2019-2020年高中数学32简单的三角恒等变换备课资料新人教A版必修4

019-2020年高中数学3.2简单的三角恒等变换备课资料新人教A版必一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近来几年来，高考每年都要观察三角函数的图象和性质的基础知识.在综合题中，也经常会涉及三角函数的基础知识的应用.因此,对本单元的学习要落实在基础知识、基本技术和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用.三角函数同其他函数相同，拥有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，相关三角函数的求值、化简、证明等问题.，应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依照，研究解析式为三角式的函数的性质掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能正确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化.二、备用习题1.的值是()A.tan10°+tan20°B.C.tan5°D.2-2.若a-3=，则sinasin3的最大值是()A.B.C.D.13.已知sina+sin3+sin丫=0，cosa+cos3+cos丫=0,贝Ucos(3-丫)的值是()A.1B.-1C.D.4.若cosasinx=,则函数y=sinacosx的值域是()A.:,:B.[,:C.:,:D.:-1,1:5.log2(1+tan19°)+log2(1+tan26°)=______________.6.已知函数f(x)=cos2xcos(-2x),求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值7.已知sinA=,cosB=,A?(,2n),B?(n,),求sin(2A-)的值，并判断2A-所在的象限.8.已知f(0)=a,f()=b,解函数方程:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?cosy.参照答案：D2.B3.D4.B5.16.f(x)=[cos+cos(4x-)]=cos(4x-)+,由2kn<4x-<2kn+n(k?Z),得原函数的单调递减区间是[+,+:(k?Z),T=,最大值是.7.cosA=,sin2A=,cos2A=1-2sinA=,■/B?(n,),/??(,).sin=,cos=.jrxt,x,8.分别取2代入方程，得/?sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=.又cos(2A-)=cos2Acos+sin2Asin<0,?2A-是第二象限角.f(t)+f(—t)=2f(0)?cost,(1)*f+t)+f(t)=0,(2)f(二t)f(-t)--2f*sint,(3)①+②-③,得2f(t)=2f(0)cost+2f()sint.■/f(O)=a,f()=b,f(x)=acosx+bsinx.（设计者：房增凤）2019-2020年高中数学3.2简单的三角恒等变换授课设计新人教A版必修4授课解析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用

.本节的内容都是用例题来展现的

，经过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标

进行对比、解析，促使学生形成对解题过程中怎样选择公式

，怎样依照问题的条件进行公式变形,以及变换过程中表现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，进而加深理解变换思想,提升学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，进而使三角函数性质的研究获取延伸

.三角恒等变换不相同于代数变换，后者经常着眼于式子结构形式的变换，

变换内容比较单调

.而关于三角变换，不但要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三

角函数式所包括的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，

它是一种立体的综合性变换

.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依照选择能够联系它们的适合公式进行转变变形，是三角恒等变换的重要特点三维目标经过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，领悟化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提升学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，领悟三角恒等变换在数学中的应用.3.经过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行比较、解析，促使学生形成对解题过程中怎样选择公式，怎样依照问题的条件进行公式变形，以及变换过程中表现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，进而加深理解变换思想，提升学生的推理能力重点难点授课重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练2.容、思路和方法，在与代数变换对照较中，领悟三角变换的特点能运用数学思想方法指导变换过程的设计，整体上掌握变换过程的能力.课时安排2课时

.

三角变换的内授课难点：认识三角变换的特点，并不断提升从授课过程第1课时导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用引诱公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式今后，我们就有了进行三角变换的新工具，进而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵便，同时也为培养和提升我们的推理、运算、实践能力供应了广阔的空间和发展的平台.关于三角变换,由于不相同的三角函数式不但会有结构形式方面的差异,而且还会有所包括的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换经常第一搜寻式子所包括的各个角之间的联系为依照选择能够联系它们的适合公式,这是三角式恒等变换的重要特点.

,并以此推进新课新知研究提出问题①a与有什么关系？②怎样建立cosa与sin2之间的关系？sin2=,cos2=,tan2=这三个式子有什么共同特点？④经过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不相同吗？⑤证明(1)sinacos3=[sin(a+3)+sin(a-3)];(2)sin0+sin$=2sin.并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不相同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosa=1-2sin2,将公式中的a用代替,2a是的二倍角解出sin2即可.教师对学生的谈论进行提问，学生能够发现：.在倍角公式22cos2a=1-2sina中，以a代替2a,以代替a,即得cosa=1-2sin,因此sin2=.①在倍角公式cos2a=2cos2a-1中，以a代替2a,以代替a即得2-1，,cosa=2cos因此cos2=.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得2tan2=.③教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出以下特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;由左式的“二次式”转变成右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提示学生在今后的学习中引起注意.同时还要重申,本例的结果还可表示为:sin=±,cos=±,tan=±,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由所在象限决定.教师引导学生经过这两种变换共同谈论概括得出：关于三角变换,由于不相同的三角函数式不但会有结构形式方面的差异，而且还有所包括的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换经常先搜寻式子所包括的各个角间的联系，并以此为依照，选择能够联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换经常着眼于式子结构形式的变换.关于问题⑤：(1)若是从右边出发，仅利用和(差)的正弦公式作张开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不相同点作为思虑的出a3发点，引导学生思虑，哪些公式包括sin呢？想到cossin(a+3)=sinacos3+cosasin3.从方程角度看这个等式，sinacos3，cosasin3分别看作两个未知数.二元方程要求得确定解，必定有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包括sinacos3的公式，列出sin(a-3)=sinacos3-cosasin3后，解相应的以sinacos3，cosasin3为未知数的二元一次方程组，就简单获取所需要的结果.(2)由(1)获取以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与

(1)

没有什么差异

?只需做个变换，令

a+

3=9

,

a-

3

=

0,则a

=,

3=，代入⑴式即得⑵式

?证明：(1)由于sin(a+3)=sinacos3+cosasin3,sin(a-3)=sinacos3-cosasin3,将以上两式的左右两边分别相加，得sin(a+3)+sin(a-3)=2sinacos3,即sinacos3=[sin(a+3)+sin(a-3)]?(2)由(1),可得sin(a+3)+sin(a-3)=2sinacos3?①^设a+3=9,a-3=0,另E么a=,3=?把a,3的值代入①，即得sin9+sin0=2sincos.教师给学生合时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，能够总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想，如把

a

+

3

看作

9

,

a-

3

看作

0

,进而把包括

a

,

3

的三角函数式

变换成

9

,

0的三角函数式

?别的

,把

sin

acos

3

看作

x,cos

a

sin

3看作

y,把等式看作

x,y

的方程，经过解方程求得

x,这就是方程思想的表现

?谈论结果：①

a是的二倍角

?2②sin=1-cos.③④⑤略(见活动应用示例

)?思路

1例1化简:.活动：此题观察公式的应用，利用倍角公式进行化简解题和倍角公式的差异，它们的功能各异，实质相同，拥有对峙一致的关系

?教师提示学生注意半角公式2sin2仝2sin-cos-2sin°(sin^cos-)解：原式=222222=tan.2xxxX/x.X、2cos2sincos22cos—(cos2sin)2222谈论：此题是对基本知识的观察，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系?变式训练化简：“匚W'；1+由1山广；,1°￡302(—cos10sin10)解：原式=sin50°1------------=sin5022cos10cos10sin30cos10cos30sin10=2sin50?一cos10osin40000=2cos40sin80cos10?=1.cos10cos10cos10例2已知sinx-cosx=,求sinx-cosx的值.活动：教师引导学生利

用立方差公

式进行对公

式变换化简，尔后再求

解?由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),「.a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后，教师引导学挖本例的思想方法，由于sinx?cosx与sinx±cosx之间的转变.提升学生的运算.化简

生深能力及整体代换思想?此题也可直接应用上述公式求之，即333、33sinx-cosx=(sinx-cosx)+3sinxcosx(sinx-cosx)=.此方法经常适用于sinx±cosx的化简问题之中.解：由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,即1-2sinxcosx=,/?sinxcosx=./?sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)(1+)=.谈论：此题观察的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵便运用和化简的方法.变式训练(xx年高考浙江卷,12)已知sin0+cos0=,且w0<,则cos20的值是________________________.答案：4"A?4"Acos4^.4cossinBsinB.例1已知221求证:221.cosBsinBcosAsinA活动：此题可从多个角度进行研究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，可是将A,B的地址互换了，因此应从所给的条件等式下手，而条件等式中含有A,B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看，已知条件是a2+b2=1的形式，可利用三角代换.证明一：???，42422/?cosA-sinB+sinA-cosB=sinB-cos+B./?cos4A(1-cos2B)+sin4A-cos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B./?cos4A-2cos2ACOS2B+COS4B=0.2222222???(cosA-cosB)=0./?cosA=cosB./?sinA=sinB.2cosB+sinB=1.证明二:令=sina,22贝UcosA=cosBcosa,sinA=sinBsina.两式相加，得仁cosBcosa+sinBsina,即cos(B-a)=1.-=2kn(k?Z),即B=2kn+a(k?Z).???Bacosa=cosB,sina=sinB.4f?44r?4fcosBsinBcosBsinB2m.2A■222=cosB+sinB=1.cosAsinAcosBsinB?cos2A=cosBcosa=cos2B,sin2A=sinBsina=sin2B.谈论:要善于从不相同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角，记S=,求证:S<1.证明：..$二1+tanA+1+tanB_______1+tanA+tanB____(1+tanA)(1+tanB)1+tanA+tanB+tanAtanB又A+B>90,?90°>A>90-B>0°.??

tanA>tan(90°-B)=cotB>0,tanA?tanB>1.?S<1.思路2例1证明=tan(+).活动：教师引导学生思虑，关于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边T右边；②右边T左边；③左边T中间条件—右边.教师能够激励学生试着多角度的化简推导注意式子左边包括的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切.sincos-cos—sin仝二xsin(22)424tan2由左右两边的角之间的(+)=cos(42)兀X.兀.Xx.xcossincos—cossinsin2关系，想到分子分母同乘以2222cos+sin,得解：方法一：从右边下手，切化弦，得1sinx(cosXsinl)()cosxcos|-sinl方法二：从左边下手，分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幕,(co冷书2cos-sin^1sinx22cosx(cos-sin-)(cos--sin令cos°-sin°222222由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得X1tantantan—

兀4

X2=tan(+).1-tanx1-tan兀x24tan—2谈论：此题观察的是半角公式的灵便运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练22已知a,3?(0,)且满足：3sina+2sin3=1,3sin2a-2sin23=0,求a+23的值.解法一：3sin$a+2sin23=13sin2a=1-2sin23,即3sin2a=cos23,①3sin2a-2sin23=03sinacosa=sin23,②22422222①+②:9sina+9sinacosa=1,即9sina(sina+cosa)=1,2二sina=.Ta?(0,),/.sina=.a3a3a3a?a2aaa+2)=sincos2+cossin2=sin3sin+cosa?3sincos=3sin(???sin(.22、亠一Sina+cosa)=3X=1.Ta,3?(0,),?-a+23?(0,).??a+23=.解法二：3sin2a+2sin23=1cos23=1-2sin23=3sin2a,?cos(a+23)=cosacos23-sinasin232a-sina?3sinacosa=0.=cosa?3sinTa,3?(0,),两式相除,得tana=cot23，二tana=tan(-23)./a?(0,),/.tana>0.???tan(-23)>0.又???3?(0,),?<-23<.结合tan(-23)>0,得0<-23<.???由tana=tan(-23),得a=-23,即a+23=.sin(a-)sin(二tan2'■例2求证：--1—sin:-cos-tan:-活动：证明三角恒等式，一般要依照“由繁到简”的原则，别的“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证明:证法一：左边-cosnsinacosP血鳥噫2厂号龄肘：十噫严叮十回二“右边..??原式建立sincos:sincos:tanacos2sin2：sin2cos-cos2asin2:证法二：右边=1-so?苛=―sin蔦矿—_(sinacosl：,cosasin:)(sinacos：-cosasinl：,)sin2cos2:左边.???原式建立.谈论：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵便运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.变式训练1sin4)-cos4r1sin4cos4^1.求证:.2sin^1-tan日1+sin4日一cos4日2tanT解析：运用比率的基本性质，能够发现原式等价于1空42,此式右1+sin4日+cos4日1-tan2日边就是tan2.1+sin4日一cos4&证明：原等式等价于

1sin4

空

tan2

二.日

+cos4

日而上式左边sin4

亠(1-cos4^)2sin2^cos2

——2sin22^_2sin2r(cos2rsin2

“亠sin4(1cos4=)2sin2dcos2二2cos

2

2^

2cos2=(sin2

亠cos2=)边.???上式建立，即原等式得证.已知sin3=m-sin(2a+3),求证：tan(a+3)=tana.解析：仔细观察已知式与所证式中的角

，不要盲目张开，要有的放矢

，看到已知式中的2a

+

3

可化为结论式中的

a+3

与

a的和,

不如将

a

+

3

作为一整体来办理

.证明：由

sin

3

=msin(2

a

+

3

)sin[(

a+

3

)-

a

]=msin[(

a+3

)+

a]sin(

a

+

3

)cos

a

-cos(

a

+

3

)sin

a=m0[sin(

a

+

3

)cos

a

+cos(

a

+

3

)sin

a

](1-m)

-

sin(

a

+

3

)cos

a=(1+m)-cos(a+3)sinatan(a+3)=tana.知能训练若sina=,a在第二象限，则tan的值为()A.5

B.-5

C.

D.2.设

5n

<0

<6

n

,cos=

a,则

sin

等于()A.

B.C.D.3.已知

sin

0

=,3

n<0

<,贝

Utan

________________

.解答：1.A2.D3.-3

课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识

：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用

，半角公式、代数式变换与三角变换的差异与联系

.积化和差与和差化积公式及其推导

，三角恒等式与条件等式的证明

.教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用，换元法，方程思想，等价转变，三角恒等变形的基本手段.作业课本习题3.2B组2.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及怎样利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行解析，依照结构特点选择适合公式，进行公式变形

.还要思虑一题多解、一题多变，并领悟其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“

1”的代换，逆用公式等

.2.在近几年的高考中，对三角变换的观察仍以基本公式的应用为主，突出对求值的观察

.特别是对平方关系及和角公式的观察应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合引诱公式的应用，应用引诱公式时符号问题也是常出错的地方

.考试大纲对本部分的详尽要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，领悟向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换第2课时导入新课思路

1.(问题导入

)三角化简、求值与证明中，经常会出现很多相异的角，我们可依照

角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，

使问题获取解决，如：

a

=(

a

+

3

)-

3

,

2a

=(

a+

3

)+(

a-3

)=(+

a

)-(-

a

),

+a

=-(-

a)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此商议张开思路2.(复习导入

)前面已经学过怎样把形如

y=asinx+bcosx

的函数转变成形如y=Asin(

w

x+$)的函数，本节主要研究函数

y=asinx+bcosx

的周期、最值等性质

.三角函数和代数、几何知识联系亲近，它是研究其他各样知识的重要工具.高考题中与三角函数相关的问题，多数以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不能缺少的解题技巧，要学会创立条件灵便运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技术推进新课新知研究提出问题①三角函数y=sinx,y=cosx的周期，最大值和最小值是多少？②函数y=asinx+bcosx的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都拥有周期性、对称性、单调性等性质?而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kn(k?Z且kM0),最小正周期都是2n.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生必然的影响，比方，函数ny=sinx的周期是2kn(k?Z且kM0),且最小正n,的周期是k(k?Z且kM0),且最小正周期是n.正弦函数，周期是2函数y=sin2x余弦函数的最大值是1最小值是-1，因此这两个函数的值域都是[-1,1].函数y=asinx+bcosx=asinxbcosx)a2b2.a2b2???((叮丿二鼻宀1进而可令

a=cos良b二sin$,..a2b2Ja2+b2贝U有asinx+bcosx=(sinxcos$+cosxsin$)=sin(x+$).因此，我们有以下结论：asinx+bcosx=sin(x+$),其中tan$=.在今后的学习中能够用此结论进行求几何中的最值问题也许角度问题?我们知道角的看法起源于几何图形，进而使得三角函数与平面几何有着亲近的内在联系几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，经过三角变换来解决几何中的相关问题，是一种重要的数学方法谈论结果：①y=sinx,y=cosx的周期是2kn(k?Z且kM0)，最小正周期都是2n;最大值都是1，最小值都是-1.②一③(略)见活动.应用示例思路1例1如图1,已知OPC是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记ZCOP=a,求当角a取何值时，矩形ABCD勺面积最大？并求出这个最大面积.活动：要求当角a取何值时，矩形ABCD勺面积S最大，先找出S与a之间的函数关系，再求函数的最值.找S与a之间的函数关系能够让学生自己解决，获取：S=AB-BC=(cosasina)sina=sinacosa-sina.求这类y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函数的最值，应先降幕，再利用公式化成Asin(wx+$)型的三角函数求最值.教师引导学生思虑：要求当角a取何值时，矩形ABCD勺面积S最大,可分两步进行：图1找出S与a之间的函数关系；⑵由得出的函数关系，求S的最大值.解：在Rt△OBC中,BC=cosa,BC=sina,在Rt△OAD中,=tan60°=,因此OA=DA=BC=sia.因此AB=OB-OA=coasina.设矩形ABCD的面积为S,则2S=AB-BC=(cosasina)sina=sinacosasina=sin2a+cos2a-=(sin2a+cos2a)-=sin(2a+)-.由于0<a<,因此当2a+=,即a=时,S最大=-=.因此，当a=时,矩形ABCD的面积最大，最大面积为.谈论：能够看到，经过三角变换，我们把形如y=asinx+bcosx的函数转变成形如y=Asin(3x+$)的函数，进而使问题获取简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记/COP=a”,结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促使学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感觉到以角为自变量的优点变式训练(xx年高考辽宁卷,19)已知函数f(x)=sin(3x+)+sin(3x-)-2cos2,x?尺其中求函数f(x)的值域；⑵若函数

y=f(x)的图象与直线

y=-1

的两个相邻交点间的距离为

，求函数

y=f(x)的单调增区

间.解：(1)f(x)=sin3x+cos3x+sin=2(sin3x-cos3x)-仁2sin(

33

x-cos3x-(cos3x+1)x-)-1.由-1<sin(3x-)<1,得-3w2sin(3x-)-1<1,可知函数f(x)的值域为］-3,1:.⑵由题设条件及三角函数图象和性质，可知y=f(x)的周期为n,又由3>0,得=n,即得3

=2.于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2k因此y=f(x)的单调增区间为］

n-<2x-<2kn+(k?kn-,kn+］(k?Z).

Z),解得

kn

-

W

xWkn

+(k

?

Z).谈论：此题主要观察三角函数公式

，三角函数图象和性质等基础知识

，观察综合运用三角函数相关知识的能力

.例1求函数y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0,n］上的单调递加区间.活动：教师引导学生利用公式解题，此题主要观察二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识

.先用二倍角公式把函数化成最简形式

，尔后再解决与此相关的问题

.

解：y=sin4x+2sinxcosx-cos

4x=(sin

2x+cos

2x)(sin

2x-cos

2x)+sin2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-).故该函数的最小正周期是

n

;最小值是

-2;在［0,

n

］上单调增区间是［0,

］,［,

n

］.谈论：此题主要观察二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识

变式训练已知函数

f(x)=cos

4x-2sinxcosx-sin

4x,求f(x)的最小正周期；⑵若x?［0,］,求f(x)的最大、最小值.解

：f(x)=cos

4X-2Sinxcosx-sin

4x=(cos

2x+sin

2x)(cos

2x-sin

2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),因此，

f(x)的最小正周期

T==n

.由于x?[0,]，因此2x+?[,].当2x+=时，cos(2x+)获取最大值，当2x+=n时，cos(2x+)获取最小值-1.因此，在[0,]上的最大值为1，最小值为-.思路2例1已知函数f(x)=sin(3x+$)(3>0,0<?Wn)是R上的偶函数，其图象关于点M(,0)对称,且在区间［0,］上是单调函数，求$和3的值.活动：提示学生在解此题时，对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上，而在对“f(x)的图象关于M(,0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在必然问题.一般地：定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件：f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的授课时要恩赐充分的提示与总结，多做些这各种类的变式训练.解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-3x+$)=sin(3x+$),因此-cos$sin3x=cos$sin3x对任意x者E建立.又3>0,因此,得cos$=0.依题设0W$Wn,因此，解得$=.由f(x)的图象关于点M对称，得f(-x)=-f(+x).取x=0,得f()=-f(),因此f()=0.■/f()=sin(+)=cos,cos=0.又3>0,得=+kn,k=0,1,2,.???3=(2k+1),k=0,1,2,.当k=0时，3=,f(x)=sin(x+)在［0,］上是减函数；当k=1时,3=2,f(x)=sin(2x+)在［0,］上是减函数;当k>2时，3>,f(x)=sin(3x+)在［0,］上不是单调函数.因此，综合得3=或3=2.谈论：此题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC中，/A=90°,a为斜边，/B/C的内角均分线BDCE的长分别为mn,且a2=2mn.问：可否能在区间(n,2n］中找到角0,恰使等式cos0-sin0=4(cos-cos)建立？若能,找出这样的角0;若不能够，请说明原因.解：在Rt△BAD中,=cos,在Rt△BAC中,=sinC,mcos=asinC.图2同理，ncos=asinB.2?mncoscos=asinBsinC.而a2=2mn,?coscos=2sinBsinC=8sin?coscossin.?sinsin=.积化和差,得4(cos-cos)=-1,若存在0使等式cos0-sin0=4(cos-cos)建立,则cos(0+)=-1,???cos(0+)=.而n<0<2n,.?.<0+<.???这样的0不存在.谈论：关于不确定的开放式问题，平时称之为存在性问题.办理这类问题的一般思路是先假设结论是必然的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设建立.这个研究结论的过程可概括为假设—推证一必然论.一已知tan(a-3)=,tan3=，且a,3?(0,n)，求2a-3的值.例2解军：?2a-3=2(a-3)+3,tan(a-3)=?tan2(a-3)==.进而tan(2a-3)=tan[2(a-3)+3]=

4125tan2(：--)tan：3-7:=2^_11-tan2()tan：1-125X—2137又Ttana=tan[(a-3)+==<1.且0<a<n,?0<a<.?0<2a<.又tan3=<0,且3?