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文档简介
2022年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若关于的不等式恰有1个整数解,则实数的最大值为()A.2 B.3 C.5 D.82.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A. B. C. D.4.已知函数的值域为,函数,则的图象的对称中心为()A. B.C. D.5.设则以线段为直径的圆的方程是()A. B.C. D.6.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()A.6 B.8 C.10 D.127.已知与之间的一组数据:12343.24.87.5若关于的线性回归方程为,则的值为()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.58.已知,则“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在正方体中,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()A. B. C. D.10.函数的单调递增区间是()A. B. C. D.11.若2m>2n>1,则()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,,,,则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.14.某种产品的质量指标值服从正态分布,且.某用户购买了件这种产品,则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________.15.已知,则的值为______.16.验证码就是将一串随机产生的数字或符号,生成一幅图片,图片里加上一些干扰象素(防止),由用户肉眼识别其中的验证码信息,输入表单提交网站验证,验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录,以提升网络安全.在抗疫期间,某居民小区电子出入证的登录验证码由0,1,2,…,9中的五个数字随机组成.将中间数字最大,然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一个“钟型验证码”,则该验证码的中间数字是7的概率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北、湖北,从西部选择宁夏,从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区,在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记,由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验,在某普查小区,共有50家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法;(2)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;(3)以该小区的个体经营户为样本,频率作为概率,从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为,写出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.82818.(12分)设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.19.(12分)已知函数.(1)当时.①求函数在处的切线方程;②定义其中,求;(2)当时,设,(为自然对数的底数),若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程:(2)求与交点的极坐标.21.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:.过点的直线:(为参数)与曲线相交于,两点.(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求实数的值.22.(10分)已知函数,.(1)判断函数在区间上的零点的个数;(2)记函数在区间上的两个极值点分别为、,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
画出函数的图象,利用一元二次不等式解法可得解集,再利用数形结合即可得出.【详解】解:函数,如图所示当时,,由于关于的不等式恰有1个整数解因此其整数解为3,又∴,,则当时,,则不满足题意;当时,当时,,没有整数解当时,,至少有两个整数解综上,实数的最大值为故选:D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围,属于较难题.2.C【解析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若{an}是等比数列,则,
若,则,即成立,
若成立,则,即,
故“”是“”的充要条件,
故选:C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.3.B【解析】
由圆过原点,知中有一点与原点重合,作出图形,由,,得,从而直线倾斜角为,写出点坐标,代入抛物线方程求出参数,可得点坐标,从而得三角形面积.【详解】由题意圆过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为,如图,由于,,∴,∴,,∴点坐标为,代入抛物线方程得,,∴,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点,从而是等腰直角三角形,于是可得点坐标,问题可解,如果仅从方程组角度研究两曲线交点,恐怕难度会大大增加,甚至没法求解.4.B【解析】
由值域为确定的值,得,利用对称中心列方程求解即可【详解】因为,又依题意知的值域为,所以得,,所以,令,得,则的图象的对称中心为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的图像及性质,考查函数的对称中心,重点考查值域的求解,易错点是对称中心纵坐标错写为05.A【解析】
计算的中点坐标为,圆半径为,得到圆方程.【详解】的中点坐标为:,圆半径为,圆方程为.故选:.【点睛】本题考查了圆的标准方程,意在考查学生的计算能力.6.D【解析】
推导出,且,,,设中点为,则平面,由此能表示出该容器的体积,从而求出参数的值.【详解】解:如图(4),为该四棱锥的正视图,由图(3)可知,,且,由为等腰直角三角形可知,,设中点为,则平面,∴,∴,解得.故选:D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.7.D【解析】
利用表格中的数据,可求解得到代入回归方程,可得,再结合表格数据,即得解.【详解】利用表格中数据,可得又,.解得故选:D【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.8.B【解析】
构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.【详解】如图,取长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,直线=直线。若令AD1=m,AB=n,则m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直线m垂直于平面β,所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考点有两个:①考查了充分必要条件的判断,在确定好大前提的条件下,从m⊥n⇒m⊥?和m⊥⇒m⊥n?两方面进行判断;②是空间的垂直关系,一般利用长方体为载体进行分析.9.D【解析】
连接,,因为,所以为异面直线与所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,取的中点为,连接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【详解】连接,,因为,所以为异面直线与所成的角(或补角),不妨设正方体的棱长为2,则,,在等腰中,取的中点为,连接,则,,所以,即:,所以异面直线,所成角的余弦值为.故选:D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值,利用了正方体的性质和二倍角公式,还考查空间思维和计算能力.10.D【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为,由,解得,即函数的增区间为,所以当时,增区间的一个子集为.故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性,同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.11.B【解析】
根据指数函数的单调性,结合特殊值进行辨析.【详解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正确;而当m,n时,检验可得,A、C、D都不正确,故选:B.【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小,根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系,需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质,结合特值法得出选项.12.C【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起,根据圆锥侧面积计算公式可得.【详解】解:由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起,在中,,,,如下图所示,底面圆的半径为,则所形成的几何体的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查旋转体的表面积计算问题,属于基础题.14.【解析】
直接计算,可得结果.【详解】由题可知:则质量指标值位于区间之外的产品件数:故答案为:【点睛】本题考查正太分布中原则,审清题意,简单计算,属基础题.15.【解析】
先求,再根据的范围求出即可.【详解】由题可知,故.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解,涉及对数的运算,属基础题.16.【解析】
首先判断出中间号码的所有可能取值,由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数,根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】根据“钟型验证码”中间数字最大,然后向两边对称递减,所以中间的数字可能是.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.当中间是时,其它个数字可以是,选其中两个排在左边(排法唯一),另外两个排在右边(排法唯一),所以方法数有种.所以该验证码的中间数字是7的概率为.故答案为:【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算,考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用,考查运算求解能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可)(2)有(3)分布列见解析,【解析】
(1)根据题意可以选用分层抽样法,或者简单随机抽样法.(2)由已知条件代入公式计算出结果,进而可以得到结果.(3)由已知条件计算出的分布列,进而求出的数学期望.【详解】(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可).(2)将列联表中的数据代入公式计算得所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”.(3)以频率作为概率,随机选择1家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的概率为.可取0,1,2,3,计算可得的分布列为:0123【点睛】本题考查了运用数学模型解答实际生活问题,运用合理的抽样方法,计算以及数据的分布列和数学期望,需要正确运用公式进行求解,本题属于常考题型,需要掌握解题方法.18.(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.【解析】
(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;(2)有解,即,令,转化求函数只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.【详解】(1),当时,恒成立,当时,,综上,当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2),令,原方程只有一个解,只需只有一个解,即求只有一个零点时,的取值范围,由(1)得当时,在单调递增,且,函数只有一个零点,原方程只有一个解,当时,由(1)得在出取得极小值,也是最小值,当时,,此时函数只有一个零点,原方程只有一个解,当且递增区间时,递减区间时;,当,有两个零点,即原方程有两个解,不合题意,所以的取值范围是或.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到单调性、零点、极值最值,考查分类讨论和等价转化思想,属于中档题.19.(1)①;②8079;(2).【解析】
(1)①时,,,利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根据若对任意给定的,,在区间,上总存在两个不同的,使得成立,得到函数在区间,上不单调,从而求得的取值范围.【详解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切线方程为.②,.令,则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.(2),当时,函数单调递增;当时,,函数单调递减∵,,所以,函数在上的值域为.因为,,故,,①此时,当变化时、的变化情况如下:—0+单调减最小值单调增∵,,∴对任意给定的,在区间上总存在两个不同的,使得成立,当且仅当满足下列条件,即令,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减所以,对任意,有,即②对任意恒成立.由③式解得:④综合①④可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的,使成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题,会利用导函数的正负确定函数的单调性,会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值,掌握不等式恒成立时所满足的条件.不等式恒成立常转化为函数最值问题解决.20.(1)(2)与交点的极坐标为,和【解析】
(1)先把曲线化成直角坐标方程,再化简成极坐标方程;(2)联立曲线和
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