22

1

，所以：a

3

2a

2

2007a2a2a

2

20072a

2

2007aa

2

2a

2

2007aa

2

2007120072008解法三（降次、消元

a2a1

（消元、减a

3

2a

2

20073a

2

a

2

2aa)a

2

20072007aa

2

2007120072008例实应用和B两公准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同只有工资待遇有如下差异A公，年薪万元，每年加工龄工资200；公司年薪五千元，每半加工龄工资50元从收入的角考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年第实际收入（元）第一年A司10000；B5000+5050=10050第二年A司10200；B5100+5150=10250第n年A司B司[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)由上可以看出B司的年收入永比A公司多50元如细考可能选错。例．个、b的积为负数，和为正数且

，C5C5则

ax

32

cx

的值是_______。解：因为，以、b中有一个是负数，或三个都是负数又因为，所只有一个是负数。不妨设a<0，b>0则ab<0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代要的数，到果。同理，当b<0时x=0另：观察代数式

babacbabac

，交换的置，我们发代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，们不用对、c再论有的同学可以在课下查阅资料看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题：8例7如，平面内有公共端的六条射线OA，OCOD2OE射OA始按逆时方向依次在射线上写出数字931，2，3，4，5，7，4O（1”射线____，10“2008在射_

7161211

（2）为正整数，则射线OA上字的排列规律可以用含n的代数式表示．分析OA上排列的数为1，7，13，19观察得出，这列数的后一项总比一项多6归纳得到，这列数可以表示为因为17=3×6-1，17射OE因为，以2008在例．将正数按下表排成5列

第一列第

第三列

第四列

第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根据上面规律2007在A．125行,列B.,2列C.行2D.行5分析：观察第二、三、四列的数排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数：，19，律为8n-5因为2007=250×8+7=251×8-1所以，应现在第一列第五列又因为第行排列规律是奇行，数是从第二列开始从小到大排列，所以2007该在第251第列例年兴市定义一种对正整数nF运算：①当n为数时，结果为3n＋5；②当nnn为偶数时，结果为（中k使2奇数的正整数算复行例，n，则：F②F①F26134411第一次

第二次

第三次若n＝449，第449次F运的结果．分析：问题的难点和解题关键是正理解第二种运算，即当偶数时，结果为n是使为数的正整数所的商为奇数，这个运算才能结束。

n2k

（其中k数，经过F”变为1352；1352数，经过”变为169奇数，经过F”变为512，512是，经过”变为11奇数，经过F”变为8，8是偶数，经过”变为1我们发现之后的规律了，经过多运算，它的结果将出现1的交替循环。再看运算的次数是449次为四次运算后都是奇数次运算得到次运算得到，所以，结果是8三小用字母代数实现了我们对数认识又一次飞跃们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三讲：与一一次方有关的问题一知回一元一次方程是我们认识的第一方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固深化，又为以后的一元二次方程不等式、函数等内容打下坚实的基础。典型例题：二典例例．关x的元一次方程

2xk3

=1的解x=-1，则k值是（）A．

213．1．-711

．0分析：本题考查基本概念“方程解”因为x=-1关于的一次程

2xkx3k2

=1的所以

2k1131，解得k=-311例．方3x-5=4和

1

x3

0

的解相同，则a值为多少？分析：题中出现了两个方程，第个方程中只有一个未知数x所以可以解这个方程求得x的第二个方程中有a与个未知以没有其他条件的情况下本办法求得ax的，因此必须分析清楚题中的条件。为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得第个方程，第二个方程也就转化为元一次方程了。解：3x-5=4，3x=9，x=3因为3x-5=4方程

1

x3

0

的解相同所以把人

1

x3

0

中即

1

33

0

得3-3a+3=0例方程与代数式联系）a、b为实数，现规定一种的运算

abcd

ad

.（1）则

11

的值为当

245

时，

x

=.分析即，b=2，c=-1，d=2因为

abcd

ad

，所以

11

（2由

2x)

得：所以10-4+4x=18解得x=3例程思想一身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘的墨水将盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘则瓶内的水的体积约占玻璃瓶容积的（）不考虑瓶子的厚A．

abBD．ababh分析：左右两个图中墨水的体积该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解问题解：设墨水瓶的底面积为S，则中墨水的体积可以表示为Sa设墨水瓶的容积为，图中水的体积可以表示为V-Sb于是Sa=S(a+b)由题意，瓶内的墨水的体积约占璃瓶容积的比为

SaSaaVb)b例．小杰食买，到A两前面排队的人一样多，就站在窗伍的里面，过了2分钟现A口每分钟4人饭离开队伍口每分钟有人买离开队伍B口队伍后面每分钟增加5人此时，若小李迅速从窗队伍转移到窗口重新排队将比继续在A口排队提前秒买饭求始，多人。分析口每分钟有人了离队，B窗队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗前的队伍每分钟减少1，题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时=到窗队所需时+解：设开始时，每队有x人排，2分后B窗排队的人数为

x2根据题意，可列方程：62去分母得3x=24+2(x-2)+6去括号得3x=24+2x-4+6移项得3x-2x=26解得x=26所以，开始时，有26人。课知拓：一含母数程解：思考：axb什么方程？在一元一次方程的标准形式、最形式中都要求，以我们把它称为含字母系数的方程axb例．方

axb

不是一元一次方程解讨论）当时，

x

ba当时即方程任意解当a=0≠0时，0x=b方无解即方程b解有三种情况例．当满足什么条件时，方程有一解无解。分析：先解关于x方程，把x用、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。解：将原移项得2x+bx=1+a-5合并同类项得(2+b)x=a-4当2+b0，即时程有唯一

x

a42b

，当2+b=0时即且a=4，方程有无数个解，当2+b=0时即且≠4时，程无解，例8方程

x11xabab分析：根据题意，所以程两边可以同乘去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b去括号，得bx-b-a+ax=a+b移项，并项得(a+b)x=2a+2b当时

b

=2当a+b=0，方程有任意解说明：本题中没有出现方程axb的系数a=0的情况，所以解的情况只有两种。二、含对值的方程法例．解下方程

3解法讨论）当时x>

，，5x=5因为x=1符合大前提x>，此时方程的解是x=1当时x=到盾等式0=3，以此时方程无解1当时x<5x-2=5因为x=

2符合大前提x<，此时方的解是55综上，方程的解为x=

注：求出的值注意检验是否合件解法思想）联想：

a3

时，a=±3类比：

3

，则或5x-2=-3解两个一元一次方程，方程的解x=1或x=

例．解方

x15

1解：去分母x-1|-5=3移项2|x-1|=8|x-1|=4所以或解得或例11．解

x11分析：此题适合用解法2当时x>1，3x=2，x=

因为

不符合大前提x>1，此时方无解当时即，0=-2+1，此时方程无解当时即x<1因为x=0符大前提x<1，时方程的解为x=0综上，方程的解为x=0三小体会方程思想在实际中的应用体会转化的方法，提升数学能力第四讲：图形初步认识一相知链：1．认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方、长方形、三角形、圆2．立形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图从正面看（从左面看图从上面看）得到的三个平面图形。（2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、方体（共十一种）二典问：（一）正方体的侧面展开图（共一种）分类记忆：第类中四方两各个共种第类中三方两各一二，三。第类中二方两各二，有种第类两各个只一。基本要求：1.右面的图形中是正方体的开图的有（C））3种）4种）5种）6种2．下图,是正的展开图(B)ABCD3．如图四个图形都是由个小同正形成其是方开图的是（）A．①②③B②③④C．④D．①较高要求：4．下图可以沿线折叠成一个带字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的个面上的数字之和最小(AA．7B．8．D．105．一个正方体的展开图如右图示，每一个面上都写有一个自然数并且相对

63

1245c两个面所写的两个数之和相等，么a+b-2c=（）A．40B.38C.36D.34分析：由题8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38

8b25a

46．将如图所示的正方体沿某些展开后，能得到的图形是（C）

A．B．C．D7．下图是某一立方体的侧面展图，则该立方体是（D）ABC．．．还原正方体，正确识别正方体的对面。（二）常见立体图形的平面展开8．下列图形是四棱锥的展开图是C）

D．）））9．下面是四个立体图形的展开，则相应的立体图形依次A)A．正方体、圆柱、三棱柱、圆B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥10．下列几何体中是棱锥的是（BA.B..D．是一个长方体的表面展图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）如果A在长方体的底部那么哪一个面会在上面？（2）若面在B面，则哪一个面会在上面？（字母朝外在右面D面在，则哪一个会在上面？（字母朝外）答案，A（三）立体图形的三视图12．如图，从正面看可看到△的()3333B

13．对右面物体的视图描绘错误是C）14．如图的几何体，左视图是（BB

15．如图，是由几个相同的小正体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是)A．3BCD．6主视图

左视图

俯视图（四）新颖题型16.正每一面不同的颜色对着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的方体，那么长方体的下底面数字和.分析：正面—黄，右面—红，上—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿所以，从右到左，底面依次为：、绿、黄、紫数字和为4+6+2+5=1717．观察下列由棱长为1的方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴所示共有个小体，其中1个见0个不见；如图⑵所示：共有8个方体，其中7看见1不见；如图⑶所示：共有个方体，其中19个看得见8看不见（）写第⑹个图中看不见的小立方体有125个想写第个中看不见的小立方体个数____(n-1)______.分析：11=10=0

328=2

3

1=1

3327=3

3

8=2

3464=4

3

27=3

3n

3

(n-1)第五讲：线段角一知结图段比和法

段中段段质

点的离线

线质

角

角

角

角的类角线

的较度和法

平线义

角或角关

角补

补相质角或角余相二典问：（一）数线段——数角——数三形问题、直线上有n个点以到多少条线段？分析：点线2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+51n1+2+3++(n-1)=问题．如图，在AOB内从O点出两条射线OC，则图中小于平角的角共有（）(A)3(B)4(C)5(D)6拓展1、在AOB射线

内部从O点n射线图中于平角的角共有多少个？角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4n1+2+3++(n+1)=

1n2类比：从O点n射线图小于平角的角共有多少个？射线2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+41n1+2+3++(n-1)=类比联想：如图，可以得到多少角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：

A

MB几何语言：是AB的∴

BM

，2BM典型例题：1．由下列条件一定能得到P段AB中点”的是（D））AP=

AB）AB＝2PB＝PB＝PB=AB2．若点B在线AC上列达式：①

；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是AC的点有（A）A．1个个C．3D3.如果点线段AB上列表式AC=中点的(C)

AB;②AB=2BC;④AC+BC=AB,能示个个4．已知线段MNP是MN的中点是PN的，是中点，那么MR=______MN．分析：据题意画出图形MRPQ设QN=x，PQ=x，MP=2x，MQ=3x，3所以，x，24x

N5．如图所示、C是线AD上任意两点M是AB的点N是CD中若MN=a，BC=b，则线段AD长是（）0000AMBCNDA）B2a-bCa+bDa-b分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y因为MN=MB+BC+CN所以a=x+y+b因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）与角有关的问题1．已一条射线OA若从O两条射线OBOC使AOB=60则∠OC=____80°或40°________（讨论）

，∠OC

，2．AOB线OMON分为AOC∠BOC的线，猜想∠的，试证明的结论．

M

C猜想_90°______证明：因为OMON分∠AOC∠BOC的分线

AO

NB所以∠

∠AOC，

∠COB因为∠∠MOC+∠CON所以∠

1∠AOC+∠COB=∠AOB=90°3．如图，已知直线AB和交于O，是，OF平∠AOE，∠COF求∠BOD的度．

，分析：因为

∠COE

是直角，

∠COF34

，所以EOF=56°因为

OF

平分

∠AOE所以AOF=56°因为AOF=∠AOC+所以∠°因为直线AB和交于O点所以∠BOD∠AOC=22°4．如图BOCO分分ABC和ACB若A=，O；若A，多少？若A，又是？由现么规？当A的发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于）答案°+

∠A．如图O是直AB一,OCODOE是射线互补的角共有（B）(A)2(B)3(C)4(D)5．互为余角的两个角（））只和位置有关）数量有关）置、数量都有关）位、量无7．已知、∠2互为角，且∠2则∠的余是C）11A.（∠1∠2B.∠1C.（∠1∠2D.∠222分析：因为＋，以（∠1∠2∠2=一知框

1（∠1∠2∠2=（∠1∠22第六讲：相交与平行线两条直线相交

邻补角、对顶角垂线及性质

对顶角相等点到直线的距离相交线

两条直线被第三条直线所截

同位角、内错角、同旁内角判

定平

平行公理行线

性

质平

移二典例1.下列说法正确的(B)①对顶角相②相等的角是对;若两个角不相这两个角一定不是对顶;④若两个角不是对顶则这两角不相.

AA.1个个D.4

D2.如图所,下列说法不正确的(D)A.点B到AC的段是线段B.到AB的线是段ACC.线段AD是点BC的段;D.段BD是点BAD的线3.下列说法正确的(C在平面,过直线上一点有且只一条直线垂直于已知直;在平面,过直线外一点有且只一条直线垂直于已知直;在平面,过一点可以任意画一直线垂直于已知直④在平面,有且只有一条直线直于已知直

B

CA.1个个

F4．一学员驾驶汽车，两次拐弯，行驶的方向与原来的方向相同，

C

D这两次拐弯的角度可能是（A）

A

EA.第向左拐30°二次向拐B.第次右第向左拐C.第向右拐50°二次向拐130°D.第次左第向左拐5．如图，若AC⊥BC于⊥AB于D则下列结论必定成立的是（CA.B.AC<BCC.BC>BDD.

C分析：考察垂线段的性质、基本形——“双垂直”图形

A

D

B6．如AB线EF分别交AB,CD于平∠∠

A

E

B则∠7．如,AB∥EF∥BD,中与1相外共有C)A.6个个个D.3l1l2

C

12F

DOl38．如图，直线l、l交O点，中出现了几对对顶角，若n线相交呢？答案3，9.如在

44

的正方形网格中，

，3

的大小关系是_________

．312l

1答案：∠3

4

3

21

ll

10.图所,,L交∠1=∠2,∠1=8:1,求∠的度.方程)答案：11．如示知AB∥CD,别索列个形P与A,的系你从所得的四个关系中任选一个加以说.A

B

A

B

P

A

BP

P

A

B

C

DCD

CD

C

D

P(1)(2)(3)(4)（1）分析：过点P∠APE+∠A+°∠C（4）∠C

x12．如图，若，x+y-z度。

y

分析：如图，添加辅助线

z

A

1

E

B证出

F

C

2

PD13．已知：如图，

求证：分析：法一

EF法二：由AB//CD证PAB=APC，所以EAP=APF所以所以

EF第七讲：平面角坐标系一知要：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐符号（2）坐标轴上的点的坐标：x轴点的坐标

纵为0;

轴上的点的坐标为

，坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特P,yP设、111222P、两关x对称12

x1

x且21

y

2

;P、两关y对称12

x1

x，且y21

y

2

;P1

、

P2

两点关于原点轴对称

x1

x2

，且

y1

y

2

。3、距离（1）点A

轴的距离：点A到

x

轴的距离

A到y轴距为x

（2）同一坐标轴上两点之间的离：A

、B，则AB

A

x))则AB|yBAB

A

yB二典例1、已知点M的为xy<0M的位置)第、第三象限、第四象限第、第四象限、第四象限2．点（m，1在第二象限内则点（-m，0（．x轴正上轴轴上正半轴上轴负半轴上3．已知点A（a，b）第四象，那么点（b在（．第一象限．象限C第三象限．四象限4．点（1，-2）于y轴点的坐标是（）A）））．如果点M）第象限，那么点）象限，点Q）第限。．如图是中国象棋的一盘残局，果示帅的位置，用(示将的位置，那么炮位置应表示为A，8)，9)D，8)7．在平面直角坐标系中，平行边形ABCD

的顶点A、D的分别为0（5，0C的坐为）A）B）C）D）8．已知点P（x,

x

P一）A．一象限B在第一第四象限C上方D不在x下方9．已知长方形ABCD

中AB=5，A∥x，若点A的坐为（－2的坐标为。10．三角形ABC三点的坐标别是A（-4，1，4角ABC右移2个单长度，再向上平移个单长，平后个点标是（AC11P的标是（x段PQ中点标为（1122

x1

xy

y2

已知点的分别为-5线AC的D、E的坐并判断DE与的位关．解：由“中点公式”得．12．如在平面直角坐标系中A点为绕点逆时针旋转90得到OA，A坐标是（）Ａ．(Ｂ(Ｃ4)Ｄ3)分析：13．如图，三角形AOBA、B两点的坐标分别为-4，-6（-6，-3角的面解：做辅助线如图．S=S-（S+S）BCDO=×（3+6（×2×3+）=27-）=12．214．如图，四边形个顶的坐标分别为（–2确定这个四边形的面积，你是怎做?如果把原来各顶点纵坐保持不变，横坐标增加2所得的四边形面又是多少？分析：（1）80（2积不变

yA

7

A

6

A

A

3

A

215．如图，已知A、A，1，1（-1A（2点A坐为_____________________.答案(-502,502)第八讲：与三形有关的线段一相知点1．三角形的边三角形三边定理：三角形两边之大于第三边即：△ABC，（点之间线段最短）由上式可变形得到：－b，b>a，c>b即有：三角形的两边之差小于第边2．高由三角形的一个顶点向它的对边在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3．中连接三角形的顶点和它对边的中的线段，称为三角形的中线4．角线三角形一个内角的角平分线与这角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线二典例（一）三边关系1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那的取范()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7D.4<a<62．小颖要制作一个三角形木架现有两根长度为8m和5m的棒。如果要求第三根木棒的长度整数小颖有几种选法？可以是多？分析：设第三根木棒的长度为则3<x<13所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,12A3：已知：△ABC中AD是BC边上的中线求证AD+BD>

（AB+AC）分析：因为BD+AD>AB、CD+AD>AC所以BD+AD+>AB+AC因为AD是BC边中线BD=CD

B

DCC所以

（AB+AC）（二）三角形的高、中线与角平线

A问题观形，指出图中现了哪些高线？（2图中存在哪些相等角？

D1注意基本图形：双垂直图形

C

2

B4．如图，在直角三角形中，AC≠AB，AD是上的高DE⊥AC，垂足分别为E、F则图中与∠C∠C外）相等的角的个数是（）A．5B．4C．2分析：5．如图，⊿ABC中=，=，CE平ACB，CD于DDF⊥CE求CDF的。分析：所以∠°6．一角形优良品种试验田现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积等的四块，请你设计出四种划分案供选择，画图说明。A分析：

AE

FB

DF

C

B

D

CA

AAE

EFFB

DC

B

DC

B

DE

A7．⊿ABC，∠ABC∠ACB的分相于。（1）若ABC=40°∠ACB=50°则BOC。

D（2）若ABC+则BOC=。（3）若A=，BOC=

B1

2

C（4）若BOC=，则A=。（5）你能找出A∠的数量关系吗？8．已:BE,分别为△ABC求:与A关系分析：°-∠A

的外角∠MBC,∠NCB角分,9．已:为ABC角平分,CF为角ACG的分,求∠F∠A的关分析：∠F=

∠A思考题图∠ABC与ACG平分线交于F1与F1CG平分线交于此下去,∠F2BC与F2CG的线交；…∠与A的系n为数）第九讲：与三形有关的角一相定三角形内角和定理：三角形的内和为180°三角形的外角性质定理：．三的任意一个外角等于与不相邻的两个内角和．三的任意一个外角大于任一个与它不相邻的内角（三）多边形内角和定理n边内角和为

2)180多边形外角和定理：多边形的外和60°二典例问题：如何证明三角形的内角为E

A

F

1

2

B

C

A1．如,在△中,∠B=∠C,且ADE=∠AED,∠度数分析：∠CDE=∠ADC-∠2∠1=∠B+40°-∠1=∠B+40°-∠1+∠C2∠1=40°∠1=20°

EBDC2．如图：在ABC，>∠B，AD于，AE平分BAC求证：∠EAD＝

（∠C）

DC3．已知CE是△外的平分线CE交BA

EABCD求证：∠B分析：问题：如何证明n边形角为A

2)180A

AB

E

B

M

E

B

E

MCM

D

C

D

C

D．多边形内角和与某一个外角的数总和是1350°多边形的边数。．科技馆为某机器人编制一段程，如果机器人在平地上按照4中骤行走，那么该机器人走的总路程为（）A.6米B.8米C.12米D.不确第十讲：二元次方程组一相知点1、二次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未数，未知数的次数都1，系数都不为这样的整式方程称为二元一次方程。2、二元一次方程的标准式：

axbyc0a03、一次方程的解的概念：xyxxyxy，x25x的解．使二元一次方程左右两边的值相的一对

x

和y

的值，叫做这个方程的一个解。4、二次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。5、二次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左两边的值相等的两个未知数的值元次方程组的解。二典例1．下列方程组中，不是二元一方程组的是（C）Ａ．

x

Ｂ．ＣＤ

yy2

x．

xy．

x2y2．有这样一道题目：判断

是否是方程组的1

2x3y5小明的解答过程是：将

x3，y1代方程

x250

，等式成立．所以

y1

是方程组x2y52x50小颖的解答过程是：将

x3

，

y1

分别代入方程

x20

和

2x3y50

中，得x2502x3y50

．所以

2，不是方程组的．2x3y5你认为上面的解答过程哪个对？什么？3．若下列三个二元一次方程3x-y=7；y=kx-9有共那么的取是（B）A、k=-4、k=-3分析：利用方程组方组求再代入求k。解

72x3y1

得：

将

代入y=kx-94．解方程组

3n10100

方法一消）解：由2

n

12

3

把3入

m

43把

m

43

代入（

n3

∴

4m3n3方法二消）解6m+4n-20=0(3)(3)-(1):7n=21n=3把

n3

代入（

∴

4m3n3方法三代）解：由）得：

22n7n10

3由（）得：

3m10

4

把（4代入（

n3把

n3

代入（

∴

4m3n3方法三代）解：由）得：

23m2n1021

3由（）代入

n3把

n3

代入（

∴

4m3n35．知方程组

a3b9

的解是

32

，则方程组

x3yx5y9

的解是（C）A．

32

B

3x3C．D2.y26．

45xy45xy

133解：设

a

1xy

，则原方程组可化为

5b133

解得：

1x∴2y17．解方程组

x:y3:23x5y

解法）∵

32

∴设

x2k

。把∴

x

代入2

k38．解三元一次方程组2yy12z3分析：

三元一次方程组消元

转化消元二元一次方程组

一元一次方程组转化解：由（２）得：xy1把（４）分别代入1

3y2z由（）得

y2z4(7)349把（７）代入（５）得：

6z1z97z21z3把

z3

代入（７）得：

x1把

y2

代入（得：

x211

∴

y2z39．字母系数的二元一次方程组当a何值时，方程组分析：×2：6x+2y=6(3)(3)-(1):(6-a)x=5

2y3x

有唯一的解当≠6时，有唯一的解

（1）当

m

为何值时，方程组

y12x

有无穷多解分析：（1）×2：2x+4y=2(3)(3)-(2):(4-m)y=04-m=0即m=4有无穷多解10．一副三角板按如图方式摆放且

的度数比

的度数大

50

，若设

的度数为x，A．

的度数为，则得到的方程组为xy，xy，BC．yxyyy

1

2．改善住房条件，小亮的母考察了某小区的A、B楼房A楼房在第3层，套楼房在第层楼套的面比套房面大24平方米套的房价相同3和第5楼的房价分别是平均价1.1倍倍为了计算两套楼房的面积，小亮设套面积为平方套的面为平米上信息列出下列方程组的）A．

9x1y1x9y9x1x9yB．C．D．xyx12．某水果批发市场香蕉的价格下表：购买香蕉数

不超过20千克20千克上不过40千克以上（千克）每千克价格6元

40克5张强两次共购买香蕉千二次多于第一次元问张强第一次、第二次分购买香蕉多少千克？分析：由题意知，第一次购买香数小于25千克则价为情况进行讨论。解：设张强第一次购买香蕉x，第二次购买香蕉千克，由题意，当0<x≤20≤40时，由题意得：当，y>40时由题意可：

yx，解得6x5yy，解得6xyy

(合题意，舍)（3），则，题意可得：

5x5y

，方程组无解由（1，张强第次、第二次分别购买香蕉14千克36千克第十一讲：一一次不式一知链：1．不等式的基本性质通过对比不等式和方程的性质，学生学会用类比的方法看问题。性质：不等式的两边同时加上或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。若则性质：不等式的两边同时乘以或除以）同一个正数，不等号方向不变。若a>bc>0。性质：不等式的两边同时乘以或除以）同一个负数，不等号方向改变。若a>bc<0。2．同解不等式如果几个不等式的解集相同，那这几个不等式称为同解不等式。3．一元一次不等式的定义：像

2x7，3x9只含有个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是，系数不为，这样的不等式叫做一一次不等式。4．一元一次不等式的标准形式一元一次方程的标准形式：

axb0

（

a0

）或

axb0

（

a0

5．一元一次不等式组的解集确若a>b则（）当（2）

b

时，则时，则

xb

，即“大大取大”，即“小小取小”（3）

b

时，则

bxa

，即“大小小大取中间”（4）

b

时，则无解，即“大大小小取不”二典例：1．下列关系不正确的是（A．若

ab则b

B若

ab，bc，aC若

ab

，

cd

，则

acd

D．若

ab

，

cd

，则

acbd2．已知

且

xy0

，

a

为任意有理数，下列式子中正确是（）A．

B．

xy

C

xaya

D．

3．下列判断不正确的是（A．若

ab0，0，0

B．

ab

，则

11abC若

a0

，

b0

，则

ab10D．ab，bb4．若不等式ax＞b解集是x＞

ba

，则范围是（）A、a≥0B、a≤0C＞0＜05．解关于x不等式解：

mx25x

m5mx5x3m2m5x21m时，m5则x

2m52当时，5则2xm56．解关于x不等式

2axa1

。解：即a<2，

1，即a>2，

1，即a=2，不等式即0x<3，式有任意解7．若不等式

mx2x350

是同解不等式，求的值。解：3x50得x

53

1由mx2x得m1121不等式为同解不等。m1015m13m1m8m8。另解：因为方程的解x=

所以方程的x=

将

代入，解得m=-88．不等式组

2x73x1

的解集为_______________.解：

2x89．若不等式组

4xm

的解是x>3，m取值范围是）A．

m3

B．

m3

C．

m3

D．

m3分析：2x3)110．关于不等式组3x24

xa

有四个整数解，则的范围（）A．

51155B．C．aDa2424242分析：不等式组可化为所以

4a12213

，解得：

2．关于x、y的组

2y1

的解适合不等式

2xy1求的值.解法一：由方程组可得

5a13a232xy15a1a233

11a3∴a值范围是

。解法二（222由题意3a>1

所以

12．解下列不等式1）

x5

（2

x2解不等式解集为：

524a5（2）不等式解集为

x或x思考题：解下列含绝对值的不等。（1）

2x1

（2）

x1

4一、能力求

第十二：元一次等（组）应用：．能够灵活运用有关一元一次不式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识决有关问题。．能够从已知不等式（组）的解，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向维的能力。．能够用分类讨论思想解有关问。．能利用不等式解决实际问题二典例1．m取么样的负