高等代数选讲线性空间课件

1第三讲线性空间一、线性空间的定义二、向量的线性相关性三、线性空间的维数、基与坐标1第三讲线性空间一、线性空间的定义二、向量的线性相关性三、2目录下页返回结束一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，

在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间.2目录下页返回结束一、线性空间的定义设V3加法满足下列四条规则：

(1)

（具有这个性质的元素0称为V的零元素）

(2)

(4)

对

都有V中的一个元素β，使得

（β称为的负元素）

(3)

在V中有一个元素0，对3加法满足下列四条规则：(1)（具有这个性质的元素0称为4(5)

(6)

数量乘法与加法满足下列两条规则：

(7)

数量乘法满足下列两条规则

:(8)4(5)(6)数量乘法与加法满足下列两条规则：(7)5欧氏几何的公理公理1：任两点必可用直线相连.

公理2：直线可以任意延长.

公理3：可以以任意一点为圆心,任意长度为半径画圆.

公理4：所有直角都相同.

公里5：过线外一点,恰有一条直线与已知直线平行.5欧氏几何的公理63．线性空间的判定：注意1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者63．线性空间的判定：注意1．凡满足以上八条规则的加法及数7例1

Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘7例1Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数8即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）

8即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空9二、向量的线性相关性设V是数域P上的一个线性空间，（1）和式

的一个线性组合．称为向量组（2）

，若存在

则称向量可经向量组

线性表出；使9二、向量的线性相关性设V是数域P上的一个线性空间，（10若向量组中每一向量皆可经向量组

线性表出，则称向量组可经向量组线性表出；

若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价(equivalent)的．

10若向量组中每一向量皆可经向量组线性表出，则11（4）如果向量组不是线性相关的，即只有在时才成立，

则称为线性无关（independent）．

则称向量组为线性相关（dependent）；，使得

（3），若存在不全为零的数

11（4）如果向量组不是线性相关的，即只有在12（1）单个向量线性相关

单个向量线性无关

向量组线性相关

中有一个向量可经其余向量线性表出．

2、有关结论12（1）单个向量线性相关单个向量线性无关向量组13（2）若向量组线性无关，且可被向量组线性表出，则

若与为两线性无关的等价向量组，则

（3）若向量组线性无关，但向量组

线性相关，则可被向量组

线性表出，且表法是唯一的．13（2）若向量组线性无关，且可被向量组14例3

设向量组

线性无关，而向量组

线性相关，证明：若向量组

与

不等价，则

与

中有且仅有一个可由向量组

线性表示。14例3设向量组线性无关，而向量组15因为对任意的正整数

n，都有n个线性无关的1、无限维线性空间

若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维（infinitedimension）线性空间．例1

所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1三、线性空间的维数、基与坐标15因为对任意的正整数n，都有n个线性无关的1、无限维162、有限维线性空间

n维线性空间；常记作dimV＝n.（1）n

维线性空间若在线性空间V中有n

个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，则称V是一个注意零空间的维数定义为0.162、有限维线性空间n维线性空间；常记作dimV＝17在n

维线性空间V中，n

个线性无关的向量（2）基，称为V的一组基（basis）；下的坐标（coordinate），记为

（3）坐标设

为线性空间V的一组基，则数组，就称为

在基

若17在n维线性空间V中，n个线性无关的向量18有时也形式地记作

注意向量

的坐标

是被向量

和基

唯一确定的．即向量

在基下的坐标唯一的.

但是，在不同基下的坐标一般是不同的．

18有时也形式地记作注意向量的坐标是被向量和基193、线性空间的基与维数的确定定理若线性空间V中的向量组满足

(ⅰ)线性无关；

(ⅱ)可经线性表出

,则V为n

维线性空间，为V的一组基．

证：∵∴V的维数至少为

n

．线性无关，193、线性空间的基与维数的确定定理若线性空间V中的向量20任取V中

n＋1个向量，由ⅱ)，向量组若是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．

线性表出.

∴V中任意n＋1个向量是线性相关的．

故，V是n

维的，就是V的一组基．

可用向量组

20任取V中n＋1个向量，由ⅱ)，21例2

3维几何空间R3＝

是R3的一组基；

也是R3的一组基．一般地，向量空间为n维的，

就是Pn的一组基．称为Pn的标准基.

21例23维几何空间R3＝是R3的一组基；也是R3的221.n

维线性空间

V

的基不是唯一的，V中任意

n个2.

任意两组基向量是等价的．

注意线性无关的向量都是V的一组基．

221.n维线性空间V的基不是唯一的，V中任意n个23例3（1）证明：线性空间P[x]n是n

维的，且1，x，x2，…，xn－1

为

P[x]n

的一组基．

证:首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．

其次，

可经1，x，x2，…，xn－1线性表出．

∴1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基，从而，P[x]n是n维的.23例3（1）证明：线性空间P[x]n是n维的，且1，x24注意在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是此时，24注意在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是此时，25（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1也为P[x]n的一组基．1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．

证:

又对

，按泰勒展开公式有

即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．

25（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－26在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是

注意此时，26在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐27第三讲线性空间一、线性空间的定义二、向量的线性相关性三、线性空间的维数、基与坐标1第三讲线性空间一、线性空间的定义二、向量的线性相关性三、28目录下页返回结束一、线性空间的定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中定义了一种代数运算，叫做加法：即对，

在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为的和，记为；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为的数量乘积，记为如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间.2目录下页返回结束一、线性空间的定义设V29加法满足下列四条规则：

(1)

（具有这个性质的元素0称为V的零元素）

(2)

(4)

对

都有V中的一个元素β，使得

（β称为的负元素）

(3)

在V中有一个元素0，对3加法满足下列四条规则：(1)（具有这个性质的元素0称为30(5)

(6)

数量乘法与加法满足下列两条规则：

(7)

数量乘法满足下列两条规则

:(8)4(5)(6)数量乘法与加法满足下列两条规则：(7)31欧氏几何的公理公理1：任两点必可用直线相连.

公理2：直线可以任意延长.

公理3：可以以任意一点为圆心,任意长度为半径画圆.

公理4：所有直角都相同.

公里5：过线外一点,恰有一条直线与已知直线平行.5欧氏几何的公理323．线性空间的判定：注意1．凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．线性运算．就不能构成线性空间．运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者63．线性空间的判定：注意1．凡满足以上八条规则的加法及数33例1

Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添法构成数域P上的一个线性空间，常用P[x]n表示．上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘7例1Pn,P[x]均为数域P上的线性空间．例2数34即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题Ⅱ线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）

8即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？问题Ⅰ如何把线性空35二、向量的线性相关性设V是数域P上的一个线性空间，（1）和式

的一个线性组合．称为向量组（2）

，若存在

则称向量可经向量组

线性表出；使9二、向量的线性相关性设V是数域P上的一个线性空间，（36若向量组中每一向量皆可经向量组

线性表出，则称向量组可经向量组线性表出；

若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价(equivalent)的．

10若向量组中每一向量皆可经向量组线性表出，则37（4）如果向量组不是线性相关的，即只有在时才成立，

则称为线性无关（independent）．

则称向量组为线性相关（dependent）；，使得

（3），若存在不全为零的数

11（4）如果向量组不是线性相关的，即只有在38（1）单个向量线性相关

单个向量线性无关

向量组线性相关

中有一个向量可经其余向量线性表出．

2、有关结论12（1）单个向量线性相关单个向量线性无关向量组39（2）若向量组线性无关，且可被向量组线性表出，则

若与为两线性无关的等价向量组，则

（3）若向量组线性无关，但向量组

线性相关，则可被向量组

线性表出，且表法是唯一的．13（2）若向量组线性无关，且可被向量组40例3

设向量组

线性无关，而向量组

线性相关，证明：若向量组

与

不等价，则

与

中有且仅有一个可由向量组

线性表示。14例3设向量组线性无关，而向量组41因为对任意的正整数

n，都有n个线性无关的1、无限维线性空间

若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称V是无限维（infinitedimension）线性空间．例1

所有实系数多项式所成的线性空间R[x]是无限维的.1，x，x2，…，xn－1三、线性空间的维数、基与坐标15因为对任意的正整数n，都有n个线性无关的1、无限维422、有限维线性空间

n维线性空间；常记作dimV＝n.（1）n

维线性空间若在线性空间V中有n

个线性无关的向量，但是任意n＋1个向量都是线性相关的，则称V是一个注意零空间的维数定义为0.162、有限维线性空间n维线性空间；常记作dimV＝43在n

维线性空间V中，n

个线性无关的向量（2）基，称为V的一组基（basis）；下的坐标（coordinate），记为

（3）坐标设

为线性空间V的一组基，则数组，就称为

在基

若17在n维线性空间V中，n个线性无关的向量44有时也形式地记作

注意向量

的坐标

是被向量

和基

唯一确定的．即向量

在基下的坐标唯一的.

但是，在不同基下的坐标一般是不同的．

18有时也形式地记作注意向量的坐标是被向量和基453、线性空间的基与维数的确定定理若线性空间V中的向量组满足

(ⅰ)线性无关；

(ⅱ)可经线性表出

,则V为n

维线性空间，为V的一组基．

证：∵∴V的维数至少为

n

．线性无关，193、线性空间的基与维数的确定定理若线性空间V中的向量46任取V中

n＋1个向量，由ⅱ)，向量组若是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．

线性表出.

∴V中任意n＋1个向量是线性相关的．

故，V是n

维的，就是V的一组基．

可用向量组

20任取V中n＋1个向量，由ⅱ)，47例2

3维几何空间R3＝

是R3的一组基；

也是R3的一组基．一般地，向量空间为n维的，

就是Pn的一组基．称为Pn的标准基.

21例23维几何空间R3＝是R3的一组基；也是R3的481.n