节对称矩阵的标准形PptPPT资料

第六节对称矩阵(jǔzhèn)的标准形Ppt第一页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)对于任意一个(yīɡè)n级实对称矩阵A，都存在一个(yīɡè)n级正交矩阵T，使TTAT=T-1AT

成对角形.先讨论实对称矩阵的一些性质，它们(tāmen)本身在今后也是非常有用的.我们把它们(tāmen)归纳成下面几个引理.引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数.证明设λ0是A的特征值，于是有非零向量ξ=(x1,x2,…,xn)T满足Aξ=λ0

ξ.第二页，共26页。因为λ1,…,λr两两不同，所以根据这一节引理4，向量组还是两两正交的.经过转轴，坐标(zuòbiāo)变换公式为定理7对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在(cúnzài)一个n级正交矩阵T，使TTAT=T-1AT成对角形.这是属于(shǔyú)三重特征值1的三个标准正交的特征向量.再求属于特征值-3的特征向量.根据上面(shàngmiɑn)的结果，有行列式为1的正交矩阵C使因此，它们就构成Rn的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.设λ1,…,λr是A的全部(quánbù)不同的特征值.考察(kǎochá)等式显然，由ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的过渡(guòdù)矩阵就是而得到(dédào)经过转轴，坐标(zuòbiāo)变换公式为这样，正交矩阵T也就求出了.把α1单位化，还用α1代表它.证明设λ,μ是A的两个的不同(bùtónɡ)特征值，α,β分别是属于λ,μ的特征向量：即定义12欧氏空间中满足(mǎnzú)等式(3)的线性变换称为对称变换.上页下页返回(fǎnhuí)令考察(kǎochá)等式其中是xi的共轭复数，则其左边为，右边为.故又因ξ是非(shìfēi)零向量故，即λ0是一个实数.证毕.第三页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)对应于实对称矩阵A，在n维欧氏空间Rn上定义一个(yīɡè)线性变换A如下：(1)A显然(xiǎnrán)A在标准正交基(2)下的矩阵就是A.第四页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)引理2设A是实对称矩阵(jǔzhèn)，A的定义如上，则对任意α,β∈Rn，有(Aα,β)=(α,Aβ),(3)或

βT(Aα)=αT(Aβ)定义12欧氏空间中满足(mǎnzú)等式(3)的线性变换称为对称变换.证明只要证明最后一个等式就行了.实际上βT(Aα)=βTATα=(Aβ)Tα=αT(Aβ).证毕.等式(3)把实对称矩阵的特性反映到线性变换上，我们引入第五页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)引理3设A是对称(duìchèn)变换，V1是A-子空间，则V1⊥也是A-子空间.证明(zhèngmíng)设α∈V1⊥，要证Aα∈V1⊥，即Aα⊥V1.任取β∈V1，有Aβ∈V1.因α⊥V1⊥，故(α,Aβ)=0.因此

容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.(Aα,β)=(α,Aβ)=0.

即Aα⊥V1，Aα∈V1⊥，V1⊥也是A-子空间.证毕.第六页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)引理4设A是实对称矩阵，则Rn中属于(shǔyú)A的不同特征值的特征向量必正交.证明设λ,μ是A的两个的不同(bùtónɡ)特征值，α,β分别是属于λ,μ的特征向量：即

Aα=λα，Aβ=μβ.定义线性变换A如(1)，于是Aα=λα，Aβ=μβ.由(Aα,β)=(α,Aβ)，有λ(α,β)=μ(α,β).因为λ≠μ，所以(α,β)=0.即α,β

是正交的.

证毕.

第七页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)定理7对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在(cúnzài)一个n级正交矩阵T，使TTAT=T-1AT成对角形.证明由于(yóuyú)实对称矩阵和对称变换的关系，只要证明n维欧氏空间中对称变换A有n个特征向量做成标准正交基就行了.

现在来证明主要定理

我们对空间的维数n作数学归纳法.

n=1时，显然定理的结论成立.

设n-1时定理的结论成立.第八页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)对n维欧氏空间(kōngjiān)V，线性变换A有一特征向量α1，其特征值为实数λ1.把α1单位化，还用α1代表它.作L(α1)的正交补，设为V1.由引理3，V1是A的不变子空间(kōngjiān)，其维数为n-1.

又A|V1显然也满足(3)，仍是对称变换.

据归纳法假设，A|V1有n-1个特征向量α2,…,αn作成V1的标准正交基.

从而α1,α2,…,αn是V的标准正交基，又是A的n个特征向量.证毕.第九页，共26页。下面来看看在给定了一个实对称矩阵A之后，按什么办法求正交矩阵T使TTAT成对角形.在定理(dìnglǐ)的证明中看到，矩阵A按(1)式在Rn中定义了一个线性变换.求正交矩阵T的问题就相当于在Rn中求一组由A的特征向量构成的标准正交基.上页下页返回(fǎnhuí)

事实上，设第十页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)是Rn的一组标准正交基，它们都是A的特征向量.显然，由ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的过渡(guòdù)矩阵就是T是一个(yīɡè)正交矩阵，而T-1AT=TTAT就是对角形.第十一页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以(kěyǐ)按以下步骤进行：1.求出A的特征值.设λ1,…,λr是A的全部(quánbù)不同的特征值.2.对于每个λi

，解齐次方程组求出一个基础解系，这就是A的特征子空间Vλi的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出Vλi的一组标准正交基.第十二页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)3.因为λ1,…,λr两两不同，所以根据这一节引理4，向量组还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数n.因此，它们就构成Rn的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.这样，正交矩阵T也就求出了.第十三页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)例已知求一正交矩阵(jǔzhèn)T使TTAT成对角形.解先求A的特征值.由第十四页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)即得A的特征值为1(三重(sānzhònɡ))，-3.其次(qícì)，求属于1的特征向量.把λ=1代入求的基础解系为α1=(1,1,0,0),

α2=(1,0,1,0),

α3=(-1,0,0,1).(4)第十五页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)把它正交化再单位(dānwèi)化，得第十六页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)这是属于(shǔyú)三重特征值1的三个标准正交的特征向量.把它单位(dānwèi)化，得

再求属于特征值-3的特征向量.用λ=-3

代入(4)，求得基础解系为α4=(1,-1,-1,1).特征向量η1,η2,η3,η4

构成R4的一组标准正交基，所求的正交矩阵为第十七页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)而得到(dédào)为对角形.

解毕.第十八页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)说明：这里(zhèlǐ)的正交矩阵并不是唯一的.本题(běntí)所作的正交矩阵是T=(η1,η2,η3,η4).显然取正交矩阵为T=(η2,η1,η3,η4)

或T=(η3,η2,η1,η4)等，同样有如取正交矩阵为T=(η4,η1,η2,η3)，则有第十九页，共26页。应该指出，在定理(dìnglǐ)7中，对于正交矩阵T我们还可以进一步要求上页下页返回(fǎnhuí)|T|=1.事实上，如果(rúguǒ)求得的正交矩阵T的行列式为-1，那么取则T1=TS还是正交矩阵，而且|T1|=|T||S|=1显然T1TAT1=TTAT.第二十页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)如果(rúguǒ)线性替换的矩阵C=(cij)是正交的，那么(nàme)它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.

用二次型的语言，定理7可以叙述为：第二十一页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)定理(dìnglǐ)8任意一个实二次型都可以(kěyǐ)经过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数λ1,λ2,…,λn就是二次型矩阵A的特征多项式全部的根.

最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.第二十二页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)在直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系下，二次曲线的一般方程是(5)令则(5)可以(kěyǐ)写成(6)第二十三页，共26页。上页下页返回(fǎnhuí)经过转轴，坐标(zuòbiāo)变换公式为或者X=CX1其中