工程力学教学t8

1.弹性杆件的变形与变形能计算2.变形体虚功原理3.单位荷载法4.图乘法5.其他外因引起的位移计算6.互等定理7.结论与讨论第三章静定结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures1结构位移计算概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移相对线位移CDFP相对角位移制造误差等铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的引起结构位移的原因(1)刚度要求如：荷载、温度改变

T、支座移动c、在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定

(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),返首2变形体虚功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)两种状态力状态位移状态FPFP/2FP/2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（1）属同一体系；或两状态中的变形体系只要外形相同，而材料和截面尺寸可以不同。一些基本概念：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功功：力×力方向位移之总和广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项功：广义力×广义位移之总和虚功：广义力与广义位移无关时所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21变力功（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：二、变形杆件的虚功原理Σfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚功原理

去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：

对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力(主动力)所做虚功之和为零。FP-FPΔP+FB

ΔB=0ΔPΔB原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功δWe，恒等于变形体所接受的总虚变形功δWi。也即恒有如下虚功方程成立δWe=δWi（3）变形体的虚功原理变形体虚虚功原理理的证明明外力总虚虚功=各部分外外力总虚虚功的总总和变形体虚虚功原理理的证明明虚位移是是光滑、、连续的的，相邻邻分割面面虚位移相同同。计算各部部分外力力总虚功功有两种种方案方案一：外力力区分，虚位位移不区分各部分外力总总虚功总和=外荷载总虚功功δW=δWe分割面内力虚虚功相互抵消消各部分上的外外力区分为：：外荷载和分分割面内力两类，，相邻分割面面内力互为作作用与反作用关系。。虚位移区分分虚位移区分分变形体虚功原原理的证明变形体是平平衡的，其其各部分也也必然平衡衡。因此，各部部分上的外外力是平衡衡力系。方案二：各各部分外力力不区分，，虚位移区区分δW=δWi根据刚体虚虚位移原理理，外力在在刚体虚位位移上的总虚功功等于零。。因此各部分外力力总虚功=外力在变形形虚位移上上的总虚功功两方案计算算同一内容容，因此δWe=δWi各部分的虚虚位移区分分为：刚体体虚位移和和变形虚位移两两类。但必须注意，虚位移是是光滑连续的，可可刚体和变变形虚位移移在分割面面处一般是不光滑滑、连续的的。需要强调的的几个问题题原理的证明明表明，原原理适用于于任何力学行行为(线性和非线线性)的变形体，适用于任何结构。虚功原理里里存在两个个状态：力状态必须须满足平衡衡条件；位位移状态必必须满足协协调条件。。因此原理理仅是必要性命题题。由于外力在在变形虚位位移上所作作的功相对对分割面内内力的虚变变形功为高高阶小量，，因此许多多文献上称δWi为内力总虚虚功。原理可有两两种应用：：实际待分析析的平衡力力状态，虚虚设的协调调位移状态态，将平衡问题化化为几何问问题来求解解。需要强调的的几个问题题实际待分析析的协调位位移状态，，虚设的平平衡力状态态，将位移分析化化为平衡问问题来求解解。第一种应用用一些文献献称为“虚位移原原理”，而将第二二种应用称称为“虚力原理理”。更确切的说说法为，两种应用的的依据是上上述两原理理的必要性性命题。上述两原原理都是充充分、必要要性命题，，它们和虚功功原理是有有区别的。质点系是一个离散化体系，变形体是一个连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原理()“应用于变形体”是不妥当的。Σfiδri=0→→.当变形体为为杆件体系系时，如：：ABCDq(s)ijp(s)m(s)取任一单元δWe的计算:当无结点荷荷载时,δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds当有结点荷荷载时δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i结点荷载结点位移δWi的计算:微段拉伸微段剪切微段弯曲δWi=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds取微段,其受力如下下对于直杆体体系，由于于变形互不不耦连，所所以变形可看成成有如下几几部分微段受力微段扭转杆系结构虚虚功方程根据上述推推证，可得得杆系结构构虚功方程程如下δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi以上结论与与材料物理理性质及具具体结构无无关，因此此，虚功原原理虚功方方程既适用用于一切线线性结构，，也适用于于一切非线线性结构。希望能很好好理解，尽尽可能达到到掌握！三、虚功原原理的两种种应用1）虚功原理理用于虚设的协调位移状状态与实际的平衡力状态态之间。例.求A端的支座反反力(ReactionatSupport)。FPABaC(a)b解：去掉A端约束并代代以反力X，构造相应的的虚位移状状态如图(b)、(c)待分析平衡的力状态X(b)FP由外力虚功功总和为零零，即：(c)直线虚设协调的位移状态通常取单位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)对静定结构构，这里实实际用的是是刚体虚位位移原理，，实质上是是实际受力状状态的平衡衡方程，即几点说明：：(3)求解时关键键一步是找找出虚位移移状态的位位移关系。。(2)虚位移与实实际力状态态无关,故可设特点:用几何法来来解静力平平衡问题。例.求A端支座发生生竖向位移移c时引引起起C点的的竖竖向向位位移移.(a)ABaCbc2）虚虚功功原原理理用用于于虚设的平衡力状状态与实际的协调位移移状态之间。解：首先先构造出出相应的的虚设力力状态。。即，在在拟求位位移之点点（C点）沿拟拟求位移移方向（（竖向））设置单位荷载载。1ABC(b)由求得：虚功方程程为：这便是单位荷载载法(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故故也称为为Maxwell-MohrMethod几点说明明：(1)所建立的的虚功方程程,实质上是是几何方程程。(3)求解时关关键一步步是找出出虚力状状态的静静力平衡衡关系。。(2)虚设的力力状态与与实际位位移状态态无关，，故可设设单位广广义力P=1总的来讲讲，必须须非常清清楚的是是：单位位移法的虚功方程平衡方程特点:是用静力力平衡法法来解几几何问题题。单位荷载法的虚功方程几何方程返回首页页3单位荷载载法一、位移移计算的的一般公公式(GeneralFormulaofDisplacements)将虚功原原理用于于实际协调调位移和虚设平衡衡力状态态间已介绍过过——单位荷载载法。下面从虚虚功方程程入手，，讨论杆杆系结构构位移计计算的一一般公式式。杆系系结构虚虚功方程程为δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi设待求的的实际广广义位移为Δ设仅在广广义力P作用下，，与之平平衡的轴轴力、剪剪力、扭扭矩和弯弯矩分别别为FN、FQ、Mx和M。实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、FQ、Mx和M，与Δ对应的广义力为为P。又设与内内力FN、FQ、Mx和M对应的微微段实际际变形分分别为δε、δγ、δφ和δθ。若结构有有已知支支座位移移为ci实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、

FQ、Mx和Mδε、δγ、δφ和δθFRc，与其对应应的由广广义力P引起的支支座反力力为FRi则杆系结结构虚功功方程为为δWe=ΣFRici+PΔ=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi虚功方程等式两边同除广义力P，并记单位广义力(P/P=1)作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN、

FQ、Mx和M。单位广义力引起的，与已知位移对应的反力为FRi。则杆系结结构虚功功方程改改写为Δ=-ΣFRici+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds位移计算算的一般般公式一般公式式的普遍遍性表现现在：2.结构类型型：梁、、刚架、、桁架、、拱、组组合结构；静定定和超静静定结构构；1.位移原因因：荷载载、温度度改变、、支座移移动等；；3.材料性质质：线性性、非线线性；4.变形类型型：弯曲曲变形、、拉(压)变形、剪剪切变形、扭扭转变形形；5.位移种类类：线位位移、角角位移；；相对线线位移和相对角角位移。