探索性问题的常见类型及其求解策略

探索性问题的常见类型及其求解策略在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。例1.(2002年上海10)设函数f(x)=sin2x,奇(x+1)是偶函数，则t的一个可能值是。分析与解答：f(x+1)=sin2(x+1)=sin(2x+2t).又f(x+1)是偶函数f(x+1)=f(-x+1)^sin(2x+2t)=sin(-2x+2t)。由此可得2x+2t=-2x+2t+2kn或2x+1=兀一(-2x+2t)+2k冗(keZ).t=^^1兀(keZ)4评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.二、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。例2.(2020年上海文12)若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设

^〃｝是公比为q的无穷等比数列，下列^〃｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组。（写出所有符合要求的组号）。①S与S；②a与S；③a与a；④q与a.12231nn其中n为大于1的整数，Sn为的前n项和。分析与解答：（1）由S和S，可知a和a。由%=q可得公比q，故能确定数列是该数列1212a1的“基本量”。（2）由气与S3，设其公比为q，首项为气，可得a=aq,a=^,S=a+aq+aq2211q3111・.・S3・aq2+（a一S）q+a=02232满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列｝的n基本量。a（3）由a1与an，可得a”=aqn-】,qn-1=f，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定1故数列，｝能够确定，是数列，｝的一个能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。故数列，｝能够确定，是数列，｝的一个（4）由q与an，由a=aqn-1,可得匕=，基本量。故应填①、④评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解.x(x-1)L(x-m+1)例3（2002上海）.规定Cmx!，其中xeR，m是正整数，且Co=1，这是组合数Cm（n，m是正整数，且m<n）的一种推广.例3（2002上海）.规定Cmx（I）求C5的值；-15（II）组合数的两个性质：①Cm=Cn-m；②Cm+Cm-1=C'

是否都能推广到(xeR,m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明;若不能，则说明理由；(III)我们知道，组合数Cm是正整数.那么，对于Cm,xeR,m是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些CmeR成立的例子吗？(-15)(-16)L(-19)分析与解答：(I)C5=—=—11628.-155!(II)一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义.从这个角度很快可以看出：性质①不能推广.例如当x=克时，C1-有定义，但C：-1无意义.性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：Cm+Cm-1=C^，其中xeR，m是正整数.类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的当m=1时，Ci+Co=当m=1时，Ci+Co=x+1=Ci.当m>2时，__x(x-1)L(x—m+1)x(x-1)L(x—m+2)+/\(m-1)!Cm+Cm-1=Xx(x-1)L(x-m+2),x-m+1'(m-1)![m/x(x-1)L(x-m+2)(x+1)m!=Cmx+1由此，可以知道，性质②能够推广.由此，可以知道，性质②能够推广.(I)CeZ不成立，下面，我们将着眼从Cm的定义不难知道，当x冬Z且m丰0时点放在x(I)CeZ不成立，下面，我们将着眼先从熟悉的问题入手.当x>m时，C：就是组合数当x冬Z且xvm时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形(Cm，x冬Z且xvm)与已知的结论CmeZ相联系？n一方面再一次考察定义：Cm=_?"+]);另一方面，可以从具体的问题入手.TOC\o"1-5"\h\zxm!由(I)的计算过程不难知道：C5=-C5.另外，我们可以通过其他例子发现类似的结-1519论.因此，将C5转化为C5可能是问题解决的途径.-1519事实上，当xv0时，

Cmxx(x—1)L(x—m+1)(])(—x+m—1)L(—x+1)(—x)(])-x+m—1若—x+m—1>m，即x<—1,则Cm1为组合数，故CmGZ.Cmx若-x+m—1<m，即0<x<m时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：C；=0不难发现：C；=0，可以猜想，此时Cm=0GZ.这个结论不难验证.事实上，当0<x<m时，在x,x—1,L,x—m+1这m个连续的整数中，必存在某个数为0.所以，C：=0gZ.综上，对于xGZ且m为正整数，均有CmGZ.评注：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃.在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性.三条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。例4(1999年全国)a、B是两个不同的平面，m、n是平面a及B之外的两条不同的直线，给出四个论断：@m±n②a^B③n±^@m±a以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。分析与解答：依题意可得以下四个命题：(1)m±n，a±B，n±Bnm±a；(2)m±n，a±B，m±ann±B；(3)m±a，n±B，m±ana±B；(4)a±B，n±B，m±anm±no不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题。故填上命题(3)或(4)。例5.（2020年北京）已知三个不等式：ab>0,bc-ad>0,--d>0（其中a,b,abc,d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A、0B、1C、2D、3分析与解答：若ab>0,bc-ad>0,则C一«=_—>0ababcdab>0,bc-ad>0n——一>0abcdbc-adTOC\o"1-5"\h\z若ab>0,——>0,则U>0ababcd7二bc-ad>0,即ab>0,—->0nbc-ad>0abcdbc-ad若bc-ad>0,—-—>0,则>0ababcd二ab>0,即bc-ad>0,—-—>0nab>0ab故三个命题均为真命题，选D。四、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。例6、（2020年福建）已知f（x）=4x+ax2-3x3（xe夫）在区间L1,1］上是增函数。（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f（x）=2x+3x3的两个非常零实根为X］、％，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1>|xi-%|对任意aeA及teL1,1］恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。分析与解答：（1）f'（x）=4+2ax一2x2，•.・f（x）在［—1，1］上是增函数，f'（x）>0对xeL1,1］恒成立即x2—ax—2W0,对xE[—1，1]恒成立设中(x)=x2-ax-2

.•.甲(1)=1-a-2<0.平(一1)=1+a-2<0/.—1<a<10对尤el—1,1]只有当a=1时，f(—1)=0以及当a=—1时，f⑴=0•.A={z—1<a<1}TOC\o"1-5"\h\z-,1.由4x+ax2—一x3=2x+—x3.\o"CurrentDocument"3得x=0,或x2—ax一2=0,0A=a2+8>0•x「x2是方程尤2-ax-2=0的两非零实根，x一xI=.■(x+x)2一4xx=、(a2+8.(2)121212又0—1<a<1,.|x-x|=t'a2+8<3.要使不等式m2+tm+1>|x1-x21对任意aeA及teL1,1]恒成立，g(—1)=m2—m一2>0,g(1)=m2+m一2<0...mN2或mW—2.[-1,1][-1,1]m2+tm+1>|x一x|对任意aeA及te恒成立，其取值范围>{m|m>2,或m<—2}评注：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来;如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。例7、（2020年天津）已知常数a>0,向量c=（0,a），i=（1，0），经过原点O以c+入i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以1—2入c为方向向量的直线相交于点P，其中入ER.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.分析与解答：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.,/i=(1,0),c=(0,a),•c+人i=(人,a),i—2人c=(1,一2人a)..•因此，直线OP和AP的方程分别为人y=ax和y—a=—2人ax.消去参数人，得点P（x,y）(y-—)2彳+—^=1,1(—)2的坐标满足方程y(y—a)=—2a2X2，整理得82因为a>0,所以得:的坐标满足方程y(y—a)=—2a2X2笠(。当3=2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；笠(L二,—)(ii)当0<a<2时，方程①表示椭圆，焦点E2和F(-H-a2,—)2\'22为合乎题意的两个定点;a2-2))和(山)当W时，方程①表示椭圆，焦点e(0,2质飞a2-2))和(0,—(a—】,a2F2'2))为合乎题意的两个定点.评注：假设存在，按常规方法去求解，但要注意对a进行讨论。五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明，限于篇幅这样的例子不在列举。下面来看：f⑴=—,例8.(2002年全国理)已知函数1+x2那么^1^1^1f(1)+f(2)+f(―)+f(3)+f(―)+f(4)+f(―)=2341f(x)+f(-)=17分析与解答：考察函数可发现左式构成规律：x，于是立得结论为2。若直接代入费力又费时。评注：本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规律，从而解决问题。

例9、（2001年上海）在棱长为a的正方体°ABC-°'A'B'C'中,E.F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。（1）求证：A'F1C'E；（2）当三棱锥B-BEF的体积取得最大值时，求二面角B-EF-B的大小（结果用反三角函数表示）分析与解答：如图（2）：（1）中E、F虽在棱上运动，但始终体现出直线A'F1C'E的一个不变关系，而C'F1A'°不变，故只要去证C'F1OF即可达到目的。（2）中寻求的是E、F在变化过程中二面角B-EF-B的最值状态，易看到该三棱锥的高一定，因此，只要底面面积最大即可。考察E、F在变化过程中当E由A向B运动时，海F的面积先由小渐大到一定值后又渐小，因此，在E为AB的中点时该三棱锥的体积取得最大值，从而解决问题。评注:本题要求学生能让动态的量静止下来观察探究其特殊位置下的极值情况或一些恒成立的情况；让静止的量运动起来，观察探究其取值情况，并渗透极限思想。这是这类问题求解常用的方法之一。本题如果把（1）问改为A'F与C'E的位置关系如何？并证明你的结论则更好。六、实验操作型这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实践。例10、（2002年全国文）已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD。如图（3）所示，AD1AB,AD1DC,AB=2a,BC=%3a,CD=a.请你在图中设计一种虚线，沿虚线翻折可成原来的三棱锥（指三棱锥的三个面）；求这个三棱锥外接球的体积。分析与解答：本题是考查线面的垂直，直角三角形的性质和球的体积公式等知识。需大胆猜测：虚线之交点应是某边的中点，然后动手实践，图4

胆猜测：虚线之交点应是某边的中点，然后动手实践，图4如图(4),取AD的中点E,连EC,EB,沿EC,EB折起，使A与D重合。接下来通过证明得ABEC为直角三角形即可(略)(2)略。评注：该高考题在当年考后受一致好评，它要求考生有一定的动手能力和大胆的猜测能力。例11、某自来水厂要制作容积为500”2的无盖长方体水箱。现有三种不同规格的金属制箱材料(单位m)：(1)19x19；(2)30x1。；(3)25xI2请你选择其中的一种规格并设计出相应的制作方案(要求用料最省，简便易行)分析与解答：“用料最省”等价于“无盖水箱表面积最小”。因此先确定该水箱的尺寸使其表面积最小，然后根据尺寸选择材料。设无盖水箱的长、宽、高分别为ab,C，则其体积：V=abc=500m3表面积：S=2bc+2ca+ab，这样问题可以转化为：已知：abc为正数，abc=500。求：2bc+2ca+沥的最小值及相应a,b,c的值。由均值不等式知2bc+2ca+ab>3金2bc+2ca+ab=3^4(abc)2=300，当且仅当2bc=2ca=ab，即a=b=10,c=5时，2bc+2ca+ab=300m2最小。这表明将无盖水箱设计为10x10x5时，用料最省。如何选择材料并设计制作方案？我们可逆向思考，先将无盖水箱分解(展开)，我们不难发现制作10x10x5的无盖长方体水箱需一个10x10的正方形及4个10x5的长方形；而用一个30x10的长方形材料，我们只要割四次易得10x10正方形一个及10x5正方形4个。故选择30x10的材料，不但用料最省而且简便易行。评注：本题又是实际应用问题中的问题，解答时除了考虑前面提及的方法外，还需考虑实际意义及可行性。总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。思维能力训练1、(2020浙江)若(5+£)〃展开式中存在常数项，则n的值可以是3xA、8B、9C、10D、122、(2020浙江)若f(z)和幺(x)都是定义的实数集R上的函数，且方程x-A、8B、9C、10D、12有实数解，则g[f(x)]不可能是・・・1A、x2+x一53、（2020北京）如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0，那么下列选项中不一定成立・・・的是A、ab>acB、c（b-a）>0C、cb2>ab2D、ac（a-c）<0（2020上海）某地2020年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是A、计算机行业好于化工行业B、建筑行业好于物流行业C、机械行业最紧张D、营销行业比贸易行业紧张5、三棱锥中，互相垂直的棱最多