2022-2023学年甘肃省徽县第二中学数学高三第一学期期末检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意：2B案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数z满足z(2i)(1i)（i是虚数单位，则|z（ ）1010A． B．10102

C． D．55255θsinθ12=13 4A．177

B．7 C．17 D．717 7 17

AB是函数

x2xa,x0fxfxxlnxa,x0

yfx

A，B处的切线重合，则实数a的最小值是（ ）A．1 B．1 C．12 2

D．13若圆锥轴截面面积为2 ，母线与底面所成角为则体积为( )3333

636

2 332 3

2 632 6若等差数列

的前nSn

，且S13

0，a a3

21

7的值为（ ．A．21 B．63 C．13 D．84y24xPy轴的距离为d1

，到直线l:3x4y120的距离为d2

，则dd1

的最小值为（ ）15A．2 B．535

16C． D．33若双曲线C

x2y2

14

，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）4 m21919A．2 B．4 C． D．21919如图，抛物线M：y28x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线M交于A，B两点，若直线l与以F为圆心，线段OF（O为坐标原点）长为半径的圆交于C，D两点，则关于ACBD值的说法正确的是（ ）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定B,C

( AB

AC )O是平面上的一定点，

是平面上不共线的三点，动点P满足OPOA+

AB·cosB

AC?cosC ，(0,P的轨迹一定经过的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内10．在中，“sinAsinB”是“tanAtanB的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（ ）-23

-32fxex,x1

5C．2fxmx10

D．25已知函数A．e1,1

f

x2x1B．e1,1

恰有两个不同实根则正数m的取值范围（ ）1,e1 2 2 C．e1,1

1

D．e1,1

1,e1 3 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。f(x

2xsinx在0,上的最小值和最大值分别．2 2已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为的球O的表面上，且ABCDa，ACADBCBD 5，则a15．某公园划船收费标准如表：某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用元租船的总费用共有 种可能.16．已知中,ABBC，点D是边BC的中点，的面积为2，则线段AD的取值范围是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在ABC中，点D在BC上，CAD

，AC

，cosADB 2.4 2 10求sinC的值；BD5AB的长.18（12分）为提供市民的健身素质，某市把,B,C,D四个篮球馆全部转为免费民用BCD四场馆的使用场数中依次aa1

,a,a3

25aa1 2

,a,a3

中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；xy元，根据统计，得到如下表的数据：x 10 15 20 25 30 35 401000011761100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99yz0.1e43432yzx的回归直线方程；② y 叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值x407 7

7(xx)(zi i

z)z

i

(xx)2700,i

(xii1

x)(zi

z)70,e320b

i17i1

(xx)2i

，azbxx219（12分）已知实数，，z满足

y2 z2

2，证明： x

y z

2.1x2

1y2

1z2 1x2

1y2

1z220（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的ZN200（同一组数据用该组区间的中点值作为代表P(36Z79.5)；该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元） 10 202 1概率3 3市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附① 21014.5②若X~N,2则PX0.6827PX0.9545，P3X30.9973.21（12分）n(nN)312如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．当n3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？当n4XX的分布列与数学期望．22（10分）如图，在四棱柱ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，平面A

ABCDAD1，11 1 1 1 1AA 2.DBBCA

MN两点.1 1 1 1（Ⅰ）求证：ADDB；1（Ⅱ）DMBN1（Ⅲ）ADCDDMB

C的大小能否为45？说明理由.1 1参考答案125601、B【解析】利用复数乘法运算化简z，由此求得z.【详解】321210依题意z 2 i2i3 i，所以321210【点睛】2、B【解析】1 12 5 121

cos

，．tan(3、B

13 13 5) tan 7．4 1 tan17【解析】先根据导数的几何意义写出fx 在A,B两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出a【详解】

1x22 1

1e12x ，令函数gx 2e1

x

x 0 解：当x 0时，fx

x a，则f'x 2x当x 0时，fx xlnx a则f'x 设Ax,fx

,fx

为函数图像上的两点，当x x1 2

0或0 x1

1 1 2xfx2 1

2f'x2

，不符合题意，故x1

0 x.2x2xa2x1xx111x2xa2x1xx1111fx在B 处的切线方程为y x2

lnx2

a 2

1 x x2

.由两切线重合可知lnx2

1 2x1

1 1，整理得a x2

2x x

1不妨设gx

x x 0e1x a a e1

2 1 1 22 11 1则g'x x x1 x

，由g0可得x ln2 2则当x 1ln1时，g'x 的最大值为g

1ln1 1ln1 1 0.2 2 2 2 2 2 21 1

x2e2x 在,0

上单调递减，则ag01.2 2故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方本题难点是求出a 和x 的函数关系式本题的易错点是计.4、D【解析】3设圆锥底面圆的半径为r，由轴截面面积为2 可得半径r，再利用圆锥体积公式计算即.3【详解】3设圆锥底面圆的半径为r，由已知，12r 232

，解得r ，2 621所以圆锥的体积V r2 .2 6213 3故选：D【点睛】5、B【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求da，然后结合等差数列的求和公式即可求解．1【详解】解：因为S13

0，a a3

21，136d0所以 1

da

18，2a5d21 11则S 718176(3)63．7 2故选：B．【点睛】6、A【解析】分析：题设的直线与抛物线是相离的，dd1 2

可以化成d1

1d2

1，其中d1

1P到准线的距离，也就是P到焦点的距离，这样我们从几何意义得到d1

1d2

的最小值，从而得到dd1 2

的最小值.y24x详解：由3x4y12

①得到3y216y48025612480，故①无解，所以直线3x4y120与抛物线是相离的.由dd1

d1d1

1，d1Px的距离，故d11304123242

1PF的距离，从而d1

1d2

的最小值为F到直线

3x4y12

的距离

3，故dd1

的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.7、B【解析】根据焦距即可求得参数m.【详解】因为双曲线C:

x2y2

51的焦距为4 ，54m2

4 m25 2 5

，解得m216，不妨取m4；又焦点F 2 5,0 ，其中一条渐近线为y2x，4 55由点到直线的距离公式即可求的d4 55故选：B.

4.【点睛】8、A【解析】利用F的坐标为

2,0

8 y2 ，设直线l的方程为xmy20，然后联立方程 y2 myx2可【详解】F的坐标为.设直线lxmy20AB的坐标分别为x

，x,

.讨论：y28x

1 1 2 2m0xx

2；当m0时，据 ，得x2

8m24

x40xx

4，所以1 2 myx2 12ACBDAF2BF2x22x22xx

4.1 2 12【点睛】9、B【解析】解出AP，计算APBC并化简可得出结论．【详解】ABAPOPOAλ（AB

ACACcosC，∴∴AP.BCAB.BCAC.BCABcosB ACcosCBCBC 0，APBCPBCP的轨迹经过△ABC的垂心．B．【点睛】APBC10、D【解析】通过列举法可求解，如两角分别为

, 时6 3【详解】A

B sinAsinBtanAtanB，故充分条件推不出；3 6 当A ,B 时，tanAtanB，但sinAsinB，故必要条件推不出；6 3所以sinAsinB”是tanAtanB的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题11、C【解析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解a的值，得到答案.【详解】a

3,n1，52第1次循环，a ,n2，满足判断条件；35第2次循环，a ,n3，满足判断条件；5323第3次循环，a ,n4，满足判断条件；5可得a的值满足以3项为周期的计算规律，所以当n2019时，跳出循环，此时n和n3时的值对应的a相同，即a5.2C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.12、D【解析】x1时，函数周期为2fxymx1有图像两个交点，计算kAC【详解】

e1，k3

e1.x1fxfx2，故函数周期为2，画出函数图像，如图所示：fxmx10fxmx1fxymx1.fxexf'xexf'01B1,eC3,ekAC

e1，k3

e1.me1,1

1,e1.3 3 故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。213、

2 , 18 2 4【解析】求导，研究函数单调性，分析，即得解【详解】由题意得，f(x) 2cosx，2f(x04

x ，2令f(x)0，解得0 x.4f(x0,上递减，在

, 递增．4

4 2f(x)

f

2，min

4 8 2 f(0)0,f

1，2424f(x0,上的最小值和最大值分别是

2

2 ,

1．28 2 42故答案为：

2 , 18 2 4【点睛】21422【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为x,y,z，由题意可得：x2y2a2y2z2

5x2y2z2

10a2

2R2，x2z25

210a2SR2

，22结合a0解得：a2 .2等于球的直径.15、36010【解析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.【详解】1690720元，216100400元，416条两人船时，租金为：100690640元，242100490560元，323100290480元，152人船时，租金为：130590580元，2222130290440元，1132人船时，租金为：130100390500元，1212人船时，租金为：130210090420元，21213010036036010种可能.故答案为：360，10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.16

3,【解析】ABBCtADm

ABC

1t22

sinB2t2sinB4①，再利用余弦定理得t2

cosB

2 54t2m2②，①②平方相加得4 4t2m2 16 5 440m216m42560有解问题求解.【详解】ABBCt,ADm，所以S

ABC

1t22

sinB2t2sinB4①由余弦定理得m2

t2t22 2t

tcosB，2 即t2

cosB

5t24

m2②，4

5 24t2m2 16， 即440m216m42560，t2 x0，设

240m2x16m4256，在上有解，20m2 20m22

20m2所以g

99

40m9

16m4256093解得m4 9，即m ，3

3,【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。43717、(1) 5）AB .37【解析】由两角差的正弦公式计算；ADAB．【详解】2因为cosADB210

，所以sinADB .1110227 2因为CAD，所以CADB，7 22224 47 2222所以sinCsinADBsinADBcos

cosADBsin22

4. 44 44 74

10 2 10 2 5在ACD中，由AD

AC AD

ACsin

2 52 ，sinC sinADC在ABD中，由余弦定理可得

sinADC 7 210222 2 222AB

BD2AD22BDADcosADB52 2

252

37，10 1037所以AB .37【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．z0.1x18（z0.1x

2②20【解析】100aa1 2

,a,a3

的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;①由公式可计算

(xx)2,

(xx)(z

z)

z

x的回归直线方程；i i iii1②求出g(x)，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值.【详解】25（）抽样比为

1，所以a,a

,a,a

分别是，6，7，8，5100 4

1 2 3 4所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15p101，p121，p131，p1516 3 3 6所以分布列为E()1011211311516 3 3

12.5（）因为7i1

(xx)2i

700,7(xii1

x)(zi

z)70,所以b

7i1

(xx)(zi

z)，

701,a4.50.1252，7i1

(xx)2i

700 10z0.1x2；②z

y4343

22，

140lnx设g(x) y 4343lnx,g(x)4343 x ，x40 x40 (x40)2所以当x[0,20],g(x)0,g(x)递增，当x[20,),g(x)0,g(x)递减所以约惠值最大值时的x值为20【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.19、见解析【解析】x2已知条件

y2 z2

2，需要证明的是 x

y z

2，要想利用柯西不等式，需要1x2

1y2

1z2 1x2

1y2

1z2x2

y2 z2

x2的值，发现

y2 z2

3 x2

y2

z2

，则可以用柯西不等式.1x2 1y2 1z2

1x2 1y2 1z2

1x2

1y2

1z2【详解】x2y21x2 1y2x2y21x2 1y2，11x2

11y2

11z2

1

x21x2

1

y21y2

1

z21z2

1.由柯西不等式得， x2 y2 z2 1 1 1 x y z 2 .1x2 1y2 1z21x2 1y2 1z2 1x2 1y2 1z2 x y

z

2.1x2 1y2

1z2 x1x2

y1y2

z .21z22【点睛】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题.20（）0.8186 （）估计此次活动可能赠送出100000元话费【解析】PZ79.5的值.设某家长参加活动可获赠话费为X.【详解】根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.050.8756.751116.2516.8758.54.7565210210又36652 ，79.565 ，210210PZ1 120.954520.68270.8186；X10，20，30，401次、2次话费1的概率都为2，得10元的情况为低于平均值，概率P121，2 3 3得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率P111227，1 2 1 1 2 1 301020P

C1 ，4020P所以变量X的分布列为：

1111.2 3 3 18

2 2 3 3 9XX10203040P1371829118EX10120

7302401

20.3 18 9 18所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.【点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.21（1）当n5n63【解析】

5；（2）见解析.16（1）3nnn3个坑要补播种的概（）1时，X的所有可能的取值为，，，，．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．【详解】

13

13 1（1）对一个坑而言，要补播种的概率PC02C12 2，1有3个坑要补播种的概率为C3 .n2

3

3 1n

1n1C3 C3 1n

n2

n12欲使C3 最大，只需 ，n2

1

1n1C3

C3 n2

n12解得5n6，因为nN*n5,6,