概率论与数理统计课件

第三章

随

量的数字特征数

学

期

望方

差相关系数与相关阵基*要求重点与难点第三章随

量的数字特征经过前两章的学习

知道分布函数能完整地刻画随量的统计特性。但现实生活中, 很难求出一个随机变量的分布函数。

主要有

“类型不知”

和“参数不知”。而且很多时候 没有必要求。[引例1]

评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均亩产量。[引例2]研究水稻品种优劣时，经常关心平均稻谷粒数。[引例3]检查棉花纤维的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意其长度与平均值的平均偏离程度。[引例4][引例5]班级学生成绩，往往学生的消费，往往平均成绩。人均消费。以上例子说明，很多时候布函数，而是

与这个随没去求随

量的分量相关的某些数字。这些数字，虽不能完整地描述随

量，但能准确地描述随

量在某些方面的重要特征，这些特征在理论和实践上都具有重要意义。称它们为随

量的数字特征。所谓数字特征，即刻画随

量某些特征的数字学习的主要内容：数学期望

方差协方差

相关系数

矩

相关阵重点：数学期望

方差

协方差

相关系数难点：相关系数

矩

相关阵[引例]一射手打靶，射击得分

X

是随

量；规定射入区域ek

得k

分，k

0,1,2

。已知X

分布律为：P(X

k

)

pk

，k

0，1，2

。e1现射击N

次，有Nk

次得k

分，k

0,1,2

。求射手此次射击的平均得分？e2解：记平均分为x

，Nx

＝则N

0

0

N1

1

N

2

2

＝

2k

Nk射NN2N2kkN0Nk

0

k

0x

在k一＝f

n程(A度)上体P现(A)手从的而水平k，

但k具

有k波动p性。定2量X

的数学期望。称k

pk

为随k

0§3.1

数学期望Mathematical

Expectation定义3-1

若X

为离散型r

v

，其分布律为P{X

xk

}

pk

（k

1，2，）pkk

1如果级数

xk绝对收敛，则称级数的和为X

的数学期望，简称为期望，记作EX

，即k

1EX

xk

pk（3-1）否则，称X

的数学期望不存在。若X

为连续型r

v

,其概率分布为f

(x),如果广义积分xf

(x

)dx

绝对收敛,则称其值为X

的数学期望,记作EX

x f

(

x)dx（3-2）否则，称X

的数学期望不存在。注：1棣到引入，源自“赌本分配问题”。表示“期望得

”；另一个名称为“均值”。2EX

是个与X

有关的数值，表示X

取值的集中位置。统计中为“分布中心”；物理中为“重心”。绝对收敛是期望存在的充要条件。如果不是绝对收敛，则期望不存在。实际应用时，通常通过样本来求期望。[引例

2]甲、乙两射手在相同的条件下进行射击，其命

数分别为

X

和Y

，其分布列如下：X

8

9

10

Y

8

9

10pk

0.3

0.1

0.6

pk

0.2

0.4

0.4试问如何评价甲、乙两射手射击水平的优劣。解：由题意知需要比较两个射手的平均得分情况，即命数的数学期望EX＝8

3

9

1

10

6

9.3

（环）10

10

10(环）EY＝8

2

9

4

10

4

9.210

10

10故甲的水平要高一点点。[例

2]

有

10

万元，若投资于项目，成功的机会是0.6，赚8

万元；失败的机会是0.4，损失2万元。问若投资，平均赚多少万元？解：设X

表示投资赚的钱（单位万元），则由题意知X

分布律为：X

8

-2则pk

0.6

0.4EX＝8

0.6

(-2)

0.4

4

（万元）注：（1）未知分布要先求出分布。作投资组合推出明天赚

。为了明天赚A元钱，今天该作怎样的投23资组合。二、几种常见随 量的数学期望k

1EX

xk

pk

1

p

0

(1

p)

p（1）

X

服从（0-1）分布，则EX

＝

p（2）X

~

B(n,p)，则EX＝

np（3）

XEX

xi

pik

0k

i1

e

ek

P()，则EX

＝

k!k

1(k

1)!k1

e

m0

m!m

e

e

（4）

XU

(a,

b)

，则

EX

xf

(x)dxEX

1

b

ax

badx2b

1

xb

a

2

aa

b2a

b2e()

，则

EX

（5）

XEX

xf

(

x)dx

xxe

dx0xde

x

00

xe

x

01

x0e

dx

xe

dx1（6）

XN

(,

2

)

，则

EX

量都有通过定义期望。下面发现，并不是任何随

期望不存在的例子。例3-5

设r

v

X

服从cauchy

分布，其概率密度1为f

(x)

(1

x

2

)(

x

),求证X

的数学期望不存在。证明：由于dxx

x

f

(x)dx

(1

x2

)dx1

x22

x即非绝对收敛，所以

X

的数学期望不存在。0（不存在）0d

(x2

1)

1

ln(1

x2

)

|1

1

x210问题：求W

kV

2

的数学期望。例

3-6

已知r

v

X

在[0,1]上服从均匀分布，求r.v

Y

X

2

的数学期望EY

。0，其它X(

x)

1，

0

x

1，解：由于X

的概率密度为f由上章例2-22的结果Y2

yf

(

y)1X[

f

X

(

y

)

f(

y

)](

y

0)1，

0

y

1y(

y)

2此时

f

(

y

)

0

,

f

(

y

)

1,即

fY1故EY

yf

(

y)dy

2

0131ydy

2

0y

1

0，其它1

y

dy

1Y事实上，

EY

EX2

x f

(

x)dx2102x

dx

1/

3三、随

量函数的数学期望（k

1，2，）如果级数

g(xk

)pk

绝对收敛，则有定理3-1

设Y

是随量

X

的函数，记为Y

g(

X

)

，g(x)为连续函数，（1）设离散型r.v

X

的分布律为P{X

xk

}

pkk

1EY

Eg(

X

)

g(

xk

)

pk（3-3）k

1（2）设连续型r

v

X

概率密度为f

(x)，若g(x)f

(x)dx

绝对收敛，则有EY

Eg

(

X

)

g(

x)

f

(

x)dx

（3-4）称这种求期望的方法为“借佛献花”例

3-7

设

X

~

B(n,

p)

，Y

e2

X

，求EY

。解：由于

X

~

B(n,

p)

，则nP{X

k}

Ck

pk

qn

k

（k

0，1，2，，n）由定理3-1知EY

Ee2

Xnp

qk

nke

Ck

02k

knnnk

2

k

nkC

(

pe

)

qk

0

(q

pe2

)nk

1EY

Eg

(

X

)

g(

xk

)

pk例

3-8

设

X

~

f

(

x)

，求

X

的数学期望。其中f

(

x)

xe

/

2，

x

0xe

/

2，

x

0解：由定理3-1知E

X

x f

(

x)dx02(

x)dxex02

x

e

x

dx

1定理3-2

设(X，Y

)是二维随机向量，g(x，y)为二元函数，且g

连续,（1）若(X，Y

)为离散型r

v

，其概率分布为P{X

xi

,Y

y

j

}

pij

（i,

j

1，2，）

i

1

j

1如果级数

g

(xi

,y

j

)pij

绝对收敛，则有

Eg(

X，Y

)

g(

xi

,

y

j

)

pij（3-5）i1

j

1（2）若(X，Y

)为连续型r

v

，其概率分布为

g(x,y)f

(x,y)dxdy

绝对f(x，y)，如果广义积分收敛，则有

Eg

(

X，Y

)

g

(x,

y)

f

(x,

y)dxdy（3-6）解：EX

xf

(x,

y)dxdy

xxdx103x

1dy

222x f

(x,

y)dxdyEX

xxdx10x

2

1dy

12yf

(x,

y)dxdy

EY

1

xxydydx0

022y f

(x,

y)dxdyEY

xxdxy

2

dy

1106xy

1dy

0xyf

(x,

y)dxdyEXY

xxdx10例11.设(X，Y

)的分布密度为f

(x，y)

1,0

x

1,

y

x0,其它求EX

,EY

,EX

2

,EY

2

,EXY四、数学期望的性质123EC

C

，C

为常数。E(CX

)

CEX

，C

为常数。E(X

Y

)

EX

EY

。此性质可推广到任意有限个随 量的情形，即E(

X1

X

2

Xn

)

EX1

EX

2

EXn（4）当

X、Y

相互独立时，则有

EXY

EX

EY

。此性质也可推广到任意有限个相互独立随

量的情形。证明：

证明（1）、（2）。（3）设二维r.v

(X，Y

)的概率分布为f(x，y)，其边缘分布密度分别为f

X

(x)、fY

(y),由定理3-2得

(x

y)

f

(x,

y)dxdy

E(

X

Y

)

f

(x,

y)dydx

y f

(x,

y)dxdy

xYyf

(

y)dyXxf

(

x)dx

EX

EY（4）由于

X、Y

独立，则

f

(

x,

y)

f

X

(

x)

fY

(

y)

,因此

(xy)

f

(x,

y)dxdyYyf

(

y)dy

EX

EYXxf

(

x)dxE(

XY

)

应用：求二项分布的数学期望。解：本题利用性质来求数学期望。

1,事件A

发生0,

事件A

发生i

1,2,,

nΧ设

i则

X

i

服从两点分布，故

EXi

p

。设Χ

~

b(n,p)，则X

X1

X2

Xnn

Xn

)

E(

Xi

)i1故

EX

E(

X1

X

2

n

n

E

i

p

npi

1量分解的方法是解题中常用的一种i

1本题中随方法。2e(

x2

y2

)21

11(2

x2

2

y2

)f

(

x,

y)

e

2

1(

x,

y

)利用二维随量的函数的期望定理2，可得

x

y

f

(

x,

y)dxdyE

X

Y

思考练习：

设

r

v

X

、

Y

独立同服从正态分布

N

(0，(

1

)2

)

，

求

E

X

Y

。2分析：由于r

v

X、Y

相互独立同分布，故联合概率分布为E

X

Y

x

y f

(x,

y)dxdy

(

x

y)e

(

x2

y2

)

dy1dxx

ydy

(

y

x)e

(

x2

y2

)

dx1

dx(

x

y)e(

x2

y2

)dy2

x2[dy

xe(

x2

y2

)

yye(

x2

y2

)

dydx

dx

x22

e

2

y

dy

222

12

1

y221e

4

dy

或设Z

X

Y

，由条件知Z

X

Y

~

N

(0

0，

2

(1)2

2

)

N

(0，1)1

2所以E

X

Y

E

Z

z

(

z)dz

z

(z)dz

00z

(z)dz

2

0z

2e dz

1

z2212思考题：设r

v

X

和Y

同分布，

X的概率分布为0，

其它23x

/

8，

0

x

2f

(x)

解：（1）由条件知

P(

AB)

P(

A)

P(

B)

,P(A)

P(B)，从而有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB

)

2P(

A)

[P(

A)]2

3/

41（1）已知事件

A

{X

a}

和B

{Y

a}独立，其中a

0且P(A

B)

3/4，求a

；（2）求 的数学期望。X

2解得P(A)=1/2

（其另一个解是3/2,舍去）,进而有P(

A)

P{X

a}f

(

x)dx

x dx

(8

a

)

aa381812223于是得a

3

4

。4

x2X

2（2）

E(

1

)

1

f(

x)dx

3例2-28

设(X

,Y

)的分布密度为0,x

0，y

0其他f

(

x,

y)

Ae(

x

2

y

)

,求：（1）关于X，Y

的边缘分布密度，并判断X，Y是否独立；（2）

Z

X

2Y

的概率分布。解：（1）由归一性,

1

f

(x，y)dxdy00e2

ydy

Aexdx解得A

2

。Xf

(x)

f

(x,

y)dy0

2ex

2

y

e

dy(x

0)12

2ex

ex

A

/

2所以关于X

的边缘分布密度为x

0x

0

xe

,Xf

(

x)

0,同理得关于Y

的边缘分布密度为

0,2e2

y

,fY

(

y)

y

0y

0由于f

(x,y)

f

X

(x)

fY

(y),故X，Y

相互独立。（2）当z

0

时FZ

(z)

0

；f

(

x,

y)

(

x2

y

)2e

,x

0，y

0其他0,（2）当z

0

时FZ

(z)

0

；当z

0

时x2

yzFZ

(z)

P{Z

z}

P{X

2Y

z}

f

(x,

y)dxdyz

/

2ox

2

y

zzxz

(zx)/

20x2

y

20ezzdx

edy

1

ey

ze故Z

X

2Y

的分布函数为FZ(z)

1ez

zez，

z

00，

z

0Z

X

2Y

的概率分布为00，,

z

0fZ(

z)

2zeez(，x2zy

),

0x

0，y

0f

(

x,

y)

其他例2-28

设(X

,Y

)的分布密度为0,x

0，y

0其他f

(

x,

y)

Ae(

x

2

y

)

,求：（1）

EX

,EY

（2）

E(XY

3X

)解：（1）由归一性,

1

0f

(x，y)dxdy

A0e

dxxe

dy2

y解得A

2

。Xf

(x)

f

(x,

y)dy0

2x

2

ye

e

dy(x

0)2

2ex

1

ex

A

/

2所以关于X

的边缘分布密度为x

0x

0

xe

,

0,2e2

y

,fY

(

y)

Xf

(

x)

0,同理得关于Y

的边缘分布密度为y

0y

0

2故

EX

1

1

,

EY

1

1

,（2）由于

f

(

x,

y)

f

X

(

x)

fY

(

y)

,故X，Y

相互独立。利用期望的性质知E(

XY

3X

)

EXEY

3EX

0.5

3

3.50,练习设(X

,Y

)的分布密度为

Ae(2

x3

y

)

,f

(x,

y)

x

0，y

0其他求：（1）关于X，Y

的边缘分布密度，并判断X，Y是否独立；（2）

Z

2

X

3Y

的概率分布。(3)

(4)EX

,

EY

E(

XY

3X

)2e2x

,

x

0

3e3

y

,

y

0(1)

fX

(x)

0,

x

0

0,

y

0，fY

(

y)

,X，Y

相互独立(2)

Z

2

X

3Y

的概率分布

f

(z)

ze

zZ

0，

z

0，

z

0(3)(4)EX

1

,

EY

12

3E(

XY

3X

)

12

13

3

12

53五、数学期望的应用例

3-9

一商店经销某种商品,每周进货的数量

X与顾客对该种商品的需求量Y

是相互独立的随

量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可获利润

1000

元；若需求量超过进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利润500

元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。分析：依题意，进货量X

与需求量Y

都服从[10，20]上的均匀分布1

，因此其概率密度为，

10

x

20f

(

x)

100，

其

它由X

与Y

相互独立知，X

与Y

的联合概率密度为

1

，

10

x

20，10

y

20f

(

x，y)

1001000X

500(Y

X

)，

X

Y

0，

其

它而此商店经销该种商品每周所得利润是与X和Y有关的，可看成X

和Y

的函数，不仿设为Z

(X，Y

)，所以该问题化为求利润函数Z

(X，Y

)的数学期望。解：依题意，设利润函数为Z

(X，Y

)，且有1000Y，

X

YZ

(

X，Y

)

EZ

z(x,

y)

f

(x,

y)dxdy

20

2010

10z(x,

y)

f

(x,

y)dxdy2010

10

10xydydx201020

5x(

x

y)dydx=……=14167（元）据统计某地区65岁的人在10年内

的例3-10人中，正常

的概率为0.98,

因事故 概率0.02。保险公司拟开办老人事故

保险,

参加者需交纳保险费

100元。若10年内因事故 公司赔偿a元,应如何定a

,能使公司可期望获益？若有1000人投保,公司期望总获益多少?解：“设Xi

表示公司从第i

个投保者身上所得的收益,i

=1~1000.则Xi

~100 100

a0.98

0.02由题设E(Xi

)1000.98

(100

a)0.02

100

0.02a

0100

a

5000公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益。公司期望总收益为1000

1000E(

Xi

)

E(

Xi

)

100000

20a.i1

i1若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.为普查某种疾病,n个人需验血。验血方案有如下两种：一、分别化验每个人的血,共需化验

n

次；二、分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时k

个人的血需化验k＋1

次。设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的。试说明选择哪一方案较经济。例3-11

验血方案的选择解：只须计算方案(2)所需化验次数的期望.不妨设n

是k

的倍数，共分成为简单计,n/k

组.1

pk1

1

pkP设第i

组需化验的次数为X

i,则Xi

1

k

+

1iE(X

)

1

p

(k1)[11

p

]kk(k

1)k1

pknkE(X)

E(Xi)i1nk(k

1)

k1

p

k

kk

1

n

1 (1

p)

(1

p)kk若

1

0,则E

(X)<n例如,

n

1000,

p

0.001,

k

10,110

1000.10

1

10

E(

X

)

1000

10.999

当(1

p)k

1/k

时,选择方案(2)

较经济.例3-12需求量是随假定在国际市场上每年对我国某种商品的量X

(单位吨)，它在[2000，4000]上服从均匀分布，设每出售这种商品一吨可挣得外汇3万元,但若销售不出而囤积仓库，每吨需保养费

1

万元。试问应组织多少货源才能使

。3X

(y

X

),

当X

yY

g(

X

)

3y，解：若预备某年出口此种商品量记为y（显然可只考虑2000

y

4000

的情况），记收益（单位：万元）为Y

，显然Y

也是随且为X

的函数。当X

y量，由定理3-1得：EY

Eg(

X

)

g(x)

f

(x)dx40002000

2000

1

g(

x)dx(4x

y)dx2000

2000

1

y

1

20004000y3ydx(

y2

7000

y

4

106

)10001令dEY

1dy

1000(2

y

7000)

0解得