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文档简介

矩阵相似与特征值练习一、填空与选择1.若可逆矩阵P使AP=PB，B=，则方阵A的特征多项式为 2.设A是3阶方阵，EA、2EA、A+3E都不可逆，则A与对角阵 相似(其中E是3阶单位矩阵)3.设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为，则行列式4.已知向量=是矩阵A=的特征向量，则参数a= ，相应的特征值等于 5.假设矩阵A=，则在实矩阵B=、C=、D=、E=、F=中，与A相抵的有 ；与A相似的有 ；与A相合的有 6.若3是n阶矩阵A的一个特征值，行列式|A|=2，则A的伴随矩阵A*的一个特征值为7.设方阵A与B相似，则必有（ ）(A) (B)A与B有相同的特征值与特征向量(C)A与B都与同一个对角阵相似 (D)对任意的常数t，都相似8.设A是n阶实对称矩阵，P可逆矩阵，是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于的特征向量是（ ）(A) (B) (C) (D)9.设矩阵A相似于矩阵，则10.设1和2是实对称矩阵A的两个特征值，是对应特征值1的一个单位特征向量，则有两个特征值为 二、计算与证明1.设实对称矩阵A=与B=相似。(1)求参数k,l的值;（2）求一正交阵Q,使得QTAQ=B.2.已知3×3矩阵A=有一个二重特征值。(1)试求参数a的值，并讨论矩阵A是否相似于对角阵；(2)如果A相似于对角阵，求出相应的相似变换矩阵P。3.已知向量是矩阵的逆矩阵的一个特征向量。求常数k及向量所对应的的特征值。4.设矩阵，若已知A有3个线性无关的特征向量，是A的二重特征值。(1)求常数x与y；(2)求可逆矩阵P，使为对角矩阵。5.若2阶矩阵A的行列式|A|<0。证明：A一定相似于对角阵。6.已知n阶方阵A相似于对角阵,并且A的特征向量均是矩阵B的特征向量。证明：AB=BA。7.设n阶矩阵A、B满足。证明：矩阵A与B有相同的一个特征值与特征向量。8.设是m阶矩阵的特征值。证明：也是n阶矩阵的特征值。9.设方阵的每行元素的和都等于常数a。(1)证明：a是矩阵A的一个特征值；(2)求a对应的特征向量；(3)如果A可逆，试求的每行元素的和。10.设A是n阶实反对称矩阵。(1)证明：与均可逆；(2)如果是A的特征值，则也是A的特征值。11.设n阶矩阵A的元素全是1，求矩阵A的所有特征值和相应的特征向量。12.设是3维非零实列向量，||||=，又A=T。(1)求A的秩；(2)求A的全部特征值；(3)问A是否与对角阵相似?

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