高数一试题及解析

高数一试题及分析高数一试题及分析高数一试题及分析《高等数学(一)》复习资料一、选择题1.若limx2xk5，则k（）x3x3A.3B.4C.5D.62.若limx2k2，则k（）x1x1A.1B.2C.3D.43.曲线yex3sinx1在点（0，2）处的切线方程为( )A.y2x2B.y2x2C.y2x3D.y2x3曲线yex3sinx1在点（0，2）处的法线方程为( )A.y1x2B.y1x2C.y1x3D.y1x3222225.limx1( )1sinxB.3C.4D.56.设函数f(x)x1)(t2)dt，则f(3)=（）(t0A1B2C3D47.求函数y2x44x32的拐点有（）个。A1B2C4D08.当x时，以下函数中有极限的是（）。A.sinxB.1C.x1arctanxexx2D.19.已知f'(3)=2，limf(3h)f(3)( )。2hh0A.3B.3C.1D.-12210.设f(x)=x43x25,则f(0)为f(x)在区间[2,2]上的（）。A.极小值B.极大值C.最小值D.最大值11.设函数f(x)在[1,2]上可导，且f'(x)0,f(1)0,f(2)0,则f(x)在(1,2)内( )A.最少有两个零点B.有且只有一个零点C.没有零点D.零点个数不能够确定12.[f(x)xf'(x)]dx( ).A.f(x)CB.f'(x)CC.xf(x)CD.f2(x)C13.已知

y

f2(lnx2)，则

y

(C)2f(lnx2)f(lnx2).x2

4f

(lnx

x2)

C.

4f(lnx2)f(lnx2)x

D.

2f(lnx2)f(x)x2df(x)=(B)A.f'(x)CB.f(x)C.f(x)D.f(x)C15.2lnxdx(D)xA.2xlnxCB.lnxCC.2lnxCD.lnxC2x16.limx21( )x1lnxA.2B.3C.4D.517.设函数f(x)x1)(t2)dt，则f(2)=（(t）0A1B0C2D218.曲线yx3的拐点坐标是()A.(0,0)B.(1,1)C.(2,2)D.(3,3)19.已知yf(lnx)，则y(A)A.f(lnx)B.f(lnx)C.f(lnx)D.f(lnx)xx20.ddf(x)(A)A.df(x)B.f(x)C.df(x)D.f(x)Clnxdx(A)A.xlnxxCB.lnxxCC.lnxxD.lnx二、求积分（每题8分，共80分）1．求cosxsinxdx．2.求343lnxdx．x3.求arctanxdx．4.3求exdx5.求x3dx．x25x66.求定积分8dx．013x计算．8.求1dx．x22x89.求dx．13x211.求22xex2dx1求3x23x3dxeln2x13.求xdx114.求x3x2dx三、解答题1.若lim3xax2x11,求ax612.谈论函数f(x)x32x23x3的单调性并求其单调区间33.求函数f(x)x2x2的中止点并确定其种类x24.设xy2sinxexy,求y.5.求y(x1)3x2的导数．(x3)56.求由方程xacost确定的导数yx.ybsint1ex,x07.函数f(x)1,x0在x0处可否连续？tanx,x01ex,x08.函数f(x)1,x0在x0处可否可导？tanx,x09.求抛物线yx2与直线yx所围成图形D的面积A.10.计算由抛物线y22x与直线yx4围成的图形D的面积A.11.设y是由方程ysinyxey确定的函数，求y12.求证：lnxx1,x1设y是由方程y1xey确定的函数，求y谈论函数f(x)2x39x212x3的单调性并求其单调区间求证：ex2x1,16.求函数f(x)x(1x3)的中止点并确定其种类xx五、解方程1.求方程y2dx(x2xy)dy0的通解.2.求方程yyy20的通解.3.求方程y2yyx2的一个特解.4.求方程y5y9y5xe3x的通解.高数一复习资料参照答案一、选择题1-5：DABAA6-10：DBCDD11-15：BCCBD16-21：ABAAAA二、求积分1．求cosxsinxdx．3解：cosxsinxdxsinxd(sinx)2sin2xC2sin3xC332.求343lnxdx．x343lnxdx111d(43lnx)解：(43lnx)3d(lnx)(43lnx)3x3143lnx)3C．(44求arctanxdx．解：设uarctanx，dvdx，即vx，则arctanxdxxarctanxxd(arctanx)xarctanxxdx121xxarctanxln(1x2)C．234.求exdx3t3et3t2dt3t2etdt3t2et3et2tdt3t2et6tetdt解：exdxx3t2et6tet6etdt3t2et6tet6etC33x223x2)C．3ex(3求x25x6dx．解：由上述可知x356，所以x25x6x2x3x3dx(56)dx511x25x6x2x3dx6dxx2x35lnx26lnx3C．8dx．6.求定积分301x解：令3xt，即xt3，则dx3t2dt，且当x0时，t0；当x8时，t2，于是8dx23t2dt1t2tln(123ln3．013x1t3t)0207.计算．解：令ux2，dvcosxdx，则du2xdx，vsinx，于是x2cosxdxx2dsinx(x2sinx)002xsinxdx2xsinxdx．000再用分部积分公式，得0x2cosxdx2xdcosx2(xcosx)0cosxdx002(xcosx)0sinx02．8.求1dx．x22x8解：x1dx19d(x1)1ln3(x1)C22x8(x1)263(x1)1ln2xC．64x9.求dx．13x2解：令u3x2，则xu32，dx3u2du，从而有1dx23u2du3u211du3x1u1u3(u11)du3(u2uln1u)C1u211.求22xex2dx12222dx2ex22e4e1解：2xexdxex11112.求3x23x3dx3解：3x23x3dx3x3d(3x3)2(3x3)2C3eln2x13.求xdx1eln2xe1e11解：2xd(lnx)lnx1dxlnlnex1313314.求x3x2dx112313解：x3x2dx3x2d(3x2)(3x2)2C(3x2)2C2233三、解答题1.若lim3xax2x11,求ax6解：由于3xax2x19x2ax2x1，所以a93xax2x1否则极限不存在。2.谈论函数f(x)1x32x23x3的单调性并求其单调区间3解：f'(x)x24x3由f'(x)x24x30得x11,x23所以f(x)在区间(,1)上单调增，在区间(1,3)上单调减，在区间(3,)上单调增。3.求函数f(x)x2x2的中止点并确定其种类x2解：函数无定义的点为x2，是唯一的中止点。因limf(x)3知x2是可去中止点。x24.设xy2sinxexy,求y.解：y22xyycosxexy(yy),故yy(exyy)cosxx(2yexy)5.求y(x1)3x2的导数．(x3)5解：对原式两边取对数得：lny3ln(x1)1ln(x2)5ln(x3),2于是y3115,yx12x2x3故y(x1)3x2[3115].(x3)5x12x2x36.xacost确定的导数yx.求由方程bsintyy(t)bcostb2.x解:yx2x(t)asintay1ex,x07.函数f(x)1,x0在x0处可否连续？tanx,x01解：limf(x)limex0x0x0limf(x)limtanx0x0x0故在x0处不连续。1ex,x08.函数f(x)1,x0在x0处可否可导？tanx,x01解：由于limf(x)f(0)limex1xxx0x0所以在x0处不能导。9.求抛物线yx2与直线yx所围成图形D的面积A.yxx0x1解:求解方程组x2得直线与抛物线的交点为，y，见图6-9，所以该图yy01形在直线x0与x=1之间，yx2为图形的下边界，yx为图形的上界线，故1x21x31A2dx102030

.610.计算由抛物线y22x与直线yx4围成的图形D的面积A.解：求解方程组y22x2)和(8,4)，见图6-10，下边分两yx得抛物线与直线的交点(2,4种方法求解.方法1图形D夹在水平线y2与y4之间，其左界线xy2，右界线xy4，222344yyy故Ay4dy4y18.22262方法2图形D夹在直线x0与x8之间，上界线为y2x，而下界线是由两条曲线y2x与yx4分段构成的，所以需要将图形D分成两个小地域D1，D2，故22x(2x)dx8x4dxA2x02222x23222x23x24x818.3032211.设y是由方程ysinyxey确定的函数，求y解：两边对x求导得y'y'cosyeyxeyy'整理得y'eycosyxey112.求证：lnxx1,x1证明：令f(x)(x1)lnx由于f'(x)11x10xx所以f(x)0，x1。13.设y是由方程y1xey确定的函数，求y解：两边对x求导得y'eyxeyy'ey整理得y'1xey14.谈论函数f(x)2x39x212x3的单调性并求其单调区间解：f'(x)6x218x12由f'(x)6x218x120得x11,x22所以f(x)在区间(,1)上单调增，在区间(1,2)上单调减，在区间(2,)上单调增。15.求证：ex2x1证：令f(x)ex2x1由于f'(x)ex20得xln2，又由于f(ln2)22ln210所以f(x)0。16.求函数f(x)x(1x3)的中止点并确定其种类xx解：由分母xx30得中止点x0,x1。因limf(x)1知x0是可去中止点；x0因limf(x)lim1x1知x1也是可去中止点x1x11x22因limf(x)lim1x1知x1也是可去中止点x1x11x22四、解方程1.求方程y2dx(x2xy)dy0的通解.解原方程可化为dyy2，dxxyx2上式右边分子分母同除x2得(y)2dyx，dxy1x此为齐次方程，所以令ydyduu，则ux代入上式得xdxdxuxduu2，dxu1分别量得dxu1du，xu两分得lnxulnulnC，从而有xceu，uyy用uyCex.回代即得原方程的通解x2.yyy20解：原方程可化：d(yy')0dx分得：yy'c1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分即dy2c1dx分得y2c1xc2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分3.求方程y2yyx2的一个特解.解由于方程中q10且P2(x)x2，故可特解yAx2BxC,代入原方程有

y2AxB,y2A.Ax2(4AB)x(2A2BC)x2.A1比较两边同次幂的系数得4AB0，2A2BC0解得A1,B4,C6,所以，所求的特解为yx24x6.4.求方程y5y9y5xe3x的通解.解分两步求解.（1）求对应齐次方程的通解.对应齐次方程y5y9y0,特色方程为r