2023届福建省三明市永安第三中学高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（）A．1 B． C．2 D．2．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A． B． C． D．43．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE,BF所成的角为定值4．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．6．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．57．复数的虚部为（）A． B． C．2 D．8．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．10．已知平面向量，，，则实数x的值等于（）A．6 B．1 C． D．11．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：①在上单调递增；②③在上没有零点；④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④12．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，则满足的的取值范围为________.14．已知随机变量服从正态分布，若，则_________.15．根据如图的算法，输出的结果是_________.16．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）的内角，，的对边分别为，,已知，.（1）求；（2）若的面积，求.18．（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．19．（12分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.20．（12分）设等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和及使得最小的的值.21．（12分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.22．（10分）是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】

根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.【题目详解】长方体中，，点T在棱上，若平面.则，则，所以，则，所以，故选：D.【答案点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.2．D【答案解析】

如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.【题目详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，当，即时等号成立.故选：.【答案点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．D【答案解析】

A．通过线面的垂直关系可证真假；B．根据线面平行可证真假；C．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D．根据列举特殊情况可证真假.【题目详解】A．因为，所以平面，又因为平面，所以，故正确；B．因为，所以，且平面，平面，所以平面，故正确；C．因为为定值，到平面的距离为，所以为定值，故正确；D．当，，取为，如下图所示：因为，所以异面直线所成角为，且，当，，取为，如下图所示：因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.故选：D.【答案点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.4．D【答案解析】

设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【题目详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D【答案点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法5．B【答案解析】

根据函数单调性逐项判断即可【题目详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确对C,因为y＝xc为增函数,故，错误；对D,因为在为减函数，故，错误故选B．【答案点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．6．D【答案解析】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.7．D【答案解析】

根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部.【题目详解】解：=，故虚部为-2.故选：D.【答案点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.8．C【答案解析】

依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，再根据三角函数的平移规则计算可得；【题目详解】解：由已知得，是的一条对称轴，且使取得最值，则，，，，故选：C.【答案点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.9．C【答案解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【题目详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【答案点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.10．A【答案解析】

根据向量平行的坐标表示即可求解.【题目详解】，，，，即，故选：A【答案点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.11．A【答案解析】

先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.【题目详解】因为函数在区间内没有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上单调递减.当时，，且，所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选：A.【答案点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．A【答案解析】

函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．【题目详解】由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，即，所以或．因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．故选：A．【答案点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.【题目详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，需满足，且，解得.故答案为：.【答案点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.14．0.4【答案解析】

因为随机变量ζ服从正态分布,利用正态曲线的对称性，即得解.【题目详解】因为随机变量ζ服从正态分布所以正态曲线关于对称，所.【答案点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.15．55【答案解析】

根据该For语句的功能，可得，可得结果【题目详解】根据该For语句的功能，可得则故答案为：55【答案点睛】本题考查For语句的功能，属基础题.16．【答案解析】

易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解．【题目详解】，设，，令，当时，，所以单调递减令，当时，，所以单调递增所以当时，，，则则，即故答案为：.【答案点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【答案解析】

试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得，利用正弦定理即可求出.试题解析：（1）由，得，∴.∵，∴.由，得，∴.∴.（2）由（1），得.由及题设条件，得，∴.由，得，∴，∴.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18．（1）证明见解析（2）（3）【答案解析】

（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；（3）设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【题目详解】（1）证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,因为在棱上,可设,所以,设平面的法向量为,因为,所以,即,令,可得,即,设直线与平面所成角为,所以,可知当时,取最大值.（3）设,则有,得,设,那么,所以,所以.因为,,所以.又因为,所以,,设平面的法向量为,则,即,,可得,即因为在平面内,所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【答案点睛】本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.19．（1）（2）见解析，最小值为4【答案解析】

（1）根据焦点到直线的距离列方程，求得的值，由此求得抛物线的方程.（2）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.【题目详解】（1）依题意，解得（负根舍去）∴抛物线的方程为（2）设点，由，即，得∴抛物线在点处的切线的方程为，即∵，∴∵点在切线上，①，同理，②综合①、②得，点的坐标都满足方程.即直线恒过抛物线焦点当时，此时，可知：当，此时直线直线的斜率为，得于是，而把直线代入中消去得，即：当时，最小，且最小值为4【答案点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.20．（1）（2）；时，取得最小值【答案解析