考研数学高等数学分阶精讲精练讲义

考研数学高等数学分阶精讲精练讲义三、：微

方程

积 分

学

第一章函数极限连续§1.1一、考纲要求二、考点精讲1、定义：称f：DR为一个函数（其中DRn②当n2DN2、函数的二要素：D（Df；②对应法则注1：定义域是集合，不要写成不等式（最好将其写成区间或区间的并注2：二要素的用途：①函数与符号无关：②用于判断两个函数是否为同一3、1yf2F（x，yyf注1：相关结论（隐函数存在定理：F(x,y)P0(x0y0的某邻域内具f(x0y00Fyx0y00F(x，y)0P0的某领域内恒能确定唯一的一个具有连续导数（或偏导数）yf(Xy0f(x0注2：相关方法（隐函数求导法：在等式两边求导数（或偏导数3yf(uu(x)yf注：DfR，具体判断时，可以将u(xyf(uyf((x再看其定义域是否为空集。若空，则不4、反函数：yf(x的 （即yf(x)xf1(y)yf1(x)相关结论（反函数存在定理：yf(x连续，单增（减，则其反函数存在，且连yf(x与反函数yf1(xxoyyxt5f(xlimF（x,t（x有关而与t无关。t6yfDf'Df（在做题过程中，一定要注意避免导函数定义域的扩大7、变限积分函数：

(

f(t)dt；

2((1

f(x,x相关结论：①若f(x)在[a,b]上可积，则a f(t)dt在[a,b]上连续；②若在[a,b]连续，则F(x)xf(t)dt在区间[a,b]中可导，且dxf(t)dtf(x)x dx（f(txf(t连续推论f(x在[ab上连续，(x)在[ab可导，则dx)f(t)dtf((x))dxx8、参数方程y

,（t为参数 相关方法（参数方程求导法 r

rx2x2 相关结论（计算二重积分Df(xy)dxdyD1f(rcosrsinl、单调性：①若x1x2abx1x2f(x1f(x2)(或f(x1)f(x2f(x)在(a,b上单调递增（或单调递减x1x2abx1x2f(x1f(x2)(或f(x1f(x2f(x)在(ab上单调不减（或单调不增）相关结论：f(x单调不减（不增）f(x)0(f(x)f(x单调递增（递减）f(x)0(f(x)0)f(x)02、有界性：Mf(xM,(xDf(x有上界；②若存在常mf(xm,(xD)f(xf(xff(xM，使f(x) 局部有界；③有界是可积的必要条件（即：可积一定有界，反之不然3、奇偶性：f(xf(xf(xf(xf(xf(x为为奇函数；奇函数与奇函数、偶函数与偶函数的乘积为偶函数；③在(a,a)上有定义的任f(xf(xf(xf(xa相关结论：f(x为可积的奇函数，则af(x)dx0a f(x为可积的偶函数，则af(x)dx20f(x)dx ③若f(x)为一般可积函数，则af(x)dx0[f(x)f(x)]dx。 4、周期性：若T0f(xT)f(xf(x是以T结论：若Tf(x的周期，那么kTf(x的周期（k0）T

f(x)dx

f ⑴水平渐进线：

f(xc1yc1f(xf(x)c2yc2f(x⑵垂直渐进线：0000

f(x)xx0f(xf(x)xx0f(xf a,(a0)且lim[f(x)ax]b，则yaxb

limf(x)aa0limf(xaxbyax

注：斜渐近线最多有两条，并且如果在（或）方向有水平渐近线，那么在该方向就不会有斜渐近线。（即：同一函数的水平渐近线和斜渐近线最多有2）相关结论：fx)0,(x(a,bf(x(ab为凹（上凹／下凸）fx0,(x(a,bf(x(ab为凸（下凹／上凸）的。注：l、基本初等函数及其性质（1）常函数ycD（2）幂函数yx注：①定义域与有关；②性质一般也与（3）指数函数yax(a0且a1)(xRyaa三角函数 10正弦函数:ysinx；20余弦函数：ycos30ytanx；40余切函数:ycot50ysecx；60余割函数:ycsc [1,1],R[, 220yarccosx,(Df1,1Rf0, (,),R(, 240yarcotx,(Df,Rf0,1：反三角函数不是三角函数的反函数（yarcsinxysinx的反函数；2：必须严格属于上述六类函数之一，才属于基本初等函数。ysin2xyxxx

n!ex是初等函数，xn.5LL(Q)R(QQQ8LQ三、实用题型及例题分类2x,xg(xx2x0

x2,xf(xxx0gf(x（ 2 2 （A）2 x （B）2 x 2 2x2,x （C）2 x （D）2x,x f(lnx)

ln(1 ，计算ff(x)

xsinxecosx,x是（ f(x）x.tanx.esinxf(x是（ 函 f(x)

x(x1)(x

（ （B） （D）(2,f(xF(xf(x的原函数，则（F(xf(x的一个原函数，MNMN”,则必有（）F(x)是偶函数f(x)是奇函 （B）F(x)是奇函数f(x)是偶函F(x是周期函数f(x是周期函数（D）F(x是单调函数f(x设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图形，则导函数yf(x的图形为（）f(x在（）内连续，其导函数的图形，则f(x)有（）设f(x)，g(x)是于零的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0,则当ax时，有（（A）f(x)g(b)f （B）f(x)g(a)f(a)g(x)（C）f(x)g(x)f （D）f(x)g(x)f已知函数f(x)在区间(1,1)内具有二阶导数，f(x)严格单调减少，且f(1)f(1),则（（A）在(1,1)和(1,1内均有f(x)（B）在(1,1)和(1,1f(x（C）在(1,1f(xx在(1,1f(x（D）在(1,1内f(xx在(1,1f(xf(xf(0)0,则存在0f(x)在(0,)内单调增 （B）f(x)在(,0)内单调减（C）对任意的x(0,)有f(x)f （D）对任意的x(,0)有f(x)f tf(x是周期为2的连续函数，证明G(x)0[2f(t是周期为2

f一、考纲要求

§1.2极限二、考点精讲1：不能离开自变量的变化过程谈函数的极限1：对于数列anA为一个常数，若0N,使当nN时，有|anA|则称在naA为极限，记作lima x定义2：对于函数yf(x)，设A为一个常数，若0，X，使当x |f(xA|

f(x)3：yf(x)A为一个常数，若0X1xX1|f(xA|

f(x)4：yf(x)A为一个常数，若0X2，使当|x|X2|f(xA|，则称

f(x)5：yf(xA为一个常数，若0，0，使当0|xx0|时，有|f(xA|x

f(x)时，有|f(xA|，则称limf(x)0x0时，有|f(xA|xx0

f(x)x

f(x)Af(x)Axx0

f(x)Af(xAxx0

f(x)f(x)3（

f(x)A为例）x0附近的y值全部落在宽为21、唯一性定理：若limf(x2、局部有界性定理：若limf(xf(x3、局部保号性定理若

f(x)A()0f(x)(0)0推论：若limf(x存在，且f(x)(0)0在局部成立，则limf(x)()

1、四则运算：若limf(x)Alimg(x)B则lim[f(xg(x)]A limf(xg(xABlim[f(x)AB x[] 推论：①若limf(x与lim[f(xg(x均存在，则limg(x x②若limf(x与limf(xg(x均存在，且limf(x)0则limg(x x注：①若limf(xlimg(x不存在，则limf(xg(x x ②若limf(x与limg(x均不存在，则limf(xg(xx x ③若limf(x与limf(xg(x均存在，且limf(x)0则limg(xx x2、复合运算法则：yf(u在u点连续(ulimg(x)), xx

f[g(x)]f(u0)f[limx1、单调有界准则（原理）：单调有界数列必2、准则（原理：若f(x)f(x)f(x)在局部成立，且limf(x)A1limf2x)A，则limf(x 注

x[]①limsinx ②lim(11)xe limsinx与lim（11）n均为未定型0型极限，后者是1 1、基本形式：

型 3、洛必达法则：定理1x

f(x)0limg(x)0x

f'①f(x)与g(x)在局部可导 ②xg

（A则limf(x)limf' x口 x口g'2：若limf(xlimg(xx ①f(x)与g(x)在局部可导 （Axg则limf(x)limf' x口 x口g' 1：

型 2：当分子分母在局部不可导时不能用洛必达法则（特别地对于数列极限不能直接用f'注3：当lim xg注4：对其它未定型极限应先化成

型 10对于0

0型（型20对于

0

0（型 30对于1型、00型、0型对数恒等 lim[f(x)]g(x)elimg(x)lnf(

0型（型x

5：在使用洛必达法则的过程中应尽可能地与代数变形、变量代（替）换、重要1、概念：若limf(x0f(xx时为无穷小（量若limf(xf(xx时为无穷大（量注1：无穷大（小）量是指因变量不是自变2：不能离开自变量的变化过程谈无穷小与无穷大注3：无穷大量一定是变量（函数反之不然2、性质：在自变量同一变化过程中，有：1、看限个无穷大量的和、差、商未必是无穷大量（但积例外。2、无穷个无穷小量的和差积商未必是无穷小量。3f(x0g(x)①若

f

0f(xg(x)f(x)x[]②若limf(x)，则称f(xg(x)③若limf(x)c(c0)f(xg(xx[]f④若 1，则称f(x)比g(x)等价无穷小，记x[]

f(x)~4、几个与无穷小量相关的结论limf(xAf(xA(x，其中(x为无穷小量（x f 推论1若 A，且lim 0，则limf( f推论2若 B0，且limf(x)0,则limf yf(x连续y为无穷小量（x0）yf(xxf f(x)， g

则

f(x)limf1 ，x xg1 1．等价无穷小代换的实质是分子分母同除以等价的函注3.当x0时，常见的等价无穷小量有：sin x，arcsin x，tan xarctan x，ln(1 x，ex x，1cos

2

，(1

f(xxx0f(x00，则

是与x00f(xxx0可导，则ydyxx是比x0（八）用极限考查曲线的渐近线（见 中渐近性的有关内容三、实用题型及例题归类

“对任意给定的(0,1)总存在正整数N，当nN时，恒有xna是数列收敛于a的（ x，总有(x则limf(x)（

f(x)g(x)，且lim[g(x(x)]0 设{an，{bn，{cn均为非负数，且liman0limbn1limcn则必有（ anbn对任意n成 （B）bncn对任意n成 x2xex1的极限） （B）等于5．下列各式中正确的是（（A）lim(11)x（B）lim(11)x 1)x （D）x1x x6．x0

是（x 方法一利用四则运算法则求x2x233x1 x2x

11limlg100x方法三利用左右极限求 2e sinxx求x0 x1x1x f(x

12

x(3x2 lim 5x limx x2设a为非零常数，lim(xa)xe2a，则a xx1lim(tanx)cosxsinx方法五利用准则(3x2 lim 5x x设函数s(x) |cost|dtx（1）nnxn1)时，证明2nS(x2(n1)（2）求 3sinxx2cos limxln(1x01cosf(x连续，且lim1cos[xf

1则f(0) 计算

ex2e22cos

(ex21)flimxlnlim[sinxsin(sinx)]sin lim(1cosx)xln(1tan sin4 x0sin2

cos2 x2ln11xlimx

exe2x...enx xxaxbsin )sintsinxtxsinx方法八利用泰勒公式求1、求极限limcotx 12、求极限

xxsinx0x2ex3、求极限limcosx

2 方法九利用导数定义求f(xx0f(0)0，求

f(tx)fx设a2， 1(a1)，（n1,2,...),证明lima存在并求出其值n nn①证明：对任意的正整数n，都有 ln(11)1成立 ②设an1

ln

n (n )数列an收敛n1 n

1cos...1 nnsin

nsin求 n n sinnn1 n1

nn题型四比较无穷小的阶f(x2x3x2x0（A）f(x)与x是等价无穷小 （B）f(x)与x是同阶但非等价无穷小（C）f(x)是比x较高阶的无穷小 （D）f(x)是比x较低阶的无穷小1（A）x2 （D）x1xx

1 x（A）1e （B） 1 x

x0

2dt，

2x0 tdt，x

xsin (A),, (B),, (C),,. (D),limxax9，求常数xxf(x在(,可导，且

f(x)elimxc)xlim[f(xf(x1，求cxx ln(1x)(axbx2设

25（A）a1,b2（C）a0,b2

a0,b（D）a1,b若limsinx(cosxb)5,则a ，b x0ex 3确定常数a,b,c的值，使 axsin c,c 3xln1

x0f(x3sinxsin3x与是cxk等价无穷小，则（（A）k1,c （B）k1,c（C）k3,c （D）k3,c1题型六曲线的渐近1x0yxx yx

y

x2

一、考纲要求

§1.3连续二、考点精讲1、点连续的定义：定义1：若x定义2：若00

f(x)f(x0f(xx0f(xx0f(xf(x0f(xx0limf(xf(x0f(xx000 （2）limy0（其中yf(x0xf（xx

f(xf(xx0

f(x存在，值

f(x)f(x0特例1：可去间断点——左右极限都存在且相等的间断点特例2：跳跃间断点——左右极限都存在且不等的间断1：无穷间断点——左右极限中至少有一个为无穷大特例2：振荡间断点——左右极限至少有一个振荡l：f(x在(a,bf(x在(a,b2：f(x在(a,bxaf(x在[a,b连续3：f(x在(a,bxbf(x在(a,bl、最值定理：f(x在[a,bf(x在[a,b2、有界性定理：f(x在[a,bf(x)在[a,b３、介值定理：f(x在[a,bMmax{f(xmminf 则[mM]，必存在[abf()1：介值定理和积分中值定理中存在的[ab，而微分中值定理中的a4、零点定理：f(x在[a,bf(af(b0f(x在(a,b中至少存在一个1f(x)0xx0f(x（三、实用题型及例题归类

f(xsin

在x0处连续，则常数a与b应满足的关系 x题型二函数的连续性与可导|x|sin1,xf(x)

f(xx0（ x（A）极限不存在．（B）极限存在但不连续．（C）连续但不可导．（D）f

x0g(xf(xx0（ x f(x),x

题型三函数的间断xx设F(x) 其中f(x)在x0处可导，f'(0)0，f(0)f(0),xx0F(x的（ f(),x设f(x)在(,)内有定义，且limf(x)a,g(x) ,x则（A)x0g(x)的第一类间断点．(B)x0g(x)x0g(x)x

g(x)x0处的连续性与af(xsinx的可去间断点的个数为（ 个f(x)1

tan(x4在区间(0,2f(x

ln(1ax3xarcsin6eaxx2axx

xxx x af(xx0ax0f(x题型四关于f(x在[a，bacdbk1k20[abf(x在[abg(x)0 [abaf(x)g(x)dxf()af(x在闭区间[ab上连续，则至少存在一点[ab]b得af(x)dxf()(bbf(x在(abx1x2xn(a,b(abf()1[f(x)f(x)f(x)] 且f(x)1。证明在(0,1)x使f(x)x.f(x在[0,1上连续，在(0,1f(0)0,f(1)证明：存在0,1)f(1证明方程xasinxb(a0b0)至少有一个不大于abf(x在闭区间[abf(x)0,xf(t)dt dt0在开区间(ab内的根有 bf 证明方程lnx

x

1cos2xdx在区间(0,) 当af(x2x39x212xa恰有两个不同的零点（（A） （B） （C） （D）若3a25b0x52ax33bx4c0（ 1（C）有三个不同实根 注：4、5题，老师没有讲，请同学自己动手做一下，答案都是B.1设当x0时，方程kx 1有且仅有一个解，求k的取值范围第二章一、考纲要求

§2.1导数与二、考点概述与解1（1）f

)

f(x0x)f(x0f

)

f(x)f(x0x0

f(x0xf(x0f(xx 左导数：f(x)limf(x0xf(x0)（此极限存在称为左可导 右导数：f(x) f(x0x)f(x0)（此极限存在称为右可导 f(xxx0f(xxx0f(x0)f(x02、导函数：f(x

f(x0x)f(x0 3、区间导数f(x)在ab可导：f(x)在ab内每一点都可②f(x)在a,b可导：f(x)在a,b内每一点都可导， f(a)存在f(x在(a,bf(x在(a,bf(bf(x在[abf(x在(a,bf(af(b4、导数的实际意f(x0k注：f(xxx0yf(xxx0物理意义s(t0(t0(t0a(t0经济意义：导数济量f(x0)的绝对增加量。5、可导与连续的关系注：函数f(x)xx0处连续，但不可导。1、用定义求导2、用公式求导（1）四则运算求导公式：(fg)fg;(fg)fg ffgfg g（2）f[(x)])f[(x（3）反函数求导公式：[f1(x)]

10(c) 20(x)x 30(ax)axha40(logx)

70(tanx)sec2x 80(cotx)csc2 90(secx)secxtan11100(cscx)cscxcot 110(arcsinx) 120(arccosx11130(arctanx) 1

140(arccotx) 1 x 5、参数方程求导法 h(t)， 注1：参数方程求导数的最终结果允许用参数t注2：对参数方程求二阶导数时，千万不可将(t),(t)对t分别求二阶导数后进行比值d2 dh(t) ] [h(t)] dx

6、积分函数求导法

dx

f(t)dtf注：使用上述公式的前提条件是ft是连续函数，且被积函数中不含x1dxf(t)dt令（x）ufdx2：d

2(

f(t)dtf[(x)](x)f[(x)]1d ( 1d x x g(x)f(t)dt f(t)dtg(x)f

dx

7、高阶导数的计算法10c(n)0,(n

20(xm)(n)

m30(sinx)(n)sm(xn2

xmn,m40(cosx)(n)cos(xn 2 50(ax)(n)axlnn

60(ln

(1)n1(nn70（莱布尼茨公式）[f(xg(x)](n)Ckf(x)(kk01设yf(x0xf(x0，若存在常数A，使得yAxo(x),f0xx0Axf(xxx0点的微分，记作dy|xx0，dy|xxAx.01：微分dy|xx0也称为y2：若x0，则ydy|xxo是xf(x00时，dy|x0是xf(x00dy|xx是x002ay|xxf(x0)xf(x003、可微与可导、连续、有极限间等概念之间的关系： 4.xf(u)du（无论u是自变量还是中间变量）5、微分的四则运算法则：d[f(x)g(x)]df(x)d[f(x).g(x)]g(x)df(x)fdf(x)g(x)df(x)f g2三、实用题型及例题归类x2f(x)2f(x3已知f(x)在x0处可导，且f(0)0,则lim （A）2f' （B）f' （C）f' （D）设函数f(x)(ex1)(e2x (enxn)，其中n为正整数，则f'(0) （A）(1)n1(n （B）(1)n(n （D）(1)nf(xxa（ 1fa存 Blimf(a2h)f(aAlimhf h h Climf(ah)f(ah)存 Dlimf(a)f(ah)存 f(0)0f(xx0可导的充要条件为（Alim1f(1cosh)存在 (B)lim1f(1eh)存在h0Climh0

f(hsinh

h0(Dlim1f(2hf(hh0f(h2设函数f(x)在x0处连续，且lim 1，则（ f(0)0且f(0)存 (B)f(0)1且f(0)存(C)f(0)0且f(0)存 Df(0)1且f(0)存f(xx0处连续，下列命题错误的是（f若

f(0)若

f(x)fx

f(0)若若

f(xf(0xf(xf(xf(0xf(xxa处可导，则函数|f(x|xa是（f(a0f(a(Cf(a0且f(a

f(a0且f(a(D)f(a)0且f(a)f(xf(x，且在(,0f(x0f(x0f(x在内有（f(x)0,f(x) (B)f(x)0,f(x)(C)f(x)0,f(x) (D)f(x)0,f(x)f(xx2x2|x3x|的不可导点的个数是（ f(x3x3x2|x|,f(n0存在的最高阶数n为（ （C） （D）y2x3

tan1 xx

，则y 设f(x)

若x

)g(0)1,g(0) （1）求f f(x)在(,)上的连续性函数yy(x)由方程sin(x2y2)exxy20所确定，则dy f(x连续，则dxtf(x2t2dt（dx (B)xf(x2

2xf(x2x12t

2xf(x2

d2设函数yy(x)由参数方程 12lnt (t1)所确定，求dx2 ufxf(xf(x)]2，则当n2正整数时，fxn阶导数f(nx是（） (C)[f (D)n![f112x

，则y(n)(0) f(x)x2ln(1xx0处的nf(n0)(n设yf(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy ysinf(x2其中f

一、考纲要求

§2.2中值定理二、考点概述与解读（一）费马引理：x0f(xf(x0（二）罗尔中值定理：f(x在[a，b]上连续，在(a,bf(a)f(b)(a,bf()该定理的逆否fx0在a,b内没有实fx0，则fx0a,b上至多只有一个实根推广fx0在a,b内有且m个实根，则fx0在a,bm1个根例：求方程2xx21根的个数f()f(bf(a)bg(x)0，则(a,b)使得f(bf(a)g(b)

f(g(（五）泰勒中值定理：f(xa的某个邻域u(a内有直到n1接导数，则x存在介于ax之间的点f(x)f(a)f(a)(xa)f(a)(x