空间杆件结构的有限单元法

第二章空间杆件结构的有限单元法

第一节局部坐标系下的单元分析图2-1所示为空间刚架中的仁一杆件单元。选取局部坐标系时，去形心轴为x轴，哼截面的主轴分别为坐标系的歹轴和截面的主轴分别为坐标系的歹轴和之轴。X、歹、之轴的方向按右手定则确定。这样，单元空间刚架单元的两端分别与结点I和j相联结。每一个结点有六各界点位移分量和六个结点力分量。在局部坐标系下空间杆件的杆端位移列阵3。和杆端力列阵Fe分别为Oe=UiOe=Ui-r_Fe=XivwS 0" 0" uiixiyizijYZMMMiixiyizivjXjwjYj0 0 0】xjzjzjZ MM M】j xj yj zj其中u为轴向位移，v、w为横向位移，［为杆件的扭转角，0y、0z分别为绕其中u为轴向位移，z轴弯曲时的转角；X为杆件单元的轴力，y、z分别为沿y轴和z轴作用的剪力，M、M、M为作用在杆端的力偶矩。这里力偶矩和角位移的指向按照右手定则用双箭头X y z表示；力和线位移的指向用单箭头表示。图2-1中所示的杆端力和杆端位移为正方向。与平面单元的推导方法一样，首先求出当杆端位移Oe中的一个分量为1,而其余分量均为零时的杆端力。图2-2所示为当单元Q的i端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。图中未绘出的杆端力和杆端位移分量，在该情况下数值为零。

一EA012EI00006EIEea:l012EI00006EI-10z000z00z000zr-1X13121312u_112EI6EI12EI6EIiY00 y-0y0；00y0y0Vi13121312iZGJGJwi00000:00000illM6EI4EI6EI2EI000--0 y0:00 0 A0xlM12l12l0yi6EI4EI6EI2EI_*.M0z000z:0z000z0 zi.…………l2l:l2l…zi.EA；EAX0000000000u_jllljY12EI6EI12EI6EIVJ0- z000一 z-0z000一 zjZ13121312wj12EI6EI12EI6EIj—00 0 0:00 0 0nM131213120.xjGJGJ一M00000；000000yjllyjM6EI2EI6EI4EI0zjJ00—— y-0 y-0:00 y-0 y-0zj12l12l6EI2EI6EI4EI0z000z:0一z000z12l12l」依同样方法可以确定当单元j依同样方法可以确定当单元j端发生单位位移时，杆端力与杆端位移之间的关系。当单元的杆端位移分量为任意值时，可以写出空间单元刚度方程，以矩阵表示为（2-1）式（2-1）可以简写为（2-2）Fe=ke5e（2-2）其中单元刚度矩阵为

EA0000EA1000001012EI6EI12EI6EI00000000zzzz1312131212EI6EI12EI6EI00000000JJJ13121312GJGJ0000000000116EI4EI6EI2EI000 y-000 y-0 J0y1211216EI4EI6EI2EI0z000z0z000z121121EAEA- 00000000001112EI6EI12EI6EI00000000zzzz1312131212EI6EI12EI6EI0000000 y-0y13121312GJGJ0000000000116EI2EI6EI4EI000 十000 y-0 十0一y1211216EI2EI6EI4EI00000000zzzz121121(2-3)式(2-3)为局部坐标系中的空间单元刚度矩阵。它是12阶方阵，其性质也与平面结构的相同。第二节空间单元坐标变换将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵，是通过坐标转换矩阵完成的。首先考虑单元0在端点i的三个杆端力分量，在局部坐标系了形中，它们是X、Y、Z；在整体坐标系xyz中，是X、Y、Z与Xi、Y、Zi之间的关系。设亍轴与x、y、z轴的夹角分别为xx、孙、xz(图2-3),则无轴在xyz坐标系中的方向余弦为1-=cos(x,x)1-=cos(x,y)1-=cos(x,z)将杆端力X、Y、Zi在x轴上头英，可求得杆端力X=X\"+同理可得

=公+z屋Z=Xl-+Yl-y+Zl-综合上三式一X一i综合上三式一X一i工iil.iyl「iz一X一,Y=l-l_l-YiyiyyyziZl</—l.l</—Z-i-Lzizyzzi」(2-4)这就是在端点i由整体坐标系中的杆端力X?Y、Z,推算局部坐标系中杆端力X、Y、Z的转换关系式。其中两坐标系的转换矩阵（简称“关系矩阵”）为iii7ll-iiiyizt=ilI(2-5)yiyyyzl一l.l_zizyzz参照上述方法，同样可以推出以Mi、My、M表示Mx、M.^>Mzj,以X、Y^、Zj表示Xj、Y、Zj,以Mij、Mj、M产示Mi、MjMj的表达式，其转换矩阵也是t。综合以上分析，整体坐标系中的单元杆端力分量列阵F⑥与局部坐标系中单元杆端力分量列阵Fe之间的关系，可用下时表达FeFe=TeFe(2-6)同理，可导出整体坐标系与局部坐标系杆端位移之间的转换关系(2-7)在以上两式中t0；00Te(2-8)Te(2-8)t00t称为“单元坐标转换矩阵”它是12X12阶矩阵，是一个正交矩阵，故有Te-1=TeT (2-9)在平面结构中，确定了单元的两个结点i和j的坐标，就确定了杆剪的位置。在空间结构中，仅仅确定两个端点的坐标还不能完全确定刚架杆件在空间的位置，因为相同的ij杆，其截面形心主轴认可由不同的方向。为确定刚架杆件在空间的确切位置，还需要在杆轴

线外在取一点k,以确定其形心主轴的方向。取结构的整体坐标系为xyz，单元局部坐标系为xyz，Oy为杆件截面形心主轴之一，如图2-4所示。单元的位置由i、j、k三个点的坐标决定。这里i为单元起始结点号，j为单元终点号，由i、j两点可确定Ox的方向。K点在单元所在的xOy平面内，但又不在X轴上，如果刚架上找不到合适的点，可用一个假想的点代替。以i、j、k三点在整体坐标系xyz中的坐标分别为（xry「zj、酩、y.>z?、（xk、yk、zk），那么如何根据这三个点的坐标值来确定坐标系的关系矩阵；中的九个元素呢？t中的第一行元素较容易确定。如图2-4可得l-XXl-xyyl-xyyj-y.Jl1(2-10)其中l为杆长，可按下式求得l_其中l为杆长，可按下式求得l_xz：'(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2（2-11）设i设i、j、k分别为三个坐标轴方向的单位矢量OX轴矢量x可表示为（2-12）因为Oz轴的矢量z与平面ijk垂直，所以有z=(ik)x(z=(ik)x(jk)=x一xy-yz-zkikik ix一xy-xz-zkjkjkj丁「i（2-13）为后面的运算方便，可设YZ=zk-Ziyk-y,x-xZX=-XY=x-xXY=x-xxk-xizk-z,yk-y.yk-y.则有Z=YZ^-ZX*XYk则有Oz轴的方向余弦为

L「YZ〃2l=ZX/1>1_=XY/1,式中 必12二V(YZ)2+(ZX)2+(XY)2 (2-16)由于Oy轴与Ox轴垂直，Oy轴与Oz轴垂直，且Oy的方向余弦之和等于1,于是有y•(xxik)=0

12+12+12=1以上三式可组成联立方程TOC\o"1-5"\h\z‘yx'xx+Iyylxy W”（2-20）（2-20）4x l~Xy 'x =°>XTi yk- y.鼠一yx+12yy+12yz=1解式(2-20)的联立方程，可得(2-21)式中S=(1-12)(x—x)—11(y—y)—11(z—z)xxkixxxykixxxzkiS2="Zx(xk-x}+(j"(了「>一七上(T"S=-1-1-(x-x)-1-1-(y-y)+(1-12)(z一z)xzxxkixxxyki xzki=、S21+S22+S23由式(2-10)、式(2-15)和式(2-21)便可确定坐标关系矩阵t。将式(2-6)和式(2-7)代入式(2-2)，化简整理后，可得空间刚架杆件单元整体坐标系中的单元刚度方程Fe=TeTkeT5e (2-22)Fe=ke5eke=TeTFe=ke5e（2-24）ke为空间单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。式（2-23）为两种坐标系的单元刚

度矩阵的转换关系式。式（2-24）和式（2-23）在形式上与平面结构的公式一样。第三节空间刚架分析举例空间刚架整体刚度矩阵K的形成、结点荷载列阵的形成和支承条件的引入，均与平面刚架的处理方法相同。例2-1试求图2-5a所示空间刚架B结点的位移及各杆内力。设各杆的材料和几何性质相同。E=2.1x102GPa,G=9x104GPa,A=0.005m2,l=2.3m,J=2.6x10-5m4,I=1.2I=1.2x10-5m4,1=3.0x10-5m4,P=10kN,q=15kN/m.（矩形截面梁在扭转时将发生翘曲。本题中杆件为实体截面，约束所引起的附加正应力已略去，J为“相当极惯性矩”。）解：（1）确定结点，划分单元，建立坐标系。括号内数字为结点位移编号，见（图2-5b）。（2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵keEA一二EA一二4.375x105kN/m,lEI=2.52x103kN•m,2EI =2.1x103kN•m,l2EI z-5.25x103kN•m,l6EI一-2.625x103kN,1212EI-2.1875x103kN/m,13GJ--9.75x102kN•mlEI-6.3x103kN•m24EI -4.2x103kN•ml4EI—z-1.05x104kN•ml丝L-6.5626x103kN12EI z-5.4688x103kN/m将以上数据代入式（2-3），得局部坐标系中的单元刚度矩阵-43750000000—43750000000-0546900065620—546900065620021880-2625000—21880-2625000097500000—9550000-2625042000002625000k1=0………6562000105000—6562000―0——43750000000437500000000—5469000—656205469000—656200—2188026250002188026250000—975000009750000-2625021000002625042000_0656200052500—656200010500_k2=k1（3）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵单元①：k单元①：k1=k1单元②：先形成关系矩阵t和单元坐标转换矩阵T,见式（2-5）和式（2-8）。根据单元②的局部坐标系与整体坐标系之间的关系（图2-6），可得「0011t=010单元坐标转换矩阵为

一00-10001000000一010000:000000100000:00000000000-1：000000000010:000000T=000100:000000000000:00-1000000000:010000000000；100000000000:00000-1000000:000010_000000:000100_根据单元刚度矩阵的转换关系ke=TeTkeTe可求得整体坐标系中单元②的单元刚度矩阵-2188000-26250：-2188000-26250]0546906562000-546906562000043750000000-43750000006562010500000-65620000-262500042000;2625000210000000097500000-975k2= ： -218800026250:2188000262500-54690-656200054690-65620000-437500000004375000000656205250000-656201050000-262500021000:262500042000_00000-97500000975_（4）根据直接刚度法组集整体刚度矩阵。以下所列为以子块表示的整体刚度矩阵，各子块中的元素由匕和k2中的元素组成。k1k1iiijK=k1k1+k2k2Jijjiij0k2k3ji jj（5）引入支承条件，修改整体刚度矩阵K，可得修改后的整体刚度矩阵

439687000-26250010937065620-6562004396870262500656201147500-2625026250840000-656200011475KF（6）组集结点荷载列阵P0,并引入支承条件，求自由结点荷载列阵PF。单元①r单元②的固端力分别为Fi=l050003：05000-31F2=b180007.21018000-7.21f '单元①、单元②的等效结点荷载Pe=—TeTFe-5000310-180007.2I-230-7.2-5000310-180007.2I-230-7.203i0-1807.