三角函数大题专项(含答案)

令狐采学创作三角函数专项训练令狐采学中，角ABC对应边abc2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．证明a2+b2﹣c2＝ab；求角Cc．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣ ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．已知α，β为锐角，tanα＝ ，cos（α+β）＝﹣ ．求cos2α求tan（α﹣β）的值．ABCDBD＝5．求cos∠ADB；若DC＝2 ，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+ （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣小值．

，m]上的最大值为 ，求m的最6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知令狐采学创作asinA＝4bsinB，ac＝（Ⅰ）求cosA

令狐采学创作（a2﹣b2﹣c2）（Ⅱ）求sin（2B﹣A）7．设函数已知f（ ）＝0．（Ⅰ）求ω；

+si（ω﹣ ，其中0＜ω＜3，（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变，再将得到的图象向左平函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ，

个单位，得到]上的最小值．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝ ．（Ⅰ）求bsinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为 ．求sinBsinC；6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC△ABC的内角＝8sin2 ．求cosB；若a+c＝6，△ABC2，求b．已知函数f（x）＝ cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．令狐采学创作令狐采学创作（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．＝（cosx，sinx，＝（3，﹣若 ，求x的值；

，∈[0，π．记x

，求的最大值和最小值以及对应的13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝ a．求sinC的值；若a＝7，求△ABC已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．求ω的值；求f（x）的单调递增区间．中，内角所对的边分别为b+c＝2acosB．证明：A＝2B；若cosB＝ ，求cosC的值．设f（x）＝2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变，再把得到的图象向左平函数y＝g（x）的图象，求g（ ）的值．

个单位，得到令狐采学创作令狐采学创作在中，内角所对的边分别为已asin2B＝ bsinA．求B；已知cosA＝ ，求sinC的值．中，内角所对的边分别为b+c＝2acosB．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝ ，求角A的大小．在△ABC中角ABC所对的边分别是ab且 +＝ ．（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝ bc，求tanB．在△ABC中，AC＝6，cosB＝ ，C＝ ．求AB的长；求cos（A﹣ ）的值．已知函数f（x）＝4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣ ）﹣ ．求f（x）的定义域与最小正周期；讨论f（x）在区间[﹣ ， ]上的单调性．△ABCA，B，C2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝ ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．令狐采学创作令狐采学创作参考答案中，角ABC对应边abc2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．证明a2+b2﹣c2＝ab；求角Cc．【解答】证明（1）∵ABC中，角ABCabc，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：∴sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝

＝2R＝2，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB，∴2（ ）＝（a﹣b）• 化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝解得C＝ ，∴c＝2sinC＝2•

＝ ＝ ，＝ ．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣ ．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解（Ⅰ）在ABC中，由正弦定理得 ，得令狐采学创作bsinA＝asinB，又bsinA＝acos（B﹣∴asinB＝acos（B﹣cosBcos +sinBsin ∴tanB＝ ，

令狐采学创作．即 sinB＝cos（B﹣ ）cosB+ ，又B∈（0，π，∴B＝ ．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝ ，由余弦定理得得sinA＝ ，∵a＜c，∴cosA＝ ，∴sin2A＝2sinAcosA＝cos2A＝2cos2A﹣1＝

，

＝ 由bsinA＝acsB﹣ ，∴si2A﹣Bsin2AcosB﹣cos2Asin＝ ＝ 3．已知α，β为锐角，tanα＝ ，cos（α+β）＝﹣ ．求cos2α求tan（α﹣β）的值．（1）由∴cos2α＝ ；（2）由（1）得，sin2

，解得 ，，则tan2α＝ ．

，∴αβ∈0，π，令狐采学创作∴sin（α+β）＝则

令狐采学创作＝ ．．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝ ＝ ．ABCDBD＝5．求cos∠ADB；若DC＝2 ，求BC．（1）∵∠AD＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得： ＝∴sin∠ADB＝ ＝ ，

，即 ＝ ，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝ ＝ ．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝ ，∵DC＝2 ，∴BC＝＝ ＝5．已知函数f（x）＝sin2x+ sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣小值．

，m]上的最大值为 ，求m的最【解答解（函数f＝sin2x+ sinxcosx＝ + sin2x令狐采学创作＝sin（2x﹣ ）+ ，

令狐采学创作f（x）的最小正周期为（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣

＝π；，m]上的最大值为 ，可得2x﹣即有2m﹣

∈[﹣≥

，2m﹣ ]，，解得m≥ 则m的最小值为 ．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝（Ⅰ）求cosA

（a2﹣b2﹣c2）（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答（Ⅰ）解：由 ，得asinB＝bsinA，又asinA＝4bsinB4bsinB＝asinA，两式作比得：由

，∴a＝2b．，得 ，由余弦定理，得（Ⅱ）解：由（Ⅰ，可得．

；，代入asinA＝4bsinB，得由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴ ．于是 ， ，故 ．令狐采学创作令狐采学创作设函数已知f（ ）＝0．（Ⅰ）求ω；

+si（ω﹣ ，其中0＜ω＜3，（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变，再将得到的图象向左平函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ，

个单位，得到]上的最小值．【解答】解（Ⅰ）函数（）si（ω﹣ +si（﹣ ）＝sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）＝ sinωx﹣ cosωx＝ sin（ω﹣ ，又f（ ）＝ sin（ ω﹣ ）＝0，∴ ω﹣ 解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（）＝ sin2x﹣ ，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2（纵坐标不变，得到函数＝ sin（﹣ ）的图象；再将得到的图象向左平移的图象，

﹣ ）∴函数＝g（）＝ sin（﹣ ；当x∈[﹣ ，

]时，x﹣ ∈[﹣令狐采学创作

， ]，∴sin（x﹣∴当

令狐采学创作）∈[﹣ ，1]，时，g（x）取得最小值是﹣

× ＝﹣ ．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝ ．（Ⅰ）求bsinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．【解答】解（Ⅰ）在△ABC中故由sinB＝ ，可得cosB＝ ．由已知及余弦定理，有∴b＝ ．

＝13，由正弦定理∴b＝ ，sinA＝

，得sinA＝ ．；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝＝ ，

，∴sin2A＝2sinAcosAcos2A＝1﹣2sin2A＝﹣ ．故si（2A+ ＝ ＝ 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ．求sinBsinC；6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC【解答】解（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ acsinB＝ ，令狐采学创作∴3csinBsinA＝2a，

令狐采学创作由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC＝ ；（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC＝ ，∴cosBcosC﹣sinBsinC＝ ﹣ ＝﹣ ，∴cos（B+C）＝﹣ ，∴cosA＝ ，∵0＜A＜π，∴A＝ ，∵ ＝ ＝

＝2R＝

＝2 ，∴sinBsinC＝ • ＝ ＝ ＝ ，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+ ．△ABC的内角＝8sin2 ．令狐采学创作求cosB；

令狐采学创作若a+c＝6，△ABC2，求b．【解答】解（1）sin（A+）＝8sin2 ，∴sinB＝41﹣cos，∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB1）2（cosB﹣1（cosB+）＝0，∴（17cosB15（cosB﹣1）＝0，∴cosB＝ ；（2）由（1）可知sinB＝ ，∵S△ABC＝ ac•sinB＝2，∴ac＝ ，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2× ×＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．已知函数f（x）＝ cos（2x﹣ ）﹣2sinxcosx．求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣ ， ]时，f（x）≥﹣ ．【解答】解（Ⅰ）（）＝ cos（2﹣ ）﹣2sinxcosx，＝ （ co2x+ sin2x）﹣sin2x，＝ cos2x+ sin2x，令狐采学创作＝sin（2x+ ，

令狐采学创作∴T＝ ＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣ ， ]，∴2x+ ∈[﹣ ， ]，∴﹣ ∴f（x）≥﹣

）≤1，＝（cosx，sinx，＝（3，﹣若 ，求x的值；

，∈[0，π．记x

，求的最大值和最小值以及对应的【解答】解（1）∵＝cosxsin，＝3，﹣ ，∥，∴﹣ cosx＝3sinx，当cosx＝0时，sinx＝1，不合题意，当cosx≠0时，tanx＝﹣ ，∵x∈[0，π]，∴x＝ ，（2f＝（x+ ，∵x∈[0，π]，

＝3cos﹣ sinx＝2（ cosx﹣ sinx＝2 cos∴x+ ∈[ ， ]，∴﹣1≤cos（x+

）≤ ，令狐采学创作令狐采学创作当x＝0时，f（x）3，当x＝ 时，f（x）有最小值，最小值﹣2 13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝ a．求sinC的值；若a＝7，求△ABC【解答】解（1）∠A＝60°，＝ a，由正弦定理可得sinC＝ sinA＝ × ＝ ，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC＝∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝，∴S△ABC＝ acsinB＝ ×7×3× ＝6

，× + × ＝已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．求ω的值；求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝ ，由于函数的最小正周期为则：T＝ ，令狐采学创作解得：ω＝1．

令狐采学创作（2）由（1）得：函数f（x）＝ ，令解得：

（k∈Z，（k∈Z，所以函数的单调递增区间为：[ ]（kZ．中，内角所对的边分别为b+c＝2acosB．证明：A＝2B；若cosB＝ ，求cosC的值．（1）证明：∵b+c＝2acosB，∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinB＝sinAcos﹣cosAsinB＝siA﹣BAB（0π，∴0＜A﹣B＜πB＝A﹣BB＝π（A﹣B或A＝π（舍去．∴A＝2B．解：cosB＝ ，∴sinB＝ ＝ ．cosA＝cos2B＝2cos2B﹣1＝ ，sinA＝ ＝ ∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝+ × ＝ ．设f（x）＝2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；令狐采学创作令狐采学创作（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求【解答解2＝2 sin2x﹣1+sin2x＝2 •

）的值．﹣1+sin2x＝sin2x﹣ cos2x+ ﹣1＝2sin（2x﹣ ）+ ﹣1，令2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函数的增区间为[kπ﹣

，kπ+

]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变，可得＝2sin（﹣ ）+ ﹣1的图象；再把得到的图象向左平移2sinx+ ﹣1的图象，

个单位，得到函数 y＝g（x）＝∴g（ ）＝2sin + ﹣1＝ ．在中，内角所对的边分别为已asin2B＝ bsinA．求B；已知cosA＝ ，求sinC的值．【解答】解（1）∵asin2B＝ bsinA，∴2sinAsinBcosB＝ sinBsinA，∴cosB＝ ，∴B＝ ．（2）∵cosA＝ ，∴sinA＝ ，∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝ ＝令狐采学创作令狐采学创作．中，内角所对的边分别为b+c＝2acosB．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝ ，求角A的大小．（Ⅰ）证明：∵b+c＝2acosB，∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）＝2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝ ，∴ bcsinA＝ ，∴2bcsinA＝a2，∴2sinBsinC＝sinA＝sin2B，∴sinC＝cosB，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．在△ABC中角ABC所对的边分别是ab且 +＝ ．令狐采学创作令狐采学创作（Ⅰ）证明：sinAsinB＝sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝ bc，求tanB．（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵

+ ＝ ，∴由正弦定理得： ，∴ ＝ ，∵sin（A+B）＝sinC．∴整理可得：sinAsinB＝sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝ bc，由余弦定理可得cosA＝ ．sinA＝ ，+ tanB＝4．

＝＝1， ＝ ，在△ABC中，AC＝6，cosB＝ ，C＝ ．求AB的长；求cos（A﹣ ）的值．【解答】解（1）∵△ABC中，cosB＝ ，B∈（0，π，∴sinB＝ ，∵∴AB＝

，＝5 ；＝﹣ ．∵A为三角形的内角，令狐采学创作∴sinA＝ ，

令狐采学创作∴cos（A﹣ ）＝ cosA+ sinA＝ ．已知函数f（x）＝4tanxsin（ ﹣x）cos（x﹣求f（x）的定义域与最小正周期；讨论