3~~4-微分方程方法建模课件

第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模3.2草地水量模型3.3传染病模型3.4食饵-捕食者模型第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模微分方程模型属于动态模型

描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程

分析所研究对象特征的变化规律

预报所研究对象特征的未来性态

研究控制所研究对象特征的手段

根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数微分方程建模方法

根据建模目的和问题分析作出简化假设

按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程3.1微分方程建模微分方程模型属于动态模型描述所研究对象特征随时间(空间)的3.1.1

人的体重3.1.2

常微分方程建模基本准则3.1微分方程建模3.1.1人的体重3.1微分方程建模3.1.1

人的体重

某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤·天）乘以他的体重(公斤)。假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效，而1公斤脂肪含热量41868焦。问题研究此人的体重随时间变化的规律3.1.1人的体重某人的食量是10467（问题分析体重w时间t函数w(t),连续可微找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)“变化率”“导数”微元法

3.1.1

人的体重问题分析体重w时间t函数w(t),连续可微找到体重w(t)由题意可知,“每天”体重变化应满足下面描述

输出＝进行健身训练时的消耗进一步分析体重的变化＝输入－输出输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收

体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天

导数意义的陈述净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)＝5429(焦/天)运动消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公斤)3.1.1

人的体重由题意可知,“每天”体重变化应满足下面描述输出＝进行健身

体重的变化/天＝

(公斤/天)

（公斤/天）

将两单位换算成统一形式：

连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式模型建立＝3.1.1

人的体重体重的变化/天＝(公斤/天)（公斤/天）将两单位换算由上述分析，体重w(t)满足下面关系式

两边的物理单位量纲一致，令

模型建立3.1.1

人的体重由上述分析，体重w(t)满足下面关系式两边的物理单位量纲一分离变量法

0到t积分3.1.1

人的体重模型求解分离变量法0到t3.1.1人的体重模型求解由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终趋于一种平稳的值模型解释即3.1.1

人的体重由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终模型解释即3.常微分方程建模应符合下面基本准则：

模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法：

1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，对某些实际问题直接列出微分方程；

2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下面的模式改变率＝净变化率＝输入率－输出率翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；转化：在实际问题中,有许多表示导数的常用词，如“速率”,“增长率”(在生物学、人口学问题研究中),“衰变率”(在放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；3.1.2常微分方程建模基本准则常微分方程建模应符合下面基本准则：模式：找出问题遵循的模式

建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式，建立起在自变量时段上的函数x(t)的增长量表达式即得到的表达式确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出。单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；常微分方程建模应符合下面基本准则：3.1.2常微分方程建模基本准则建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正表达式即得3.2草地水量模型草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.问题3.2草地水量模型草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约持续c小时,雨在草地中聚积了h厘米高的水;需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨后多长时间t1，使Q(t1)=0。问题陈述3.2草地水量模型由此可将研究对象视为草地积单位面积的水量Q,它是时间t的函数.雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减少，最终自然变干，恢复比赛。草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约需要建立模型求出Q(t)2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑空气中的湿度与温度；3．降雨速度为常数。模型假设1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。3.2草地水量模型2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑3．降雨速度为常问题分析若草地是干的，即Q(0)=0。

草地积了h厘米高的水量

流出量(渗透、蒸发过程)由此本模型应遵循下面的模式：

草地积水量的改变量＝流入量－流出量（1）r米/秒降雨速度持续c小时下雨时开始时停雨后水的流入量（降雨过程）流出量（渗透过程）草地水量的改变草地水量的改变3.2草地水量模型问题分析若草地是干的，即Q(0)=0。草地积了h厘米高的水草地积水量的改变量＝

流入量－流出量

＝

模型建立A（平方米）:草地的面积a单位时间内单位水量的渗透量单位时间内单位水量的蒸发量b时间内(1)式各量的描述:(2)3.2草地水量模型草地积水量的改变量＝流入量－流出量＝模型建立A（平方数值计算：不妨假设降雨半小时,即c=1800秒,此时草地积水深h=0.018米,降雨速度在半小时

为方便直接给出a=0.001/秒,b=0.0005/秒,将所取数值代入(2)式整理方程，得若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)；模型求解参数a,b可以通过参数辨识方法得到。注3.2草地水量模型数值计算：不妨假设降雨半小时,即c=1800秒,此时草地模型求解3.2草地水量模型模型求解3.2草地水量模型模型求解（3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的3.2草地水量模型模型求解（3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的3但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10%Q

(1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1

满足(3)式，得

雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水量降到最大值5%,需要大约33分钟可以恢复比赛。模型求解本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得Q(t1)=0。而由(3)式可知,当t趋于无穷大时,Q(t)趋于零，所以这样的t1是不存在的。3.2草地水量模型但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％雨停3.3传染病模型模型1(简单模型)模型2(SI模型)模型3（SIS模型）模型4（SIR模型）3.3传染病模型模型1(简单模型)问题

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型3.3传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传

已感染人数(病人)i(t)

每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1(简单模型)假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足模型2(SI模型)区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型2(SI模型)区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日模型3（SIS模型）传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3（SIS模型）传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的模型4(SIR模型)传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程模型4(SIR模型)传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4SIR模型无法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/σ

i(t)先升后降至0P2:s0<1/σ

i(t)单调降至01/σ~阈值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相轨线及其分模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计

降低s0提高r0

提高阈值1/

降低(=/),群体免疫模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/σ降低被传染人数比例xs0-1/=模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i模型验证20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，即有了dr/dt的实际数据，KerMack等人用这组数据把模型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。

根据前面的SIR模型：和有：于是：模型验证20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死当时，取（*）式右端的Taylor展开的前三项，在r0=0初始值下求解，得到：其中：带回（*）式，即有：然后确定s0等参数，画出r（t）的图形，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

当时，取（*）式右端的Taylor3.4

被捕食者-捕食者模型

种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。

模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？3.4被捕食者-捕食者模型种群甲靠丰富的天然资源生存，种食饵（甲）数量x(t),

捕食者（乙）数量

y(t)甲独立生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与

y成正比乙独立生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力食饵（甲）数量x(t),捕食者（乙）数量y(t)甲独tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解x~y平面上的相轨线tx(t)y(t)020.00004.00000.10002计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t),y(t)的周期约为9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用数值积分可算出

x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,

y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(

消去dt分析第一象限的相轨线行为c由初始条件确定取指数消去dt分析第一象限的相轨线行为c由初始条件确定取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形相轨线时无相轨线以下设x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记T)求x(t),y(t)在一周期的平均值轨线中心用相轨线分析点附近情形相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记T)•T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”领先y(t)模型解释初值相轨线的方向•T2T3T4T1PT1T2T3模型解释r~食饵增长率d~捕食者死亡率b~食饵供养捕食者能力捕食者数量食饵数量Pr/ad/ba~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比模型解释r~食饵增长率d~捕食者死亡率b~食饵供养捕食模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞战时捕捞rr-2,dd+2,2<1•••xy食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加自然环境

还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点加Logistic项可以证明，在给定条件下，此模型一定有稳定平衡点。具体可参考第七章中关于方程稳定性的相关内容。食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volter第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模3.2草地水量模型3.3传染病模型3.4食饵-捕食者模型第三章微分方程方法建模3.1微分方程建模微分方程模型属于动态模型

描述所研究对象特征随时间(空间)的演变过程

分析所研究对象特征的变化规律

预报所研究对象特征的未来性态

研究控制所研究对象特征的手段

根据函数及其变化率(导数)之间的关系确定函数微分方程建模方法

根据建模目的和问题分析作出简化假设

按照内在规律(模式)或用类比法建立微分方程3.1微分方程建模微分方程模型属于动态模型描述所研究对象特征随时间(空间)的3.1.1

人的体重3.1.2

常微分方程建模基本准则3.1微分方程建模3.1.1人的体重3.1微分方程建模3.1.1

人的体重

某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤·天）乘以他的体重(公斤)。假设以脂肪形式贮藏的热量100％的有效，而1公斤脂肪含热量41868焦。问题研究此人的体重随时间变化的规律3.1.1人的体重某人的食量是10467（问题分析体重w时间t函数w(t),连续可微找到体重w(t)满足的微分方程即可求出函数w(t)“变化率”“导数”微元法

3.1.1

人的体重问题分析体重w时间t函数w(t),连续可微找到体重w(t)由题意可知,“每天”体重变化应满足下面描述

输出＝进行健身训练时的消耗进一步分析体重的变化＝输入－输出输入＝扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收

体重的变化/天＝净吸收量/天－运动消耗/天

导数意义的陈述净吸收量/天＝10467(焦/天)－5038(焦/天)＝5429(焦/天)运动消耗/天＝69焦(/公斤·天)×w(t)(公斤)3.1.1

人的体重由题意可知,“每天”体重变化应满足下面描述输出＝进行健身

体重的变化/天＝

(公斤/天)

（公斤/天）

将两单位换算成统一形式：

连续函数w(t)的瞬时关系满足下面关系式模型建立＝3.1.1

人的体重体重的变化/天＝(公斤/天)（公斤/天）将两单位换算由上述分析，体重w(t)满足下面关系式

两边的物理单位量纲一致，令

模型建立3.1.1

人的体重由上述分析，体重w(t)满足下面关系式两边的物理单位量纲一分离变量法

0到t积分3.1.1

人的体重模型求解分离变量法0到t3.1.1人的体重模型求解由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终趋于一种平稳的值模型解释即3.1.1

人的体重由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终模型解释即3.常微分方程建模应符合下面基本准则：

模式：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法：

1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，对某些实际问题直接列出微分方程；

2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下面的模式改变率＝净变化率＝输入率－输出率翻译：将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；转化：在实际问题中,有许多表示导数的常用词，如“速率”,“增长率”(在生物学、人口学问题研究中),“衰变率”(在放射性问题中)及“边际”(在经济学中)等；3.1.2常微分方程建模基本准则常微分方程建模应符合下面基本准则：模式：找出问题遵循的模式

建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式，建立起在自变量时段上的函数x(t)的增长量表达式即得到的表达式确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起给出。单位：在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；常微分方程建模应符合下面基本准则：3.1.2常微分方程建模基本准则建立瞬时表达式：微分方程是一个在任何时刻都必须正表达式即得3.2草地水量模型草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.问题3.2草地水量模型草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约持续c小时,雨在草地中聚积了h厘米高的水;需要建立模型求出Q(t)，并能预测下雨后多长时间t1，使Q(t1)=0。问题陈述3.2草地水量模型由此可将研究对象视为草地积单位面积的水量Q,它是时间t的函数.雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减少，最终自然变干，恢复比赛。草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约需要建立模型求出Q(t)2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑空气中的湿度与温度；3．降雨速度为常数。模型假设1．开始时草地是干的,下雨时只考虑渗透排水,雨停后水是通过渗透,蒸发排除的,其它因素不考虑。3.2草地水量模型2．渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑3．降雨速度为常问题分析若草地是干的，即Q(0)=0。

草地积了h厘米高的水量

流出量(渗透、蒸发过程)由此本模型应遵循下面的模式：

草地积水量的改变量＝流入量－流出量（1）r米/秒降雨速度持续c小时下雨时开始时停雨后水的流入量（降雨过程）流出量（渗透过程）草地水量的改变草地水量的改变3.2草地水量模型问题分析若草地是干的，即Q(0)=0。草地积了h厘米高的水草地积水量的改变量＝

流入量－流出量

＝

模型建立A（平方米）:草地的面积a单位时间内单位水量的渗透量单位时间内单位水量的蒸发量b时间内(1)式各量的描述:(2)3.2草地水量模型草地积水量的改变量＝流入量－流出量＝模型建立A（平方数值计算：不妨假设降雨半小时,即c=1800秒,此时草地积水深h=0.018米,降雨速度在半小时

为方便直接给出a=0.001/秒,b=0.0005/秒,将所取数值代入(2)式整理方程，得若给出有关草地进水足够信息，就可由(2)式求出Q(t)；模型求解参数a,b可以通过参数辨识方法得到。注3.2草地水量模型数值计算：不妨假设降雨半小时,即c=1800秒,此时草地模型求解3.2草地水量模型模型求解3.2草地水量模型模型求解（3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的3.2草地水量模型模型求解（3）式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化减少的3但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10%Q

(1800)即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令t1

满足(3)式，得

雨停后还要等1534秒(约25分)才能恢复比赛.若水量降到最大值5%,需要大约33分钟可以恢复比赛。模型求解本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为何值时使得Q(t1)=0。而由(3)式可知,当t趋于无穷大时,Q(t)趋于零，所以这样的t1是不存在的。3.2草地水量模型但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10％雨停3.3传染病模型模型1(简单模型)模型2(SI模型)模型3（SIS模型）模型4（SIR模型）3.3传染病模型模型1(简单模型)问题

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型3.3传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传

已感染人数(病人)i(t)

每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1(简单模型)假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足模型2(SI模型)区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型2(SI模型)区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日模型3（SIS模型）传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3（SIS模型）传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的模型4(SIR模型)传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程模型4(SIR模型)传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质模型4SIR模型无法求出在相平面模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/σ

i(t)先升后降至0P2:s0<1/σ

i(t)单调降至01/σ~阈值P3P4P2S0si101D模型4SIR模型相轨线及其分模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计

降低s0提高r0

提高阈值1/

降低(=/),群体免疫模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/σ降低被传染人数比例xs0-1/=模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i模型验证20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，即有了dr/dt的实际数据，KerMack等人用这组数据把模型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。

根据前面的SIR模型：和有：于是：模型验证20世纪初在印度孟买发生的—次瘟疫中几乎所有病人都死当时，取（*）式右端的Taylor展开的前三项，在r0=0初始值下求解，得到：其中：带回（*）式，即有：然后确定s0等参数，画出r（t）的图形，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

当时，取（*）式右端的Taylor3.4

被捕食者-捕食者模型

种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。

模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？3.4被捕食者-捕食者模型种群甲靠丰富的天然资源生存，种食饵（甲）数量x(t),

捕食者（乙）数量

y(t)甲独立生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与

y成正比乙独立生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力食饵（甲）数量x(t),捕食者（乙）数量y(t)甲独tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解x~y平面上的相轨线tx