新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》教学设计

新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案基本不等式授课方案案例教材人教版《一般高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题基本不等式授课种类新授课授课目的1、知识与技术认识基本不等式的推导过程，掌握基本不等式取等号的条件；能够初步运用基本不等式及其取等条件解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实责问题。2、过程与方法经过公式推导过程的授课，培养学生观察、猜想、归纳的思想能力，使学生领悟数形结合的思想方法，并引导学生从不相同角度讲解基本不等式。3、感神态度与价值观经过基本不等式的推导，培养学生严实的逻辑推理能力，经过运用基本不等式，使学生领悟数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。授课重、难点重点：基本不等式的推导以及其取等的条件，运用基本不不等式解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实责问题。1/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案难点：用数形结合思想理解不等式，并从不相同角度讲解基本不等式。课前准备多媒体课件的制作授课过程设计一、课题导入观察图片，找关系师：同学们，现在开始上课，第一我想请大家欣赏一张图片。（稍有逗留）请问有谁见过这张图片吗？生：师：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色明暗使它看起来像一个风车，代表中国人民热情好客。（稍作逗留）观察图片，能从中找出一些相等也许不相等的关系吗？生：图片中四个直角三角形的面积之和小于大正方形的面积。2/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案师：特别好，那么可否存在其他的状况，比方说等于呢？生：师：让我们带着问题一起进入今天的新课学习—基本不等式（设计妄图：让学生观察图形，从图形中抽象出不等关系，并提出问题，激发学生的习兴趣，引入学习课题。）二、基本不等式推导过程及其理解1、公式推导师：将图1的“风车”抽象成如图2的正方形中有四个全等的直角三角形。师：若是我们设直角三角形的边长分别为a，b，那么正方形的边长为a2b2，于是正方形的面积为a2b2，四个直角三角形的面积之和为a2b2依照前面的谈论，我们有a2b2>a2b2。那么这个关系是否恒成立的呢？生：还能够够取等。3/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案师：那么在什么状况下取等呢？生：师：观察图形，我们发现点H是在以AB为直径的半圆周上运动的，那么在点H运动的过程中可否是就像同学们所说的相同能够取等呢？接下来就让我们一起来看一下。（显现动画过程）师：以下列图，a=AH，b=BH，我们分别求出大正方形四以及个直角三角形的面积之和，为了方便比较大小，我们将二者作差。现在我们就让点H动起来。师：同学们有什么发现吗？生：当点H运动到正方形的中心时，能够取等。师：也就是说当直角三角形变为等腰直角三角形时，也即a=b时，等号是成立的。进而我们得出这样的关系a2b22ab。师：那么这个关系对于任意的实数也都成立吗？生：成立。师：你能证明你的结论吗？生：师：我们一起来解析一下，要证明a2b22ab，我们需要证明a2b22ab0，依照完好平方公式，这个关系显然是成立的。4/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案（设计妄图：对图形进行进一步解析，并经过动画显现，使学生直观感觉变化过程，将前面的不等关系完满，引导学生将这个关系推广到实数中去，在培养学生逻辑推理能力的同时向学生浸透数形结合的思想方法。）2、对公式的理解师：依照前面的谈论，我们得出以下结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2b22ab当且仅当a=b时，等号成立。特别地，若是a>0，b>0，我们用a，b分别代替a、b，可得ab2ab平时我们把上式写作abab2师：我们常把ab叫做正数a、b的几何平均数，把ab叫做正数a、2的算术平均数。于是我们能够这样理解我们的基本不等式：两个正数的几何平均数不小于它们的算术平均数。（稍有逗留）前面所学的知识，你还能够怎样理解基本不等式？生：5/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案ab师：我们发现ab恰好是正数a、b的等比中项，而恰好是正2数a、b的等差中项，进而我们还能够够这样理解：两个正数的等比中项不小于它们的等差中项。（设计妄图：总结前面谈论所得的结论，并对结论进行拓展，引导学生发现几何平均数和算术平均数，注意从不相同的角度讲解基本不等式，加深对公式的记忆。）三，基本不等式的运用师：经过前面的学习，相信大家对基本不等式已经有了必然的认识，现在我们就一起来运用基本不等式解决一些简单的问题。例1、x>0，当x取什么值时，x1的值最小？最小值是多少？（展x示PPT）师：请同学们先自己思虑一下第一题。（逗留一分钟）师：有没有同学得出答案？生：最小值为2.师：特别好，现在我们一起来解析一下这道题，x，则1x

是大于0的，依照基本不等式就有1212，取等条件为x1xx，即x=1，xxx吻合题意，因此最小值为2。请同学们看详细的解答过程（显现PPT）6/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案解答过程：解：x>0则1>0，依照基本不等式有xx12x12xx1当且仅当xx

，即x=1时，等号成立。因此当x=1时，最大值为2。（设计妄图：运用基本不等式解决简单函数的最值问题，加深学生对基本不等式取等条件的记忆，同时让学生领悟基本不等式的运用价值）例2、用篱笆围住一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短篱笆是多少？（显现PPT）师：请同学们先自己做一下。（逗留一分钟）师：有没有同学做出来？生：最短篱笆为40m。师：特别好，我们一起来解析一下，若是我们设矩形菜园的长为x，宽为y，那么依照题意就有xy=100，我们需要求的是2（x+y）。根xy据今天我们所学的基本不等式就有xy10010，也就是2xy20，进而2(xy)40，当xy10时取等。请同学们看详细7/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案的解答过程（显现PPT）。解答过程：解：设矩形菜园的长为x，宽为y，则xy=100，篱笆的长为2（x+y），由基本不等式可得xyxy10010，即2(xy)402当且仅当xy10时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短篱笆为40m。例3、一段长为36m的篱笆围成宇哥矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？（显现PPT）师：请同学们先自己做一下。（逗留一分钟）师：请***同学起来回答一下你的答案。生：最大面积是81m2。师：特别好，请坐下。我们一起来解析一下。设矩形菜园的长为x，宽为y，那么依照题意就有2（x+y）=36，即（x+y）=18，我们需要求的是xy的最大值，依照基本不等式就有xyxy189，22即xy81，当xy9时取等，请同学们看详细的解答过程（显现PPT）。解答过程：8/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案解：设矩形菜园的长为x，宽为y，则2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy，由基本不等式可得xyxy189，即xy8122当且仅当xy10时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为10m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2。师：做了第2、3题你有什么发现吗？生：师：对于第2题，xy的值是必然的，而我们求得（x+y）有最小值，对于第3题，（x+y）的值是必然的，我们求得xy有最大值。再观察我们的基本不等式，能够发现，当两个正数的积一准时，和有最小值；和一准时，积有最大值。于是我们得出这样一个结论：任意两个正数，积必然，和有最小值；和必然，积有最大值。（设计妄图：运用基本不等式解决实责问题，加深学生对基本不等式的理解，实现积与和的转变，培养学生的发散思想；同时使学生领悟到基本不等式在实质生活中运用价值。）四：课堂小结师：现在我们来总结一下本节课所学习的知识是：第一我们依照第届国际数学家大会的会标得出一个不等关系，进而将其实行到任9/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》授课方案意实数，获取不等式a2b22ab，对a、b的特别状况进行谈论得ab到基本不等式ab，尔后从两个不相同的角度理解基本不等2式，最后经过例题进一步理解基本不等式得出结论：任意两个正数，积必然，和有最小值；和必然，积有最大值。（显现PPT）。（设计妄图：对本节课整个过程进行梳理，帮助学生理解记忆的同时，让学生领悟数学思想方法）五、课后练习师：请同学们下课后复习今天所学的新知识，并完成习题的1、2、题，本节课到此结束。（设计妄图：对本节课的内容进行牢固，在学生独自完成作业的过程中，培养学生独立解决问题的能力）六、板书设计主板书：