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文档简介
第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用学案一、学习目标1.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.2.了解建立拟合函数模型的步骤,并了解检验和调整的必要性.3.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.二、知识归纳1.常见的函数模型:(1)一次函数模型:(k,b为常数,).(2)二次函数模型:(a,b,c为常数,).(3)指数函数模型:(a,b,c为常数,,,且).(4)对数函数模型:(m,a,n为常数,,,且).(5)幂函数模型:(a,n,b为常数,).2.利用函数模型解决实际问题的基本过程:(1)审题:弄清题意,分清条件和要求的结论,理顺数量关系;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的函数模型;(3)求模:推理并求解函数模型;(4)还原:用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.三、习题检测1.螃蟹素有“一盘蟹,顶桌菜”的民谚,它不但味美,且营养丰富,是一种高蛋白的补品,假设某池塘里的螃蟹繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为,假设该池塘第一年繁殖数量有200只,则第3年它们繁殖数量为()A.400 B.600 C.800 D.16002.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为m/s时,它的耗氧量的单位数为()
A.900 B.1600 C.2700 D.81003.在一定的储存温度范围内,某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)之间满足函数关系(为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时,在30℃时的保鲜时间为15小时,则该食品在20℃时的保鲜时间为()A.30小时 B.40小时 C.50小时 D.80小时4.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%.如果按此速度,设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m,从2010年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()A. B.C. D.5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖金y为1万元;销售额x为64万元时,奖金y为4万元.若公司拟定的奖励模型为,某业务员要得到8万元奖金,则他的销售额应为()
A.512万元 B.1024万元 C.2048万元 D.256万元6.某校为了规范教职工绩效考核制度,现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下,且教职工平均月评价分数在50分左右,若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元).要求绩效工资不低于500元,不设上限,且让大部分教职工的绩效工资在600元左右,另外绩效工资越低或越高时,人数要越少.则下列函数最符合要求的是()A. B.C. D.7.土壤沙化危害严重,影响深远,因沙漠化每年给我国造成的直接经济损失达540亿元,而间接经济损失更是直接经济损失的2~3倍,甚至10倍以上,若某一块绿地,每经过一年,沙漠吞噬其绿地面积的,经过x年,该绿地被沙漠吞噬了原来面积的,则x为__________.8.某种细菌经30分钟后数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示繁殖后细菌总个数,则________,经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为_____________.9.某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过月份的关系有两个函数模型与可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;(2)问约经过几个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1000倍?(参考数据:,,,)10.一片矿山原来的体积为a,计划每年开采一些矿石,且每年开矿体积的百分比相等,当开采到原体积的一半时所需要的时间是12年,为保护生态环境,造福下一代,矿山至少要保留原体积的,已知到今年为止,矿山剩余为原来的.(1)求每年开采矿山的百分比.(2)到今年为止,该矿山已开采了多少年?(3)今后最多还能开采多少年?
答案以及解析1.答案:C解析:由题意得,,,则第3年数量.故选C.2.答案:C解析:当时,,即,故,所以.故选C.3.答案:A解析:由题意可得,解得,所以当时,.故选A.4.答案:A解析:设每年减少的百分比为a,由在50年内减少,得,即,所以经过x年后,y与x的函数关系式为.5.答案:B解析:依题意得,即,解得,,所以,当,即时,解得.故选B.6.答案:C解析:由题意知,拟定函数应满足:①时单调递增函数,且增长速度先快后慢再快;②在左右增长速度较慢,最小值为500.A中,函数在内先减后增,不符合要求;B中,函数是指数型函数,增长速度越来越快,不符合要求;D中,函数是对数型函数,增长速度越来越慢,不符合要求;在C中,函数的图象是由函数的图象经过平移和伸缩变换得到的,形状符合要求,且最小值为500.故选C.7.答案:3解析:先求绿地剩余面积y随时间x(年)变化的函数关系式,设绿地最初的面积为1,则经过1年,,经过2年,,…,那么经过x年,则.依题意得,解得.8.答案:;1024解析:由题意知,当时,,即,所以,所以.
当时,.即经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为1024.9.解析:(1)因为的增长速度越来越快,而的增长速度越来越慢,所以依题意应选择,则有,解得,所以.(2)当时,,设经过x个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1000倍,则,解得.故约经过17个月后该水域中此生物的覆盖面积是当初
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