三角函数知识点总结及高考题库(学生版)

2219-三角函数任意角的概念任意角的概念弧长与扇形面积公式角度制与弧度制同角三函数的基本关系任意角的三角函数诱导公式三角函数的图象和性质计算与化简证明恒等式已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用三角函数知识框架图知识要点:定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为=第二象限角的集合为=第三象限角的集合为=_________________PvxyPvxyAOMT终边在轴上的角的集合为=____________________终边在轴上的角的集合为=_________________终边在坐标轴上的角的集合为=__________________3、与角终边相同的角的集合为=__________________4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、弧度制与角度制的换算公式：，，．6、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)8、三角函数线：，，．若，则sinx<x<tanx.9、同角三角函数的基本关系：；;．10、三角函数的诱导公式：（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限），，．，，．，，．，，．，．，．例子：11、两角和与差的三角函数公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．12、和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2cossin,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].13、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵（，）．=3\*GB2⑶．14、半角公式:sin=；15、辅助角公式:，其中．16、万能公式，，17、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的||倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．例：以变换到为例向左平移个单位（左加右减）横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）向左平移个单位（左加右减）纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）注意：在变换中改变的始终是x。函数的性质：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③频率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数题型分类总结三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：常数代换法：如：配角方法：,,,1、===2、（1）(10全国Ⅰ)是第四象限角，，则__________（2）（11北京文）若，则.(3)是第三象限角，，则==3、(1)(09陕西)已知则=.(2)（12全国文）设，若，则=.（3）（08福建）已知则=4.(1)(10福建)=(2)（11陕西）=。（3）。5.(1)若sinθ＋cosθ＝，则sin2θ=（2）已知，则的值为(3)若,则=6.（10北京）若角的终边经过点，则==7．（09浙江）已知，且，则tan＝8.若，则=9.（09重庆文）下列关系式中正确的是（）A． B．C． D．10．已知，则的值为（）A．B．C．D．11．已知sinθ=－，θ∈（－，0），则cos（θ－）的值为（）A．－ B． C．－ D．12．已知f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）的值是（）A．1 B．C．0 D．－113．已知sinx－siny=－，cosx－cosy=，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值是()A．B．－C．±D．14．已知tan160o＝a，则sin2000o的值是()A.eq\f(a,EQ\r(1＋a2))B.－eq\f(a,EQ\r(1＋a2))C.eq\f(1,EQ\r(1＋a2))D.－eq\f(1,EQ\r(1＋a2))15.若，则的取值范围是：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）16.已知cos（α-）+sinα=()（A）-（B）(C)-(D)17.若则=（）（A）（B）2（C）（D）二.最值1.（09福建）函数最小值是=。2.①（08全国二）．函数的最大值为。②（08上海）函数f(x)＝eq\r(3)sinx+sin(eq\f(,2)+x)的最大值是③（12江西）若函数，，则的最大值为3.（08海南）函数的最小值为最大值为。4.（12上海）函数的最小值是.5．（11年福建）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于6.（12辽宁）设，则函数的最小值为．7．将函数的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是A．B．C．D．8.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1 B． C． D．29．函数y=sin（x+θ）cos（x+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是（）A． B． C． D．10.函数在区间上的最大值是()A.1 B. C. D.1+ 11.求函数的最大值与最小值。三.单调性1.（09天津）函数为增函数的区间是（）.A.B.C.D.2.函数的一个单调增区间是（）A． B． C． D．3.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．4．（07天津卷）设函数，则（）A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数5.函数的一个单调增区间是()A．B．C．D．6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f()=f()，则f(x)的解析式可以是（） A．f(x)=cosxB．f(x)=cos(2x)C．f(x)=sin(4x)D．f(x)=cos6x四.周期性1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是（）A．B．C．D．2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则=3.（04全国）函数的最小正周期是（）.4.（1）（04北京）函数的最小正周期是.（2）（09江苏）函数的最小正周期为（）.5.（1）函数的最小正周期是(2)（09江西文）函数的最小正周期为(3).（08广东）函数的最小正周期是．(4)（12年北京卷.理9）函数的最小正周期是.6.(09年广东文)函数是()A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数7.（浙江卷2）函数的最小正周期是.8．函数的周期与函数的周期相等，则等于（）(A)2(B)1(C)(D)五.对称性1.（08安徽）函数图像的对称轴方程可能是（）A． B． C． D．2．下列函数中，图象关于直线对称的是（） ABC D3．（11福建）函数的图象（）Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称（09全国）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（）(A)(B)(C)(D)六.图象平移与变换1.（08福建）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为2.（08天津）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是3.(09山东)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是4.(09湖南)将函数y=sinx的图象向左平移0＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于5．要得到函数的图象，需将函数的图象向平移个单位6（1）（12山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向平移个单位（2）为得到函数的图像，只需将函数的图像向平移个单位（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向平移个单位长度7.（2009天津卷文）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）ABCD8.将函数y=EQ\R(3)cosx－sinx的图象向左平移m（m>0）个单位，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（D）A.EQ\F(p,6)B.EQ\F(p,3) C.EQ\F(2p,3)D.EQ\F(5p,6)9.函数f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m的值可以为()A. B. C.－ D.－ 10.若函数y=sin（x+）+2的图象按向量a平移后得到函数y=sinx的图象，则a等于（）A．（－，－2）B．（，2）C．（－，2）D．（，－2）11．将函数y=f（x）sinx的图象向右平移个单位，再作关于x轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin2x的图象，则f（x）是（）A．cosx B．2cosxC．sinxD．2sinx12．若函数的图象按向量平移后，它的一条对称轴是，则的一个可能的值是A．B．C．D．13.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为A． B． C． D．图象1．（07宁夏、海南卷）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．函数在区间Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（A）0（B）1（C）2（D）43.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（）A.1 B.2 C.1/2 D.1/34．（2012年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）（A）（B）（C）（D）5.（2009宁夏海南卷文）已知函数的图像如图所示，则。6．为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象()A．向左平移eq\f(π,4)个长度单位B．向右平移eq\f(π,4)个长度单位C．向左平移eq\f(π,2)个长度单位D．向右平移eq\f(π,2)个长度单位7．已知函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))，则下列判断正确的是()A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))8．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－eq\f(π,8)对称，则实数a的值为()A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．1D．－19．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则f(x)的取值范围是________．10．设函数y＝coseq\f(1,2)πx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，….则A50的坐标是________．11．把函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象向左平移m个单位(m>0)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是________．12．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2))).(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且f(α)＝eq\f(3,5)，f(β)＝eq\f(12,13)，求f(α－β)的值．14．(2010·山东)已知函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))(0<φ<π)，其图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))).(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值．八.解三角形1.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则2.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于2，的取值范围为.3.（09福建）已知锐角的面积为，，则角的大小为4、在△ABC中，等于。5．已知△ABC中，，则的值为6.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的面积，求的长．7.在中，角所对应的边分别为，，，求及8.已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域.9.在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．九..综合1.（11年天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为2．(11年广东)函数f(x)是（） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数C．周期为2的偶函数 D．.周期为2的奇函数3．（09四川）已知函数，下面结论错误的是()A.函数的最小正周期为2B.函数在区间［0，］上是增函数C.函数的图象关于直线＝0对称D.函数是奇函数4．(07安徽卷)函数的图象为C,如下结论中正确的是①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③函数)内是增函数;④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.5.（08广东卷）已知函数，则是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是C（A）0（B）1（C）2（D）47．若α是第三象限角，且cos<0，则是