级数分解课件

11/22/2022110/11/2022111/22/20222第八章无穷级数

从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用.

本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数—幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题.10/11/20222第八章无穷级数从18世11/22/202238.1常数项级数的概念与性质8.2正项级数敛散性的判别第八章无穷级数8.3任意项级数敛散性的判别8.4幂级数8.5函数的幂级数展开10/11/202238.1常数项级数的概念与性质8.211/22/20224§8.1常数项级数的概念与性质10/11/20224§8.1常数项级数的概念与性质11/22/20225部分和数列10/11/20225部分和数列11/22/20226当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然10/11/20226当级数收敛时,称差值为级数的余项.显11/22/20227解

1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为10/11/20227解1)若从而因此级数收敛,从而11/22/202282)若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛

;时,等比级数发散

.则级数成为不存在,因此级数发散.10/11/202282)若因此级数发散;因此n为奇数11/22/20229解故原级数发散10/11/20229解故原级数发散11/22/202210解

所以级数收敛,其和为1.所以级数发散10/11/202210解所以级数收敛,其和为1.所11/22/202211故原级数发散解10/11/202211故原级数发散解11/22/20221210/11/20221211/22/202213例如发散10/11/202213例如发散11/22/202214例如:

反证法

10/11/202214例如:反证法11/22/20221510/11/20221511/22/20221610/11/20221611/22/202217发散.例如10/11/202217发散.例如11/22/20221810/11/20221811/22/202219√√√10/11/202219√√√11/22/202220小结一、级数的概念与性质无穷级数部分和二、级数收敛与发散级数与部分和具有相同的敛散性10/11/202220小结一、级数的概念与性质无穷级数11/22/202221三、性质性质1级数收敛的必要条件逆否命题判断级数发散性质2性质3性质4收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和推论如果加括号后所成的级数发散，则原级数发散10/11/202221三、性质性质1级数收敛的必要条件逆否11/22/202222敛散性判别1.2.3.按基本性质;10/11/202222敛散性1.2.3.按基本性质;时,等比级数收敛;时,等比级数发散.收敛发散发散设收敛级数则必有级数收敛的必要条件：1.2.3.时,等比级数收敛;时,等比级数发散.收敛发散发散设收11/22/202224§8.2正项级数敛散性的判别10/11/202224§8.2正项级数敛散性的判别11/22/20222510/11/20222511/22/20222610/11/20222611/22/202227解

因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较判别法知

p

级数收敛.时,2)若10/11/202227解因为当故考虑强级数的部分和故强级11/22/202228

比较判别法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的比较判别法的极限形式。证明10/11/202228比较判别法是一基本方法，虽11/22/20222910/11/20222911/22/202230解：（1）10/11/202230解：（1）11/22/202231解（2）

10/11/202231解（2）11/22/202232比值判别法的优点:不必找参考级数.直接从级数本身的构成—即通项来判定其敛散性10/11/202232比值判别法的优点:不必找参考级数.直11/22/20223310/11/20223311/22/20223410/11/20223411/22/20223510/11/20223511/22/20223610/11/20223611/22/202237解：10/11/202237解：11/22/202238内容小结正项级数任意项级数敛散性判别1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法3.按基本性质;10/11/202238内容小结正项级数任意项级数敛散1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数1.(比较审敛法的极限形式)是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.2.

比值审敛法

(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.1.(比较审敛法的极限形式)是两个正项级数,(1)当3.根值审敛法(Cauchy判别法)则数,且设为正项级3.根值审敛法(Cauchy判别法)则数,且设为正时,等比级数收敛;时,等比级数发散.发散重要参考级数:

几何级数,P-级数,调和级数.时,等比级数收敛;时,等比级数发散.发散重要参考级数第8章-级数分解课件第8章-级数分解课件11/22/202245§8.3任意项级数敛散性的判别10/11/202245§8.3任意项级数敛散性的判别11/22/202246正、负项相间1.交错级数的收敛性10/11/202246正、负项相间1.交错级数的收敛性11/22/20224710/11/20224711/22/202248证明

un

单调减？？？10/11/202248证明un单调减？？？11/22/20224910/11/20224911/22/202250绝对收敛的级数一定收敛.2.绝对收敛与条件收敛10/11/202250绝对收敛的级数一定收敛.2.绝对11/22/20225110/11/20225111/22/20225210/11/20225211/22/20225310/11/20225311/22/202254内容小结正项级数任意项级数敛散性判别1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数

(莱布尼茨定理)3.按基本性质;10/11/202254内容小结正项级数任意项级数敛散11/22/202255练习题10/11/202255练习题11/22/20225610/11/20225611/22/20225710/11/20225711/22/202258练习题答案10/11/202258练习题答案11/22/202259§8.4幂级数10/11/202259§8.4幂级数11/22/20226010/11/20226011/22/202261收敛点与收敛域:和函数:(定义域是?)函数项级数的部分和10/11/202261收敛点与收敛域:和函数:(定义域是?11/22/202262解它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数10/11/202262解它的收敛域是它的发散域是或写作有11/22/20226310/11/20226311/22/202264发散发散收敛收敛发散10/11/202264发散发散收11/22/202265(－R,R)

加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，(－R,R)称为收敛区间.发散区域发散区域收敛区域幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,则的收敛域是以原点为R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=

时,幂级数在(－R,R)收敛;在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在10/11/202265(－R,R)加上收敛的端点称11/22/202266收敛域

=

收敛区间

+

收敛的端点可能是练习:

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为10/11/202266收敛域=收敛区间+收敛的端点11/22/202267提示1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,的收敛半径为10/11/202267提示1)当≠0时,2)当11/22/202268解

(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=110/11/202268解(1)所以收敛域为(2)所以级解当x=1,级数为

当x=－

1,级数为交错级数收敛;

因p的取值不同，敛散性不同.故收敛域为因此收敛半径为R=1，收敛区间为（－

1，1）解当x=1,级数为当x=－1,级数为交错级数11/22/202270解

(1)

(2)10/11/202270解(1)(2)解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛11/22/202272收敛半径为

10/11/202272收敛半径为11/22/202273求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.内容小结10/11/202273求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂定理8.11设幂级数及的收敛半径令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.三、幂级数的运算分别为定理8.11设幂级数及的收敛半径令则有:其中以上结论可11/22/20227510/11/20227511/22/20227610/11/202276解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,

解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,11/22/202278

10/11/202278 11/22/202279解

可知级数的收敛半径R＝1,故得当x＝1时级数发散,当x＝-1