2-1-2随机变量及离散型分布课件

第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量的概率分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量五、随机变量函数的分布下页第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量的概§2.1随机变量例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观察发芽粒数.显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可能取值为0，1，…，20.下页例2.掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况.

记ω1={正面朝上}，ω2={反面朝上}.X也是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量.X(ω)ωR§2.1随机变量例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽

1.随机变量的定义§2.1随机变量下页定义设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个ω∈Ω,都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量,并简记为X.注意：1.X是定义在Ω上的实值、单值函数.2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率.3.随机性：随试验结果不同,X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值.1.随机变量的定义§2.1随机变量下页定义设随2.

用随机变量表示随机事件

例3.在灯泡寿命试验中，随机变量X表示灯泡寿命，则{灯泡的寿命不低于1000小时}表示为{X≥1000}.

例4.用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}.

例5.{正面朝上}可以表示为{X=1}.

一般地：{X=k}，{X≤a}，{a＜X≤b}等表示一个随机事件.下页

3.随机变量的类型⑴离散型随机变量随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个.⑵连续型随机变量随机变量取值为某一区间上的所有实数(3)既非离散型亦非连续型随机变量2.用随机变量表示随机事件例3.在灯泡寿命试验中，随§2.2离散型随机变量的概率分布

定义设离散型随机变量X所有可能的取值为

x1,x2,…,xk,…X取各个值的概率，即事件{X=xk}的概率为

P{X=xk}=pk

,k=1,2,…一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质一般用下面的概率分布表来表示Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律).下页§2.2离散型随机变量的概率分布定义设离散型随机分布列的性质例1.已知随机变量Ｘ的概率分布为：,求常数a.解：由概率分布的性质知即15a=1,解得下页（1）Pk≥0（k=1,2，…）

（2）分布列的性质例1.已知随机变量Ｘ的概率分布为：,求常数a.X0123P6白4红10球下页例2.在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球.从中任取3个，求抽到红球数的概率分布.解：用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3,且取每一个值的概率分别为X概率分布为X0123P6白4红10球下页例2.在一个袋子中有10个球例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，

求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.

P｛X=0｝=(0.1)(0.1)=0.01

P｛X=1｝=2(0.9)(0.1)=0.18

P｛X=2｝=(0.9)(0.9)=0.81解：用X表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的值为0、1、2.XP0120.010.180.81X的概率分布为下页例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，P｛X=0二、几种常见的离散型随机变量的概率分布1、0-1分布定义:如果随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为

(0＜p＜1，p+q=1)即XP10p

q下页则称X服从0-1分布，(p为参数),记作X～B(1,p).或二、几种常见的离散型随机变量的概率分布1、0-1分布定义

特别当n=1时，二项分布退化为0－1分布.2、二项分布显然,下页则称X服从参数为n，p的二项分布,记作X~B(n,p).定义：如果随机变量X的概率分布为特别当n=1时，二项分布退化为0－1分布.2、(2)P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}

例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，

求（1）恰好8粒发芽的概率;（2）不少于8粒发芽的概率;（3）能发芽的概率。下页解:设X表示种子发芽的粒数，则X的所有可能取值为0,1,…,10,且X~B(10,0.7)，所求事件的概率为(2)P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}解:将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击中的次数，则X~B（400，0.02）其分布律为于是所求的概率为例5.

某人进行射击，其击中率为0.02，独立射击400次，

试求击中的次数大于等于2的概率。≈0.9972下页在二项分布B(n,p)中，当n值较大，而p值较小时，有一个很好的近似计算公式，这就是著名的泊松定理。解:将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击3、泊松分布则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ).下页定义:如果随机变量X的概率分布为(其中λ＞0是常数)查课本293页附表2泊松分布表，对于给定的λ，可查3、泊松分布则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~解：设X表示呼叫数，由题意知X～P(3)，则（3）P{X=2}=P{X≥2}－P{X≥3}=0.80085－0.57681=0.22404（2）P{X＜6}=1－P{X≥6}=1－0.08392=0.91608（1）P{X≥6}（1）呼叫次数不小于6；（2）呼叫次数小于6；（3）呼叫数恰好为2.下页例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率:解：设X表示呼叫数，由题意知X～P(3)，则（3）P{X=泊松（Poisson）定理

设随机变量Xn（n=1，2，3…）服从二项分布，其概率分布为：

（k=0,1,2,…,n）则有从而n较大，p较小时有这里概率Pn与n有关。如果limnpn=λ＞0（λ为常数），n→∞下页其中，泊松（Poisson）定理设随机变量Xn（n=1，2，3…证明记λn=npn，则因此

对于固定的k，则有下页证明记λn=npn，则因此对于固定的k，则有下页

小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可能性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的。解因为P{X=0}≈e-8，P{X=1}≈8e-8，于是因此P{X≥2}≈1-e–8-8e-8=1-9e–8≈1-0.003=0.997例5’

利用近似公式计算例4中的概率P{X≥2}。下页小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可能性（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率．解：设X表示同时发生故障的台数，则X～B(n,0.01)由于n较大，p较小，可用泊松分布作近似计算,其中λ=np=4(1)n=30，p=0.01，λ=0.3，所求概率为

（2）若3人共同维修100台设备呢？(2)n=100，p=0.01，λ=1,所求事件概率为

（3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？下页例7.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01。求下列事件的概率:（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率解：(3)设配备M名工人，已知n=400，p=0.01，则λ=4，由题意P{X≥M+1}≤0.02由查表得M+1≥10，即M≥9，需配备９名工人.下页（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率．

（2）若3人共同维修100台设备呢？

（3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？例7.某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为0.01。求下列事件的概率:解：(3)设配备M名工人，已知n=400，p=0.4.几何分布定义:若X的概率分布为则称X服从参数为p的几何分布，记作X～G(p).若X表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件A首次发生所需要的次数，则X服从参数为p的几何分布.下页4.几何分布定义:若X的概率分布为则称X服从参数

例8

某人有5发子弹,向一目标射击,每次命中率为0.9,若击中目标或子弹用尽就停止射击.求耗用子弹数X的概率分布。X12345P

0.9下页X12345P

0.9例8某人有5发子弹,向一目标射击,每次命中率为05.超几何分布定义：若随机变量X的概率分布为则称X服从参数为p的超几何分布，记作X～H(M,N,n)。（k=0，1，…,min(n,M)）.

设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品数是一个随机变量，由古典概率计算公式有X服从参数为M、N和n的超几何分布。NM次N-M下页5.超几何分布定义：若随机变量X的概率分布为则称X服从作业：52页2，4，11，12，13结束作业：52页结束第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量的概率分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量五、随机变量函数的分布下页第二章随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量的概§2.1随机变量例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观察发芽粒数.显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发芽粒数，则X的所有可能取值为0，1，…，20.下页例2.掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况.

记ω1={正面朝上}，ω2={反面朝上}.X也是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量.X(ω)ωR§2.1随机变量例1.从一批种子中随机抽取20粒进行发芽

1.随机变量的定义§2.1随机变量下页定义设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个ω∈Ω,都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量,并简记为X.注意：1.X是定义在Ω上的实值、单值函数.2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率.3.随机性：随试验结果不同,X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值.1.随机变量的定义§2.1随机变量下页定义设随2.

用随机变量表示随机事件

例3.在灯泡寿命试验中，随机变量X表示灯泡寿命，则{灯泡的寿命不低于1000小时}表示为{X≥1000}.

例4.用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}.

例5.{正面朝上}可以表示为{X=1}.

一般地：{X=k}，{X≤a}，{a＜X≤b}等表示一个随机事件.下页

3.随机变量的类型⑴离散型随机变量随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个.⑵连续型随机变量随机变量取值为某一区间上的所有实数(3)既非离散型亦非连续型随机变量2.用随机变量表示随机事件例3.在灯泡寿命试验中，随§2.2离散型随机变量的概率分布

定义设离散型随机变量X所有可能的取值为

x1,x2,…,xk,…X取各个值的概率，即事件{X=xk}的概率为

P{X=xk}=pk

,k=1,2,…一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质一般用下面的概率分布表来表示Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律).下页§2.2离散型随机变量的概率分布定义设离散型随机分布列的性质例1.已知随机变量Ｘ的概率分布为：,求常数a.解：由概率分布的性质知即15a=1,解得下页（1）Pk≥0（k=1,2，…）

（2）分布列的性质例1.已知随机变量Ｘ的概率分布为：,求常数a.X0123P6白4红10球下页例2.在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球.从中任取3个，求抽到红球数的概率分布.解：用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3,且取每一个值的概率分别为X概率分布为X0123P6白4红10球下页例2.在一个袋子中有10个球例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，

求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.

P｛X=0｝=(0.1)(0.1)=0.01

P｛X=1｝=2(0.9)(0.1)=0.18

P｛X=2｝=(0.9)(0.9)=0.81解：用X表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的值为0、1、2.XP0120.010.180.81X的概率分布为下页例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，P｛X=0二、几种常见的离散型随机变量的概率分布1、0-1分布定义:如果随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为

(0＜p＜1，p+q=1)即XP10p

q下页则称X服从0-1分布，(p为参数),记作X～B(1,p).或二、几种常见的离散型随机变量的概率分布1、0-1分布定义

特别当n=1时，二项分布退化为0－1分布.2、二项分布显然,下页则称X服从参数为n，p的二项分布,记作X~B(n,p).定义：如果随机变量X的概率分布为特别当n=1时，二项分布退化为0－1分布.2、(2)P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}+P{X=10}

例4.设鲁麦11号的发芽率为0.7，现播种10粒，

求（1）恰好8粒发芽的概率;（2）不少于8粒发芽的概率;（3）能发芽的概率。下页解:设X表示种子发芽的粒数，则X的所有可能取值为0,1,…,10,且X~B(10,0.7)，所求事件的概率为(2)P{X≥8}=P{X=8}+P{X=9}解:将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击中击中的次数，则X~B（400，0.02）其分布律为于是所求的概率为例5.

某人进行射击，其击中率为0.02，独立射击400次，

试求击中的次数大于等于2的概率。≈0.9972下页在二项分布B(n,p)中，当n值较大，而p值较小时，有一个很好的近似计算公式，这就是著名的泊松定理。解:将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在400次射击3、泊松分布则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ).下页定义:如果随机变量X的概率分布为(其中λ＞0是常数)查课本293页附表2泊松分布表，对于给定的λ，可查3、泊松分布则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~解：设X表示呼叫数，由题意知X～P(3)，则（3）P{X=2}=P{X≥2}－P{X≥3}=0.80085－0.57681=0.22404（2）P{X＜6}=1－P{X≥6}=1－0.08392=0.91608（1）P{X≥6}（1）呼叫次数不小于6；（2）呼叫次数小于6；（3）呼叫数恰好为2.下页例6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3的泊松分布，求下列事件的概率:解：设X表示呼叫数，由题意知X～P(3)，则（3）P{X=泊松（Poisson）定理

设随机变量Xn（n=1，2，3…）服从二项分布，其概率分布为：

（k=0,1,2,…,n）则有从而n较大，p较小时有这里概率Pn与n有关。如果limnpn=λ＞0（λ为常数），n→∞下页其中，泊松（Poisson）定理设随机变量Xn（n=1，2，3…证明记λn=npn，则因此

对于固定的k，则有下页证明记λn=npn，则因此对于固定的k，则有下页

小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可能性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的。解因为P{X=0}≈e-8，P{X=1}≈8e-8，于是因此P{X≥2}≈1-e–8-8e-8=1-9e–8≈1-0.003=0.997例5’

利用近似公式计算例4中的概率P{X≥2}。下页小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可能性（1）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率．解：设X表示同时发生故障的台数，则X～B(n,0.01)由于n较大，p较小，可用泊松分布作近似计算,其中λ=np=4(1)n=30，p=0.01，λ=0.3，所求概率为

（2）若3人共同维修100台设备呢？(2)n=100，p=0.01，λ=1,所求事件概率为

（3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02？下页例7.某