数值分析试验幂法与反幂法matlab

一、问题的描述与算法设计问题的描述我所要做的课题是：对称矩阵的条件数的求解设计1、求矩阵入的二条件数2-10问题A=-12-10-122、设计容：采用幕法求出A的.采用反幕法求出A的.计算A的条件数IIAiyIIA-iII2=cond2(A)=/.(精度要求为10-6)3、设计要求求出iiaii2。并进行一定的理论分析。算法设计1、幕法算法取初始向量U(0)(例如取U(0)二(1,1,・・・1)t)，置精度要求£，置k=1.计算v(k)=Au(k-1),m=max(v(k)),u(k)=v(k)/m若|m广mk1|<£，则停止计算(山左作为绝对值最大特征值入1,u(k)作为相应的特征向量)否则置k=k+1,转(2)2、反幕法算法取初始向量U(0)(例如取u(0)二(1,1,・・・1)T)，置精度要求£，置k=1.对A作LU分解，即A=LU解线性方程组Ly(k)=u(k-1),Uv(k)=y(k)计算m=max(v(k)),u(k)=v(k)/m若|mk=mk1|<£，则停止计算(1/m"作为绝对值最小特征值人，u(k)作为相应的特征向量)；否则置k=k+1，转(3).（一）幂法算法的流程图三、算法的理论依据与其推导（一）幂法算法的理论依据与推导幕法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即，绝对值最大的特征值。稍微修改该方法，也可以用来确定其他特征值。幕法的一个很有用的特性是它不仅可以生成特征值，而且可以生成相应的特征向量。实际上，幕法经常用来求通过其他方法确定的特征值的特征向量。1、幕法的迭代格式与收敛性质设n阶矩阵A的特征值人1，人2，…，气是按绝对值大小编号的，x（i=1,2,…,n）为对应七的特征向量，且人1为单根，艮即’|人|>|人|M・・N|人|则计算最大特征值与特征向量的迭代格式为v（k）=Au（k-i）,m=max（v（k））,u（k）=v（k）/m（1）其中max（v（k））表示向量v（k）绝对值的最大分量。2、对于幕法的定理按式（1）计算出口比和u（k）满足1巧mk土，巧u⑴=商51（二）反幂法算法的理论依据与推导反幕法是用来计算绝对值最小的特征值忽然相应的特征向量的方法。是对幕法的修改，可以给出更快的收敛性。1、反幕法的迭代格式与收敛性质设A是非奇异矩阵，则零不是特征值，并设特征值为|妇N|人|M・・N|人|>|人|TOC\o"1-5"\h\z12n-1n则按A-1的特征值绝对值的大小排序，有|-|>|—|MP|1|nn-11对A-1实行幕法，就可得A-1的绝对值最大的特征值1/气和相应的特征向量，即A的绝对值最小的特征值和相应的特征向量。"由于用A-1代替A作幕法计算，因此该方法称为反幕法，反幕法的迭代格式为v（k）=A-1u（k-1）,mk=max（v（k））,u（k）=v（k）/m（2）2、对于反幕法的定理按式（2）计算出的mk和u（k）满足：limm=—,limu（k）=—L—k一＞8k人nk一＞8max（L）在式（2）中，需要用到A-1，这给计算带来很大的不方便，因此，把（2）式的第一式改为求解线性方程组Av（k）=u（k-1）（3）但由于在反幕法中，每一步迭代都需求解线性方程组（3）式，迭代做了大量的重复计算，为了节省工作量，可事先把矩阵A作LU分解，即A=LU所以线性方程组（3）改为Ly（k）=u（k-i）,Uv（k）=y（k）四、相关的数值结果（一）幂法程序的运行结果m=3.4142u=-0.7071index=11.0000-0.7071（二）反幕法程序的运行结果m0=0.5858u=0.7071index=11.00000.7071（三）矩阵A的二条件数的结果IIAII2*IIA-1II2=cond2（A）=m/m0=3.4142/0.5858=5.828269五、数值计算结果的分析求n阶方阵A的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题。对于n阶矩阵A，若存在数人和n维向量x满足Ax=人x（1）则称人为矩阵A的特征值，乂为相应的特征向量。由线性代数知识可知，特征值是代数方程|人I_A|=人n+a1人n-1+•••+&人+a=0(2)的根。从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方程(2)的根，就能得到特征值人，再解齐次方程组(人I-A)x=0(3)的解，就可得到相应的特征向量。上述方法对于n很小时是可以的。但当n稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程(2)未必是精确的特征方程，自然就不必说求解方程(2)与(3)的困难了。本次实验所用的幕法和反幕法分别是求解最大特征值和最小特征值，并根据它们的结果求解二条件数。幕法和反幕法的Matlab程序很好的解决了手算时所会遇到的麻烦。通过实验我们可以看到，幕法程序可以用来计算矩阵绝对值最大的特征值与相应的特征向量。幕法的缺点是开始的时候并不知道矩阵是否有单一的主特征值。也不知道如何选择x0以保证它关于矩阵特征向量的表达中包含一个与主特征值相关的非零特征向量。反幕法程序可以用来计算矩阵绝对值最小的特征值与相应的特征向量，反幕法的收敛是线性的，它是对幕法的修改，可以给出更快的收敛性。六、附件(一)幂法程序/*幕法程序，函数名：pow.m*/function[m,u,index]=pow(A,ep,N)%A^矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m为绝对值最大的特征值；u为对应最大特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;whilek<=Nv=A*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;ifabs(m-m1)<epindex=1;break;endm1=m;k=k+1;end输入A=[2-10;-12-1;0-12];[m,u,index]=pow(A,1e-6)(二)反幂法程序/*反幕法程序，函数名：pow_inv.m*/function[m,u,index]=pow_inv(A,ep,N)%A为矩阵；ep为精度要求；N为最大迭代次数；m0为绝对值最小的特征值；u为对应最小特征值的特征向量。N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;invA=inv(A);whilek<=Nv=invA*u;[vmax,i]=max(abs(v));m=v(i);u=v/m;ifabs(m-m1)<epindex=1;break;endm1m;k=k+1;endm=1/m;输入A=[2-10;-12-1;0-12];[m,u,index]=pow_inv(A,1e-6)七、参考文献：薛毅.数值分