第42讲空间几何体的表面积与体积学生版备战2021年新高考数学微专题讲义

第42讲：空间几何体的表面积与体积一、课程标准.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构..知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题二、基础知识回顾知识梳理.空间几何体(1)多面体①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥.如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥.③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥.底面与截面之间的部分，叫棱台.棱台的各侧棱延长后交于一点.(2)旋转体①旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面.②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体.③圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.④圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台.(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥.底面与截面之间的部分，叫做圆台.)圆台的母线延长后交于一点.⑥球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球.经过球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离..柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧=2nrhV=Sh=nr2h圆锥S =nrl侧一111 1——V=3Sh=3nr2h=3nr2^l2—r2圆台S侧=兀⑵十马）V=1（S上+S下+，下）h=3n（q+g+qrjh直棱柱S=Ch侧V=Sh续表面积体积正棱锥1S=2Ch'侧1V=3Sh正棱台1S=2（C+C，）h，侧V=3（S上+S下+A^）h球S =4nR2球面4V=3兀R3.几何体的表面积（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环：它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.三、自主热身、归纳总结1、已知圆锥的表面积等于12ncm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（ ）3A.1cm B.2cm C.3cm D.2cm2、正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积（）32A.32B.48C.64D.了3、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84n，则圆台较小底面的半径为（）A.6 B.7C.8 D.94、如图，在正三棱柱ABCA]B1cl中，已知AB=AA1=3,点P在棱Cg上，则三棱锥PABA1的体积为.5、如图，在正三棱柱ABCA1B1cl中，若各棱长均为2,且M为A1C1的中点，则三棱锥MAB1c的体积为工亡 工亡 已臼四、例题选讲考点一空间几何体的的表面积例1、（南京师大附中2020届高三模拟）在梯形ABCD中，/ABC=2,AD//BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A.4n B.（4+>.12）n C.6nD.（5+、・.；2）n变式1、（1）正六棱柱的底面边长为4高为6则它的外接球（正六棱柱的顶点都在此球面上）的表面积为（2）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为一.变式2、（1）（2019也川泸州一诊）在梯形ABCD中，NABC=2,AD/BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCDB.(4+也)nD.(3+；；2)n绕B.(4+也)nD.(3+；；2)nA.(5+\,'2)nC.(5+2-..；'2)n（2）（2020•河南周口模拟）如图，在三棱柱ABCA1B1cl中，AA1，底面ABC,AB±BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为（）A.4+4爪 B.4+4-..,'3C.12 D.8+4应变式3、（1）（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、s2,则有"：S2（2）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4.若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为.方法总结：几何体的表面积的求法（1）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点.（2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.考点二空间几何体的体积例2（1）直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点则三棱锥A1-B1C1E的体积为.（2）在^ABC中，AB=2，BC=1.5，NABC=120°（如图所示），若将^ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）9兀 7n 5n 3nA.5B.22C.昼D.y（3）（2019•江苏南通联考）已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上，则三棱锥DBB1C1的体积为.

变式1、（1）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三阶段测试）如图正四棱柱ABCD—A1BC1D1的体积为27,点E，F分别为棱B1B,C1c上的点（异于端点）且EF//BC，则四棱锥A1—AEFD的体积（2）（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三9月月考）已知长方体ABCD—A1B1clD的体积为72，则三棱锥A1—BCD的体积为.方法总结：本题考查空间几何体的体积运算.应注意：（1）若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.（2）若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.考点三与球有关的切、接问题例1、（2017•江苏高考）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆工,一柱O1O2的体积为VI，球O的体积为V2，则V2的值是.（2）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径a为R，贝云=.变式1、（甘肃兰州一中2019届高三调研）把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（）A.10-J3cmB.10cmC.10\'2cm D.30cm变式2、（陕西工业大学附中2019届高三模拟）（1）如图，在圆柱OO2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱01O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V的值是.KJ一-1\（2）已知正三棱锥的高为1,底面边长为2、.「，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为变式3、（1）已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB±AC,AA]=12,则球O的半径为（ ）3\；记 L 13 -A.2B.2\：10C.TD.3-.J10（2）已知A,B,C是球O的球面上三点，且AB=AC=3,BC=3\'3,D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥DABC体积的最大值.方法总结：解决与球相关的切、接问题的解题要领：（1）球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.（2）把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.五、优化提升与真题演练1、（2020年全国1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.%,15-14\5—1B. A.%,15-14\5—1B. D.<5+1

22、（2020年全国1卷）已知4B,C为球O的球面上的三个点，。O1为ABC的外接圆，若。O1的面积为4兀,AB=BC=AC=OOy则球O的表面积为（）AA.64兀 B.48兀 C.36兀 D.32兀3、（2020年全国2卷）.已知&5。是面积为9旦的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表4面积为16n，则O到平面ABC的距离为（）A.<7 B.2 C.1 D.:4、（2020届江苏省七市第二次调研考试）如图，在体积为V的圆柱^^中，以线段OO2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为E，匕，则与匕的值是.2 V5、（江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末）在正三棱柱ABC-A1B1cl中，AA】=AB=2,则三枝锥A1-BB1cl的体积为.6、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）现有一个半径为3cm的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为3cm的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为—cm.7.（2019年高考天津卷）已知四