等比数列等比数列的性质及应用NO课下检测

一、选择题1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列解析：设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为bn＝anan＋1.所以eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝q2，数列{bn}是公比为q2的等比数列．答案：B2．(2022·乌鲁木齐高二检测)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3aA．12 B．10C．8 D．2＋log35解析：由a5a6＋a4a7＝18，得2a5a6＝18，即a∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝5log39＝10.答案：B3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为()A．3×10－5 B．3×29C．128 D．3×5－2或3×29解析：∵a2＝eq\f(a3,q)，a4＝a3q，∴a2＝eq\f(12,q)，a4＝12q.∴eq\f(12,q)＋12q＝30.即：2q2－5q＋2＝0.∴q＝eq\f(1,2)或q＝2.当q＝eq\f(1,2)时，a2＝24，∴a10＝a2·q8＝24×(eq\f(1,2))8＝3×2－5；当q＝2时，a2＝6，∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.答案：D4．在等比数列{an}中，a2012＝8a2009，则公比qA．2 B．3C．4 D．8解析：法一：a2012＝a1q2011，a2009＝a1q2008，所以a1q2011＝8a1q2008，化简得q3＝8，所以q法二：因为a2012＝a2009·q3，所以a2009·q3＝8a2009，所以q3＝8，q答案：A二、填空题5．在等比数列{an}中，若an＞0，a1·a100＝100，则lga1＋lga2＋lga3＋…＋lga100＝________.解析：由等比数列性质知：a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100.∴lga1＋lga2＋lga3＋…＋lga100＝lg(a1·a2·a3·…·a100)＝lg(a1·a100)50＝lg10050＝lg10100＝100.答案：1006．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________．解析：∵a，b，c成等比数列，公比是q＝3，∴b＝3a，c＝a·32＝9a又由等差中项公式有：2(b＋8)＝a＋c，∴2(3a＋8)＝a＋9a.∴a∴b＝12，c＝36.答案：4,12,367.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．2412xyz解析：∵eq\f(x,2)＝eq\f(2,4)，∴x＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为,3.∴y＝5·(eq\f(1,2))3，z＝6·(eq\f(1,2))4.∴x＋y＋z＝1＋5·(eq\f(1,2))3＋6·(eq\f(1,2))4＝eq\f(32,16)＝2.答案：28．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．解析：由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用eq\f(a12,a1)＝m，所以月平均增长率为eq\r(11,m)－1.答案：eq\r(11,m)－1三、解答题9．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a解：∵a1a5＝a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝aeq\o\al(2,5)，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，,a2a4－2a3a5＋a4a6＝36.))得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,3)＋2a3a5＋a\o\al(2,5)＝100，,a\o\al(2,3)－2a3a5＋a\o\al(2,5)＝36.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a52＝100，,a3－a52＝36，))∵数列{an}的各项均为正数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝10,a3－a5＝±6))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8,a5＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8.))∴公比q＝eq\r(\f(a5,a3))＝eq\f(1,2)或2.∴an＝a3·qn－3＝8×(eq\f(1,2))n－3＝26－n或an＝2×2n－3＝2n－2.即an＝26－n或an＝2n－2.10．某市2022年新建住房400万m2，其中250万m2是中低价房，预计2022后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万m2，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2022年为累计的第一年)将首次不少于4750万m2?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解：(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋eq\f(nn－1,2)×50＝25n2＋225n，令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，解得n≤－19或n≥10，而n是正整数．∴n≥10.故到2022年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数