量纲分析与相似理论课件

量纲分析与相似理论

流体力学1量纲分析与相似理论流体力学1量纲、量纲和谐性原理2量纲、量纲和谐性原理2量纲分析和相似原理，为科学地组织实验及整理实验成果提供了理论指导。对于复杂的流动问题，还可借助量纲分析和相似原理来建立物理量之间的联系。显然，量纲分析与相似原理是发展流体力学理论，解决实际工程问题的有力工具。3量纲分析和相似原理，为科学地组织实验及整理实验成果提供了理论

在工程界至今还有一些由实验和观测资料整理成的经验公式，不满足量纲和谐(既经验公式)。这种情况表明，人们对这一部分流动的认识尚不充分。这样的公式将逐步被修正或被正确完整的公式(即理论公式)所代替。由量纲和谐原理可引申出以下两点：

(1)凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无量项组成的无量纲方程。因为方程中各项的量纲相同，只需用其中的一项遍除各项。便得到一个由无量纲项组成的无量纲式，仍保持原方程的性质。

(2)量纲和谐原理规定了—个物理过程中有关物理量之间的关系。因为一个正确完整的物理方程中各物理量量纲之间的联系是确定的，按物理量量纲之间的这一确定性，就可建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析法就是根据这一原理发展起来的，它是本世纪初在力学上的重要发现之一。4在工程界至今还有一些由实验和观测资料整理成的经验公式什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？

5什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。6答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？

答：1.提出根据（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方法来表示。（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。

2.作用可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。

7量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？题目凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式中，谢齐系数C的量纲为，R的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。

8题目凡是正确反映客观规律的物理方程解：量纲和谐性原理是已被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。9解：量纲和谐性原理是已被无数事实证明的客观真理。因为只有两个瑞利法10瑞利法10题目试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。11题目试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g

有关，用函数关系式表示为解题步骤2.将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即121.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，3.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

L：2=a-3b+cT：-1=-2cM：0=ba=3/2b=0c=1/2

133.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲6.代入指数乘积式，得

其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验来确定。解题步骤即146.代入指数乘积式，得其中，k1为无量纲系数，即流瑞利法15瑞利法15题目求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H有关。16题目求水泵输出功率的表达式。已知水泵1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H

有关,用函数关系式表示为解题步骤2.将N写成γ，Q，H的指数乘积形式，即171.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，3.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

L：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-bM：1=aa=1b=1c=1

183.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲6.代入指数乘积式，得

其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。解题步骤196.代入指数乘积式，得其中，k为无量纲系数，通过实π定理20π定理20题目简述布金汉π定理的运用步骤？答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。

2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量相互独立。21题目简述布金汉π定理的运用步骤？答：13.确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达式。

解题步骤4.满足π为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各π项基本物理量的指数a、b、c。

5.写出描述现象的关系式。

223.确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达式。解题步在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。（2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。（3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。23在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理量

文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图所示，已知1-1断面和2-2断面之间的压强差△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度η

以及大小直径D1，D2变化。试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。文丘里流量计24文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的密度ρ，液体的粘度η

以及大小直径D1,D2有关，用函数关系式表示为：可以看出函数中的变量个数n＝6解题步骤251.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，解题步骤

选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1，运动学量Q以及动力学量ρ

。2.选取基本物理量量纲指数行列式由量纲公式：故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。26解题步骤

选取三个基本物理量，它们分别是几何学量解题步骤3.列出无量纲π值列出个无量纲的π值。其中为待定指数。27解题步骤3.列出无量纲π值列出4.根据量纲和谐性原理，确定各π项的指数对于π1，其量纲式为：所以：解题步骤284.根据量纲和谐性原理，确定各π项的指数对于π1，其量纲解题步骤对于π2，其量纲式为：对于π3

，其量纲式为：29解题步骤对于π2，其量纲式为：对于π3，其量纲式为：29解题步骤5.写出无量纲量方程

上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即：30解题步骤5.写出无量纲量方程上式中的数可根据需题目流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力的作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为l的断面间的压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用布金汉π定理求Δp

的一般表达式。

31题目流体在水平圆管中作恒定流动，管1.列出上述影响因素的函数关系式

解：解题步骤2.在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是321.列出上述影响因素的函数关系式解：解题步骤2.在函数解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。

33解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量解题步骤3.列出无量纲π值其中，为待定指数。34解题步骤3.列出无量纲π值其中，4.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1为例）

所以：解题步骤354.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1解题步骤同理可得5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以36解题步骤同理可得5.写出无量纲量方程，解题步骤求压差Δp时，以，代入，可得

令，最后可得沿程水头损失公式为

上式就是沿程损失的一般表达式。37解题步骤求压差Δp时，以题目试用瑞利法和π定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布金汉π定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径D、流体的流速V、流体的密度和流体的动力粘滞系数有关。38题目试用瑞利法和π定理（1.已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即解：一、瑞利法求解

解题步骤2.将阻力写成d，V，ρ，μ的指数乘积形式，即

3.写出量纲表达式

391.已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即解：一解题步骤

因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定，并用它表示其余的指数4.选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲5.由量纲和谐性原理，求各量纲的指数L：1=a+b-3c-eM：1=c+eT：-2=-b-ea=2-e，b=2-e，c=1-e40解题步骤

因为上面的三个方程式中有四个未知数解题步骤6.带入指数乘积式，得

即

如果令绕流阻力系数，l为圆柱长，则得阻力公式

其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数有关，最后由实验确定。41解题步骤6.带入指数乘积式，得即如果令绕1.根据题意，本题共有5个物理量，即n=5，这些物理量之间存在下述关系式解题步骤2.选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是二、π定理求解421.根据题意，本题共有5个物理量，即n=5，这些物理量解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出n－3＝5－3＝2个无量纲π项。

43解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量解题步骤3.列出无量纲π值其中，为待定指数。4.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下对于π1，其量纲式为44解题步骤3.列出无量纲π值其中，解题步骤对于π1，其量纲式为45解题步骤对于π1，其量纲式为45解题步骤5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以式中：，称为绕流阻力系数，与物体的形状和雷诺数有关，由实验确定。

由以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数n≤4~5个，而布金汉π定理是具有普遍性的方法。

46解题步骤5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，

式中无量纲项为阻力系数；为雷诺数。由上面分析可知，实验研究对光滑球形潜体的作用力，归结为实验测定阻力系数Cd与雷诺数Re的关系。这样一来，实施这项实验研究只需用一个球，在一个温度的水流中实验，通过改变水流速度，整理成不同Re和Cd的实验曲线，如图5—1所示。按式(5—4)及图5—1计算流体对光滑球形潜体的作用力，对不同尺寸的球和不同粘度的流体都是适用的。（5—4）

图5—1圆球阻力系数图47

（5—4）图5—1圆球阻力系数图47流体相似概念48流体相似概念48何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内容？

答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之间应互相平行，并保持一定的比例关系（指矢量与标量物理量的数值，如力的数值、时间与压强的数值等）。流体力学相似包括以下四个方面：

1.几何相似2.运动相似3.动力相似

4.初始条件和边界条件相似。

49何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内为什么每个相似准则都要表征惯性力？

答：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力（如重力、粘滞力、流体动压力、表面张力和弹性力）都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律。流动的变化就是惯性力与其它上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。50为什么每个相似准则都要表征惯性力？题目分别写出欧拉数与韦伯数的表达式，其各自的物理意义是什么？

欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。答：51题目分别写出欧拉数与韦伯数的表达式，列表各相似准则及其比尺52列表各相似准则及其比尺52题目原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？答：当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。因为：当重力相似时而粘滞力相似时可知速度比尺不同，也即不能同时满足两种相似。53题目原型和模型能否同时满解题步骤

若采用不同流体时，在理论上是可能的。因为：当重力相似时而粘滞力相似时联立以上两式，可得当时，能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则，但是在实际中是不可能的。

54解题步骤若采用不同流体时，在理论上是相似理论的应用55相似理论的应用55题目有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数

，管中通过油的流量

。现用10℃的水和管径dm=5cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。56题目有一直径d=50cm解：该管道模型的几何比尺为解题步骤所以模型管道的长度判别原型管道中的流态：57解：该管道模型的几何比尺为解题步骤所以模型管道的长度判别原型解题步骤所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量Qm

。

10℃水的运动粘滞系数为，模型运动粘滞系数比尺为流量比尺

故模型管道中的流量Qm

应为58解题步骤所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则题目渠道上设一平底单孔平板闸门泄流，上游水深H=3m，闸前水流行近流速V0=0.6m/s，闸孔宽度b=6m，下游为自由出流，闸门开度e=1.0m。今欲按长度比尺λl=10设计模型，来研究平板闸门的流量系数μ，试求：（1）模型的尺寸和闸前行进流速V0m；（2）如果在模型上测得某点的流量为Qm=81.5l/s，则原型上对应点的流量Q为多少？（3）闸门出流的流量系数μ为多少？

59题目渠道上设一平底单孔平解：（1）模型尺寸设计和闸前行近流速

解题步骤因为闸孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似准则设计模型。模型的长度比尺为λl=10，则模型中的尺寸为上游水深

闸孔宽度

闸门开度

60解：（1）模型尺寸设计和闸前行近流速解题步骤因为闸重力相似准则条件下的流速比尺

解题步骤所以

（2）原型流量Q的计算

重力相似准则条件下的流量比尺

即原型上的流量为61重力相似准则条件下的流速比尺解题步骤所以（2）原型流量解题步骤（3）计算流量系数μ

流量系数μ是常数，在原型和模型上都相同。根据平板闸门自由出流计算公式：

由于行近流速很小，可以忽略不计H0=H，自由出流。即平板闸门闸孔出流的流量系数为0.56。62解题步骤（3）计算流量系数μ流量系数μ是常数，在原题目设有油罐，直径d为4m，油温t为20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm/s，长度比λl采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。263题目设有油罐，直径d为4m，解：（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗汝德数。解题步骤（2）模型流体的选定64解：（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大由于运动粘度vm正好等于0.0925的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。现在选用20℃的59%的甘油溶液，它的运动粘度是0.0892，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。于是模型液体的运动粘度应为vm=0.089,而不再是0.0925了。

解题步骤65由于运动粘度vm正好等于0.0925解题步骤（3）模型流体选好后，由于所选择的vm不再等于0.0925，所以对长度比λl应进行修正

即长度比λl应为4.1，而不是4。因此模型油罐的直径为66解题步骤（3）模型流体选好后，由于所选择的vm解题步骤流速比λv按弗汝德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）可知模型油管内的流速大致为原型中的一半。

时间比λt按雷诺准则求得

加速度λa67解题步骤流速比λv按弗汝德准则求得（按雷诺准所谓物理模拟就是通过物理模型和借助必要的测试手段，对所研究体系的过程进行观察和显示。根据相似原理建立物理模型，用有机玻璃代替耐火材料制作反应器，用水代替钢水。这样在物理模型中可以对气泡的行为、循环流和熔池的混合等过程，甚至对升温过程的传热规律进行观测，从而获得从现场无法获取的信息。物理模拟中，由于可缩小装置的比例，使试验费用得以大大降低物理模拟所具有的作用可以概括如下：①物理模型中定量测定的结果可按一定关系，用于真实体系的描述，直接为优化工艺过程或为开发新流程提供依据。②帮助数学模拟研究人员正确了解所研究过程的物理特征，以正确处理数学模拟中的简化及源项和边界等条件的设定。③验证数学模拟的结果，使数学模型不断完善，使之尽可能逼真地描述真实体系。根据相似理论，如果现象满足相似第二定理，则由模型得到的规律可以推广到原型中去。然而实际过程比较复杂，不可能完全做到满足相似第二定理，一般考虑的是主要方面的相似。对于钢的精炼反应器来说，考虑的是几何相似和动力相似。68所谓物理模拟就是通过物理模型和借助必要的测试手段，对所研究体（1）几何相似几何相似考虑的是模型与原型主要尺寸的相似。研究钢水精炼反应器内过程的物理模型是水模型，即用有机玻璃制成模拟钢包，用自来水模拟钢水，几何相似主要是指Ｄ/H（钢包内径/熔池深度）相等。模型与原型相对应的尺寸可以有一定的比例，成为倍尺或尺寸比。在选定模型与原型的尺寸时，可以根据研究对象和实验条件考虑，一般研究钢水炉外精炼过程的水模型尺寸小于原型尺寸，即Dm小于Dp（下标ｍ和ｐ分别表示模型和实物）69（1）几何相似69相似准则70相似准则707171在水模型实验中我们用油层来模拟顶渣层，模型为油水分层的流体，我们可以用油来模拟渣，用水来模拟钢液，在模型底部喷入氮气，造成油层下水的循环流动，用以来模拟铁水包喷吹Mg时气液区顶部钢渣界面状态。渣钢界面流动状态，主要受到液体表面张力影响，除了应满足几何相似和动力学相似中的Fr准数外，还要保证动力学中的We准数相等，根据文献:72在水模型实验中我们用油层来模拟顶渣层，模型为油水分层的流体，73737474量纲分析与相似理论

流体力学75量纲分析与相似理论流体力学1量纲、量纲和谐性原理76量纲、量纲和谐性原理2量纲分析和相似原理，为科学地组织实验及整理实验成果提供了理论指导。对于复杂的流动问题，还可借助量纲分析和相似原理来建立物理量之间的联系。显然，量纲分析与相似原理是发展流体力学理论，解决实际工程问题的有力工具。77量纲分析和相似原理，为科学地组织实验及整理实验成果提供了理论

在工程界至今还有一些由实验和观测资料整理成的经验公式，不满足量纲和谐(既经验公式)。这种情况表明，人们对这一部分流动的认识尚不充分。这样的公式将逐步被修正或被正确完整的公式(即理论公式)所代替。由量纲和谐原理可引申出以下两点：

(1)凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无量项组成的无量纲方程。因为方程中各项的量纲相同，只需用其中的一项遍除各项。便得到一个由无量纲项组成的无量纲式，仍保持原方程的性质。

(2)量纲和谐原理规定了—个物理过程中有关物理量之间的关系。因为一个正确完整的物理方程中各物理量量纲之间的联系是确定的，按物理量量纲之间的这一确定性，就可建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析法就是根据这一原理发展起来的，它是本世纪初在力学上的重要发现之一。78在工程界至今还有一些由实验和观测资料整理成的经验公式什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？

79什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。80答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？

答：1.提出根据（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理方法来表示。（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。

2.作用可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。

81量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？题目凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式中，谢齐系数C的量纲为，R的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。

82题目凡是正确反映客观规律的物理方程解：量纲和谐性原理是已被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。83解：量纲和谐性原理是已被无数事实证明的客观真理。因为只有两个瑞利法84瑞利法10题目试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式。已知q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g有关。85题目试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q与堰顶水头H、水的密度ρ和重力加速度g

有关，用函数关系式表示为解题步骤2.将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即861.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，3.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

L：2=a-3b+cT：-1=-2cM：0=ba=3/2b=0c=1/2

873.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲6.代入指数乘积式，得

其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验来确定。解题步骤即886.代入指数乘积式，得其中，k1为无量纲系数，即流瑞利法89瑞利法15题目求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H有关。90题目求水泵输出功率的表达式。已知水泵1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，水泵的输出功率N与单位体积水的重量、流量Q、扬程H

有关,用函数关系式表示为解题步骤2.将N写成γ，Q，H的指数乘积形式，即911.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，3.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为5.由量纲和谐性原理求各量纲指数

L：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-bM：1=aa=1b=1c=1

923.写出量纲表达式解题步骤4.选L、T、M作为基本量纲6.代入指数乘积式，得

其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。解题步骤936.代入指数乘积式，得其中，k为无量纲系数，通过实π定理94π定理20题目简述布金汉π定理的运用步骤？答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。

2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量相互独立。95题目简述布金汉π定理的运用步骤？答：13.确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达式。

解题步骤4.满足π为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各π项基本物理量的指数a、b、c。

5.写出描述现象的关系式。

963.确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达式。解题步在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。（2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。（3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。97在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理量

文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图所示，已知1-1断面和2-2断面之间的压强差△p随流量Q，流体密度ρ，液体粘度η

以及大小直径D1，D2变化。试用π定律求出的压强降落△p表示的流量公式。文丘里流量计98文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图1.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的密度ρ，液体的粘度η

以及大小直径D1,D2有关，用函数关系式表示为：可以看出函数中的变量个数n＝6解题步骤991.分析影响因素，列出函数方程解：根据题意可知，解题步骤

选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1，运动学量Q以及动力学量ρ

。2.选取基本物理量量纲指数行列式由量纲公式：故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。100解题步骤

选取三个基本物理量，它们分别是几何学量解题步骤3.列出无量纲π值列出个无量纲的π值。其中为待定指数。101解题步骤3.列出无量纲π值列出4.根据量纲和谐性原理，确定各π项的指数对于π1，其量纲式为：所以：解题步骤1024.根据量纲和谐性原理，确定各π项的指数对于π1，其量纲解题步骤对于π2，其量纲式为：对于π3

，其量纲式为：103解题步骤对于π2，其量纲式为：对于π3，其量纲式为：29解题步骤5.写出无量纲量方程

上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即：104解题步骤5.写出无量纲量方程上式中的数可根据需题目流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力的作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为l的断面间的压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用布金汉π定理求Δp

的一般表达式。

105题目流体在水平圆管中作恒定流动，管1.列出上述影响因素的函数关系式

解：解题步骤2.在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是1061.列出上述影响因素的函数关系式解：解题步骤2.在函数解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。

107解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量解题步骤3.列出无量纲π值其中，为待定指数。108解题步骤3.列出无量纲π值其中，4.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1为例）

所以：解题步骤1094.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1解题步骤同理可得5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以110解题步骤同理可得5.写出无量纲量方程，解题步骤求压差Δp时，以，代入，可得

令，最后可得沿程水头损失公式为

上式就是沿程损失的一般表达式。111解题步骤求压差Δp时，以题目试用瑞利法和π定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布金汉π定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径D、流体的流速V、流体的密度和流体的动力粘滞系数有关。112题目试用瑞利法和π定理（1.已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即解：一、瑞利法求解

解题步骤2.将阻力写成d，V，ρ，μ的指数乘积形式，即

3.写出量纲表达式

1131.已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即解：一解题步骤

因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定，并用它表示其余的指数4.选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲5.由量纲和谐性原理，求各量纲的指数L：1=a+b-3c-eM：1=c+eT：-2=-b-ea=2-e，b=2-e，c=1-e114解题步骤

因为上面的三个方程式中有四个未知数解题步骤6.带入指数乘积式，得

即

如果令绕流阻力系数，l为圆柱长，则得阻力公式

其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数有关，最后由实验确定。115解题步骤6.带入指数乘积式，得即如果令绕1.根据题意，本题共有5个物理量，即n=5，这些物理量之间存在下述关系式解题步骤2.选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是二、π定理求解1161.根据题意，本题共有5个物理量，即n=5，这些物理量解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出n－3＝5－3＝2个无量纲π项。

117解题步骤

其量纲指数行列式为故说明基本物理量解题步骤3.列出无量纲π值其中，为待定指数。4.根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定如下对于π1，其量纲式为118解题步骤3.列出无量纲π值其中，解题步骤对于π1，其量纲式为119解题步骤对于π1，其量纲式为45解题步骤5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以式中：，称为绕流阻力系数，与物体的形状和雷诺数有关，由实验确定。

由以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数n≤4~5个，而布金汉π定理是具有普遍性的方法。

120解题步骤5.写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数，

式中无量纲项为阻力系数；为雷诺数。由上面分析可知，实验研究对光滑球形潜体的作用力，归结为实验测定阻力系数Cd与雷诺数Re的关系。这样一来，实施这项实验研究只需用一个球，在一个温度的水流中实验，通过改变水流速度，整理成不同Re和Cd的实验曲线，如图5—1所示。按式(5—4)及图5—1计算流体对光滑球形潜体的作用力，对不同尺寸的球和不同粘度的流体都是适用的。（5—4）

图5—1圆球阻力系数图121

（5—4）图5—1圆球阻力系数图47流体相似概念122流体相似概念48何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内容？

答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之间应互相平行，并保持一定的比例关系（指矢量与标量物理量的数值，如力的数值、时间与压强的数值等）。流体力学相似包括以下四个方面：

1.几何相似2.运动相似3.动力相似

4.初始条件和边界条件相似。

123何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内为什么每个相似准则都要表征惯性力？

答：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力（如重力、粘滞力、流体动压力、表面张力和弹性力）都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律。流动的变化就是惯性力与其它上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。124为什么每个相似准则都要表征惯性力？题目分别写出欧拉数与韦伯数的表达式，其各自的物理意义是什么？

欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。答：125题目分别写出欧拉数与韦伯数的表达式，列表各相似准则及其比尺126列表各相似准则及其比尺52题目原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？答：当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。因为：当重力相似时而粘滞力相似时可知速度比尺不同，也即不能同时满足两种相似。127题目原型和模型能否同时满解题步骤

若采用不同流体时，在理论上是可能的。因为：当重力相似时而粘滞力相似时联立以上两式，可得当时，能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则，但是在实际中是不可能的。

128解题步骤若采用不同流体时，在理论上是相似理论的应用129相似理论的应用55题目有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数

，管中通过油的流量

。现用10℃的水和管径dm=5cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。130题目有一直径d=50cm解：该管道模型的几何比尺为解题步骤所以模型管道的长度判别原型管道中的流态：131解：该管道模型的几何比尺为解题步骤所以模型管道的长度判别原型解题步骤所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量Qm

。

10℃水的运动粘滞系数为，模型运动粘滞系数比尺为流量比尺

故模型管道中的流量Qm

应为132解题步骤所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则题目渠道上设一平底单孔平板闸门泄流，上游水深H=3m，闸前水流行近流速V0=0.6m/s，闸孔宽度b=6m，下游为自由出流，闸门开度e=1.0m。今欲按长度比尺λl=10设计模型，来研究平板闸门的流量系数μ，试求：（1）模型的尺寸和闸前行进流速V0m；（2）如果在模型上测得某点的流量为Qm=81.5l/s，则原型上对应点的流量Q为多少？（3）闸门出流的流量系数μ为多少？

133题目渠道上设一平底单孔平解：（1）模型尺寸设计和闸前行近流速

解题步骤因为闸孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似准则设计模型。模型的长度比尺为λl=10，则模型中的尺寸为上游水深

闸孔宽度

闸门开度

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