大学数学《实变函数》电子教案

1、实变函数电子教案（重庆邮电大学数理学院 邓志颖 ）课程名称：实变函数学时 /学分： 48/3.0教材名称：实变函数与泛函分析基础（第三版）出版社：高等教育出版社编著者：程其襄等适用专业：数学与应用数学专业（大三上学期 ）序言：实变函数简介微积分发展的三个阶段:?创立（17世纪）：Newton （力学）Leibniz （几何）（无穷小）?严格化（19 世纪）：Cauchy, Riemann, Weierstrass（极限理论（e -N, e - 8 语言）,实数理 论）?外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维 空间得到体现）微

2、积分继续发展的三个方向：?外微分形式（整体微分几何）（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）?复数域上的微积分（复变函数）?微积分的深化和拓展（实变函数）1.Riemann积分回顾：Riemann积分的定义b af(x)dx 加0nf( i) Xii 1其中 XiXiXi 1, Xi 1 i Xi积分与分割、介点集的取法无关 .几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。2 2） Riemann可积的充要条件f （x）在a,b上 Riemann 可积f(x)dxlim11TH 0 ilim11TH 0mi1Xif (x)dx其中:M i supf (x): xi 1 x x用 inf f (

3、x): x 1 x xin0,分划T ,使得 i xi i 10,分划T ,使得所有振幅i的小区间i的总长度不超过例：Dirichlet函数不 Riemann可积.因为上积分为b下积分为aD(x)ba f(x)dx 11Tm0f (x)dx lim itiinmi1xin所以对于 分划T ,有xi所以Dirichlet函数不Riemann可积.（3）Riemann积分的局限性a）微积分基本定理0,1 Q0,1 Q.八，.八定理：若F （x）在a,b上连续，则（R） F'（t）dtaF(x) F(a)1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积;b）积分与极

4、限交换次序（一般要求一致收敛）例：设rn为0,1中全体有理数（因为其为可数集，故可把它排成序列），作0,1上的函数fn(x)x 1,2产3,|“储0 x 0,1 1,2,3,|“，n 1,2,3,|则 fn(x)在a,b上 Riemann 可积，但nim fn(x) D(x)1 x 0,1Q 不 Riemann 可积.0 x 0,1 Q故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即:limnbba fn(x)dxa nim fn(x)dx不一定成立.2.Lebesgue积分思想简介:为使f （x）在a, b上Riemann可积，按Riemann积分思想，必

5、须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积.Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划 （每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类 的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想即： 0, 作分划 m y0 yi y2 | yn M 其中 y yi 1

6、 ,m f(x) M作点集Ei x:y- f (x) yj f(x)在Ei上的振幅不会大于.n作和：simEi mEi表示Ei的长度，y i yii 1 n取极限：(L) ab f (x)dx limoimEi3 .Lebesgue积分构思产生的问题： (1)先介绍集合日(第一章集合，第二章点集)(2)集合Ei的 长度”如何定义(第三章 测度论)；(3)怎样的函数可使Ei都有长度”(第四章可测函数)；(4)定义Lebesgue积分并研究其性质(第五章积分论)；(5)将牛顿莱布尼兹公式加以推广(第六章微分与不定积分)教材：实变函数论与泛函分析基础(第三版)，程其襄等编，高等教育出版社，2010年

7、6月.参考文献：实变函数论(第二版)，江泽坚，吴智泉编，高等教育出版社，2003年7月. 周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社， 1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社，1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos,测度论(Measure theory) Rudin ,实分析与复分析 (Real and complex analysis).教时安排：第一章 集合6学时，第二章 点集6

8、学时， 第三章 测度论8学时，第四章 可测函数10学时， 第四章 积分论12学时，第六章 微分与不定积分 6学时，共六章48学时。第一章集合（总授课时数6学时）由德国数学家Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性 而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学 课程.因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教 材的第一章.不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章 仅介绍那些必不可少的集论知识.§ 1、集

9、合及其运算教学目的 引入集的概念与集的运算，使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点 De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论 证，通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算，学生应理解其概念 本节难点对集列极PM的理解.授课时数2学时一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画.就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称 为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素. &q

10、uot;一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确.以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类.以后常用大写字母 A,B,C,D,X,Y,Z”表示集合，用小写字母 a,b,c,x, y|M表示集合中的兀索.如果a是集合A的元素，则说a属于A,记作a A,或说A含有a.如果a不是集A的元素，则说a不属于A,记作a A,或说A不含有a.有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素a的集合称为单元素集或独点集，可表示为a.由n个元素ai,a2”| an所组成的集合，可表示为4,22“苗尸由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为1,2,|,n,|.当集A是具有某性质

11、P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A x|x具有性质p例如，方程X2 1 0的解x的全体组成的数集是 x|x2 1 0,实际上就是1,1.有时我们也把集x|x E,x具有性质p改写成Ex具有性质p .例如，设f(x) 是定义在集合E上的一实函数 ,a是一一个实数，我们把集x | x E, f (x) a写成Ef(x) a或 Ef a.不含任何元素的集合称为空集，记作设A, B是两个集，若 A和B的元素完全相同，就称 A和B相等，记作 A = B (或 B = A).若集合A的元素都是集合 B的元素，就称为 A是B的子集，记作 A B (或B A), 读作A包含于B (或B包含A).若A

12、 B且A B ,就称A是B的真子集，规定空集是任何集的子集.由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理1对任何集合 A, B, C,均有(1) A A;(2)若 A B,B C ,则 A C ；(3) A B A B且 B A.二集合的运算设A, B是两个集合，集合 A与B的并集或并 a|Jb x:x A或x B集合A与B的交集或交A。B x:x A且x B特别地，若 A B ,称A与B不相交；反之，则称 A与B相交.集合A减B的差集或差：A B或A B x:x A但x B当B A时，称差集 A B为B关于A的余集记作(CAB).当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A的子

13、集时，就称 A为基本集或全集，并把 A的子集B关于A的余集CAB简称为B的余集，记为BC或CB.并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个,指定了一个集合 A，此时我们称A |是以 为指标集的集族，集族A |的并与交分别定义为,使 x AA A x：A A x:，有x A 一、一 一 11例设A x:1 一x 1 -，n N,则nnn1An 1,0 ,n1An(2,1)关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)更一般地有：De Morgan公式(川小。仙)。证明(略)注：通过取余集，使 A与AC ,与 互相转换.三、集列极限设Ai,A2,|, An,|

14、是一个集合序列，其上限集和下限集分别定义为 上极限集：lim An (或limsup An ) x:x属于无限多个集合 An x:存在无限多个An,使x An nnx: N, n N,使x An下极限集：ljmAn(或liminf An) x:除去有限个集外，有x An nnx:当n充分大时，有x Anx: N, n N,有x An注:lim An n如果集列入的上极限集与下极限集相等，即lim Anlim AnAnnUrn A n例：设A 2n 0,1, A2nl1,2,则上极限集为0,2,下极限集为1.极限集则称集列An收敛，称其共同的极限为集列An的极限集，记为：lim A An单调增集

15、列极限若集列An满足An Ai( n N),则称 AJ为单调增加;若集列An满足An An i( n N),则称A为单调减少；定理2 :单调集列是收敛的1)如果集列An单调增加，则lim An n2)如果集列An单调减少，则lim An n11例 1：设廉1( 1 -,1 -),A2n(nnlim An(,n一 、一111例2：设'1-,4 T，A2n -,1n nnn, n),n N,则),血 An( 1,1n-,n nN,则lim Ann0,4),血 An(0,1/、结本节介绍了集的基本概念，集的运算和运算性质.这些知识是本课程的基础.证明两个集的相等是经常会遇到的，应掌握其证明方

16、法.De Morgan公式很重要，以后会经常用到.集列的极限是一种与数列极限不同的极限，应正确理解其概念.作业：P30 5, 7, 8练习题(1) An为一集列：(1)作B A,Bn An UAk(n 1),证明Bn为一列互不相交的集列，且UAk UBk(n 1,2,，,，)(2)若An是单调减少的集列，证明A (A A?) (A2 A3)(入。)0,并且其中各项互不相交An , lim AnUn N nAn(2) 明：lim Ann(3) lim_ Anlim AnnimAn nimAUAlim Anlim AnAnnnnnn(4) An单调递增时，有Um An n(5) An单调递减时，有

17、lim An n3.已知 A2nE,A2n 1 F,(n 1,2,)，求 lim An和 lim An ,并问 lim An是否存在?nn-n§ 2对等与基数教学目的 介绍映射，基数，等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一一对应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数，有时需要一定的技巧，因而具有一定难度通过较多的例题和习题，使学生逐步掌握其中的技巧 .本节难点证明两个集对等或具有相同的基数 .授课时数2学时1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.其中函数的定义域通常是 Rn的子集，值域是实数集或者复数集.若将函数的定义域和

18、值域换成一般的集，可得到映射的概念.定义：设X ,Y是两个非空集合，若依照对应法则f ,对X中的每个x ,均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作 f :X Y或：设X ,Y是两个非空集合，f是X Y的子集，且对任意x X ,存在唯一的y Y使(x, y) f ,则f是从X到Y的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念 .略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射(双射)在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射 .除此之外，我们还经常会遇到许多其它 的映射.例如，定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射 ，求导运算可以看作是可导函 数集到函数

19、集的映射，线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等2集合运算关于映射的性质(像集)定理1：设f:X Y,A, B,A( )是*的子集，称 f (x) :x A为A的像集，记作f (A),则有：1)A B f (A) f (B);2)f(AB) f(A)|J f(B), 一般地有 f (Ja ) J f(A );3)f(AB) f(A)f(B), 一般地有 f(口 A) 口 f(A)；证明的过程略注：f (ApB) f (A)。f (B) 一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f为单射.集合运算关于映射的性质(原像集)定理2：设f：XY,A X,C刀，C (侬丫的子集，称x: f (

20、x) C为C的原像集，记作f 1(C)(f不一定有逆映射)，则有：1)C D f 1(C) f 1(D);2)f 1(CD)f 1(C) |J f 1(D),一般地有：f 1(jC ) |J f 1(C )；3)f 1(C pD) f 1(C)f 1(D),一般地有：f 1(p|C ) p| f 1(C );4)f 1(C D) f 1(C) f 1(D);5)f 1(Cc) f 1(C)c; 16)A f 1f(A);7)ff 1(C) C;证明略.注：6), 7) 一般不能使等号成立，6)等号成立当且仅当 f为单射，7)等号成立当且仅当f为满射.3对等与势1)定义设A, B是两非空集合，若

21、存在着A到B的一一映射(既单又满)，则称A与B对等,记作A B .约定 注：(1)称与A对等的集合为与A有相同的势(基数)，记作A.(2)势是对有限集元素个数概念的推广.2)性质a)自反性:AA;b)对称 fIe： A B B A;c)传递性：A B,B C A C;例：1)N N奇数N偶数Z2)( 1,1)(,)证明：令f :xtg(-x),则f是(1,1)到(,)的映射.故(1,1)(,)注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数(对等)且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较2)若A B,则称A B;b)若A BiB,则称A B；相当于：A到B有一

22、个单射，也相当于B到A有一个满射.c)若A B,且A B,则称A B.注：不能用A与B的一个真子集对等描述.如：(1,1)( 1,1)(,)4 Bernstein 定理引理：设A: B :是两个集族， 是一个指标集，又,A B，而且A :中的集合两两不交，B :中的集合两两不交，那么：UaUb证明略*定理3: (Bernstein定理)若有A的子集A ,使B A ,及B的子集B ,使A B ,则a b.即：若 A B,B A,则A B.、一一，一 ri一一、i ，.，>*证明：根据题设，存在 A到B上的一一映射f ,以及B到A上的一一映射 g .令*A A A ,B1f(A),A2g(B

23、1),B2f(A2) ,A3g(B2),B3f(A3),由g(B) A知A2g(B1)A,而A A A,故A1与A不交.从而A1,A2在f的像B,B2不交，B1,B2在g下的像A2,A3不交.*由A3A，知A1与A3不交，故A,A2,A3两两不交.从而A1, A2,A3在f的像B1，B2,B3也两两不交，一从而 A,A2, A3, III 两两不交，B,B2,B3,| 也两两不交且 AnBn(n 1,2,|),所以Bng另外由 BkAk1(k1,2,|)，可知gBk Ak 1_ g * 又BA，所以g*BkAAki(A A1)Ak1A AkBk AA (A卜心(叫叫Bk)B证毕.注：要证A B

24、,需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证 A B,只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射例：(1,1) 1,1证明：由(1,1) 1,1 (,)( 1,1)可知，(1,1) 1,1作业：P30 9, 10练习题11 . R上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？2 .证明：若 A B C, AC,则 A B1C.3 ,证明：若 A B, A A C,则有 BB C.4.设F是0,1上的全体实函数所成的集合，而 M是0,1的全体子集所成的集合，则FNM，§ 3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有

25、最小基数的无限集,可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来，可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题，使学生逐步掌握本节难点证明集合可数.授课时数1学时1可数集的定义与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a或0123,4,5,6a1, a2, a3, a4,a5, a6 1注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的形式a1,a2,a3,a4,a5,a6Mll"例：1） Z=0,1,-1,2,-2,3,-3 |2） 0,1中的有理数全体 二0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 32 可数集的性质（子集） 定理1任何无限集合均含有可数子集.

26、证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为己.则M 3，在M 3中取一元素 食,显然e2e1.设从M中已取出n个互异元素包金，|屉，由于M是无限集，故 Mse2Mlen，于是又可以从M 向,6,“|备中取出一元素en 1, 它自然不同于e,e7,|en.所以，由归纳法，我们就找到M的一个无限子集*32,|,0|它显然是一个可数集.证 毕.这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数. 可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集 可数个可数集的并仍为可数集A 4包改,“，Bbi,b2,|,bn , CC1,C2,C3,|假设A,

27、B,C两两不交，则A BI,b2,|,bn,a1,a2,|（当集合有公共元素时，不重复排）ai,G,a2,C2,a3,q,III关于可数个可数集的并仍为可数集的证明11111,111,111 III当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素;因此An是可数集。说明：与Hilbert旅馆问题比较；如何把无限集分解成无限个无限集合的并例全体有理数之集Q是可数集首先0,1中的有理数全体=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,是可麴集，Q （Q 0,1） （Q 1,0） （Q 1,2） （Q 2, 1） HI所以Q是可数集（

28、可数个可数集的并）说明：有理数集在直线上稠密，但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点（对等意义下）.3可数集的性质（卡氏积）定理：有限个可数集的卡氏积是可数集只须证：设A,B是可数集，则 A B也是可数集（利用数学归纳法即得有限个乘积的情形）A从而AB （x,y）|x A,y B x A（.x；y） | y B）B也是可数集（可数个可数集的并）x固定，y在变例1平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集 变证明：平面上的圆由其圆心（x,y）和半径r唯一决定，从而A Q Q Q (x,y,r)| x,y Q,r Q )例2代数数全体是可数集整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数

29、数的实数成为超越数。设P是整系数多项式全体所成之集 ，Pn是n次整系数多项式全体Pn anxn an ixn 1 I" ao |ai Z,i 1,2,|,n,an 0首先 P0 1 Z , Pn （Z 0） Z 乙田| Z （有限个可数集的卡氏积）故p U R为可数集（可数个可数集的并）由代数基本定理知任意 n次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立例3设A是一个无限集，则必有 A 人，使人8人，而人人可数证明：由A是一个无限集，则 A包含可数子集el ,e2, e3，111 ,令e,e2,e3,| , A* A则*A且*A, AAoUe?©,%，' Ao |J

30、 q,生©,A:0©©，|是可数集，证毕 小 结 本节利用一一对应的思想，给出了集的基数和可数集的定义 .集的基数是有限 集元素的个数在无限集的推广 .可数集是具有最小基数的无限集 .可数集经过有限或 可数并运算后仍是可数集.有理数集是一个重要的可数集作业：P30 12, 15练习题1、设A中的元素是直线上两两不交的开区间，则A为至多可数集.2、怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？3、证明任一可数集的所有有PM子集全集是可数集4、证明递增函数的不连续点白全体为至多可数集§ 4、不可数集合教学目的 介绍不可数集概念及其属性.证明相关问题具有重要意

31、义 握.本节要点 区间0,1是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用R集，相应的证明技巧较强，通过较多的例题和习题，使学生逐步掌本节难点 证明集合不可数 授课时数1学时不是可数集的无限集称为不可数集.1不可数集的存在性定理1 区间0,1是一个不可数集证明：假设0,1可数，则 0,1上的点可以排成一个无穷序列:X1,X2,|,Xn,|、一八1记0,1为I。，把I。三等分于其中取一不含X的闭区间，记为I1，则I1的长度| I1 | .再3 1. 一 .、把I1三等分，取其中不含 x2的闭区间，记为I2,则| I2 | ,这样下去，可以得到一列闭3区间In满足：I。I1 I2 II

32、In |",| In I J,4 In3故In形成闭区间套，因此存在唯一点X0In(n0,1,2,|),而由假设，n°N使得X0In0 ,这与X0In(n 0,1,2,)矛盾，故0,1是不可数集.2连续势集的定义定义1：与区间0,1对等的集的基数称为连续基数(连续势)，这个基数记作c.推论1 c aN 1,2,3,”，故c a.证明： 由定理 1.4.1 知，a c.但 0,11,-,1,|12 3证毕.推论2开区间0,1的基数也是C.定理2 全体实数所成之集 R的基数是C. 2x 1一证明令 (x) tan- , x (0,1),则是0,1至ij , 上的映射,所以R的基

33、数是c .推论1全体无理数所成之集的基数是c .3连续势集的性质(卡氏积)(1)有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集定理3 设 A (Xi,X2,|,Xn,|)：Xi(0,1),则 A (证明略)推论 n维Euclid空间Rn的势为(2)连续势集的性质(并集)连续势集的(有限个，可数个，连续势个)并仍为连续势集定理4实数列全体所成之集 E的基数是C.(证明略)4无最大势定理定理5 (Cantor ):设A是一个任意给定的非空集合，则2A A.证明：首先A与2A的一个子集对等是显然的，只考虑 A a: a A 2A即可。假设A 2A ,则存在A到2A上的一一映射：A 2A，令A* a : a

34、 A, a (a),由于A是A的子集，即 A2A ,因此存在a A ,使得 (a ) A(1)若a*A*,则由A*的定义，有a*(a*)A*若a*A* (a*),则由A*的定义，有a*A*这是矛盾的.故2A A.5可数势与连续势定理6： 2NR或0,1N R (即 2 0)证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N与0,1 N对等；下证：0,1N对任意白0,1N,令f() 邛;易知f:0,1N0,1是单射，所以n 1 3n0,1Nan另一万面，对x (0,1)，设x , an 0,1 (有无穷多1)(即：将x写成二进n 1 2制小数0. a1a2a31”,且要求不以0为循环节

35、).作 g：(0,1)0,1N；x|40,1N,其中(n) an,n 1,2,3,1“(即将小数0. aia2a3 J”对应至U序歹U ai, a2,a3,|)易证g：(0,1)0,1N是单射，因此2N,由Bernstein定理知2N.连续统假设Cantor认为在 0与之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得0 A但Cantor证明不了，这就是著名的Cantor连续统假设。Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。/、结.直线上的区间是典型的不可数集.证明一个给定的集是可数集或不可数集是应当掌握的基本技巧.作业：P30 17, 18练习题1 .1

36、.直线R中任何包含非空开区间的点集都具有连续势2 .设A B ，则A, B中至少有一个势为.3 .设An，则An中至少有一个势为.n 14 . 0,1上的全体连续函数集E的势为第二章 点集 (总授课时数6 学时)教学目的： 欧氏空间Rn 上的测度与积分是本课程的主要研究对象. 本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念. 通过本节的学习 , 可以熟悉欧氏空间上的开集, 闭集和 Borel 集 , Cantor 集等常见的集, 为后面的学习打下基础.本章要点 由 Rn 上的距离给出邻域, 内点 , 聚点的定义, 从而给出开集, 闭集的定义.由开集生成一个- 代数引入 Borel 集 . Cantor 集是

37、一个重要的集 , 它有一些很特别的性质 . 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用 . 充分利用几何图形的直观 , 可以帮助理解本节的内容.本章难点Borel 集、 Cantor 集的性质 .授课时数6学时本章先介绍Rn 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造. 最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.§ 1度量空间，n维欧氏空间教学目的 1 、深刻理解Rn 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用 .2 、 理解距离的性质、 点到集合的距离、 两集

38、合之间的距离、 集合的直径等概念，理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3 、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念.本节难点度量空间的概念.授课时数1 学时度量空间定义 1 ：设 X 为一非空集合， d ： X X R 为一映射，且满足1) )d (x,y)0 ， d(x,y) 0xy (正定性)2) d(x,y)d(y, x)(对称性)3) d(x,y)d(x,z)d(z, y)(三角不等式)则称(X,d)为度量空间 例1:(1)欧氏空间(Rn ,d),其中 d(x,y) J fxyiy2(2)离散空间(X,d),其中d(x, y)(3) Ca,b空间(Ca,b表示闭区间a,b上

39、实值连续函数全体),其中d(x, y) max | x(t) y(t)| a t b邻域定义2：称集合p|d(P,P0)为P0的 邻域，并记为U(P0, ) . P0称为邻域的中心，称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为P0的邻域，并记为U(P°).不难看出：点列Pm收敛于Po的充分必要条件是对任意0,存在N ,当m N 时有：Pm U(Po).容易验证邻域具有下面的基本性质：1) P U(P)；2)对于 Ui(P)和Uz(P),如果存在P Ui(P) Uz(P),则存在U3(P) Ui(P) U2(P)3)对于 Q U(P),存在 U(Q) U (P);4)对于

40、 Q P ,存在U (Q)和U(P)满足U(Q) U(P)定义3:两个非空的点集 A, B间的距离定义为d A,B inf d P,QP A,Q B如果A,B中至少有一个是空集，则规定 d A,B 0;若B X ,则记d A,B d A,X显然，若A B，则 d A,B 0。定义4:一个非空的点集 E的直径定义为:当E 时，规定E supd P,QP,Q E0。显然， E 0 E至多只有一个元素。若 E ，则称E为有界集。定义5:称 Xi,X2,|Xn |XiA,i 1,2,|,n为集合A的直积，记为nXi X2 m Xn 或Ain定义6：若I Ii ,其中Ii ai，b 为直线上的区间，则称

41、I为n维欧氏空间Rn i 1中的区间；如果所有Ii都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称I是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的Ii都是直线上的有界区间，则称I是Rn中的有界区间；如果至少有一个Ii是直线上的无界区间，则称 I是Rn中的无界区间注：R2中的有界区间即矩形， R3中的区间即长方体，因此Rn中的区间有时也称为“长 方体”.显然，E为有界集的充要条件是存在有界区间I E或E为有界集的充要条件是存在有界邻域E0 U(x0,)n，称I|(bi ai)为区间I的“体积”，即i 10B寸，aaR2中的区间体积即矩形面积=长*宽，R3中的0 0,当 an定义7：I Ii . Iia

42、i,bii 1nI I i .当然，这里约定0 i 1注：R1中的区间体积即区间的长度，区间体积即长方体体积=长*宽x高，因此规定Rn中的区间体积=n个边长的乘积，既是合理的又是自然.§ 2、聚点、内点、界点教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E ,会求这些相关的点集.3、了解 Bolzano-Weierstrass 定理.本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概 念.本节难点 对一个已知的点集 E,求这些相关的点集.授课时数1学时欧

43、氏空间中各类点的定义(1) Po为E的内点：(2) Po为E的外点：(3) Po为E的边界点:0,使得U (P0, ) E ,记为Eo0,使得U(F0, )pE , E的外点的全体记为 Ec. c0,有U (Po, ) E且U(Po, ) E ，记为 E(4) Po为E的聚点：导集，记为E'(5)Po为E的孤立点:o,有U(Po, ) (E po), E的聚点的全体称为 E的o,使得 U(Po, ) E po(6) Po为E的接触点:o,有 U(Po, ) E注：聚点、边界点不一定属于 E,内点、孤立点一定属于 E.(由定义可知E E E的孤立点全体 E E E E._ _一. 一 ，

44、 '例 1 ： (1)令 E Q ,则 E E E R, E"(2)令 E，则E0,.1对一切一(kk1,2,3,11|)均为E的孤立占八、聚点的等价定义定理1下面三个陈述是等价的:(1)Po E'(2)对 0, U(P0, ) B E(3) E中有各项互异的点列R RP0,k 1,2,3,|,使Pk证明(1)(2)是显然的.Po k(2)(3):因为 U P0,1 P0U P0,1 PoE,则P E 且 PiP0.令 1min d P,P0 ,1 ，则U P0, 1中至少有一点P2 E且 2P2Po, P2 P1.令 2 min d P2,Po ,1，则 U P0,

45、 2 中至少有一点 P33P3P i 0,1,2 .这样继续下去，便得到点列Pk且满足要求(3)(1)：0,存在自然数k0,当k ko时，有R U P0,，即U R, E为无限集，故Po E'.三、开核、边界、导集之间的关系定理2 设A ? B，则 A' B', a0 B° , A B .定理 3 A B ' A' B', AB A B证明：(1)因为 A A B,B A B,由定理 2 知，A' A B',B' A B '从而A' B'P B'.于是i 0,使20 ,使取 min

46、 1,U P, P这说明P AA B '.另一方面，任取U P, 1U P, 22 ,则A B U P,B ',这与P A B方面，即有 A B 'A B A B 'P A B ',若 PPA,PB,PAU'矛盾.所以P A'A' B'.A B A' B'A' B',则 P A'且P, P BA A' B B'A B.证毕定理4 ( Bolzano-Weierstrass定理)Rn中的有界点列必有收敛子列.(证略)作业：P492, 3, 4, 5练习题1 E是R1与R

47、2上的全体有理点，在 R1与R2中分别看E时，E,E,E0,E各是有哪些点构 成的.2 设 A ? B，证明 A' B', A0B0 , A B .§ 3、开集、闭集、完备集教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面的定理）.2、理解Heine-Borel有限覆盖定理.本节要点开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理本节又fl点Heine-Borel有限覆盖定理.授课时数2学时一、开集、闭集的定义若E0E ,则称E为开集（E中每个点都为内点）若E E ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到 E外）,_,_ _'汪：由于E E E

48、 E E的孤立点全体，故E E等价于E E说明：要证E是开集，只要证 E E： （ E：E显然）要证E是闭集，只要证E' E或E E （E E显然）例1：开区间（a,b）为开集证明：任取 x （a, b）取 min x a , x b,则 U（x, ）（a, b）从而 x 是（a,b）的内点，故（a,b）是开集。例2：闭区间a,b为闭集.证明：任取x a,bc,取 min x ax b,则 U(x, )a,bc,从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集.即：A为闭集当且仅当 A中的任意收敛点列收敛于A中的点.定理1对任何ERn, E；是开集，E和

49、E都是闭集.证明：(1) E；是开集.只要证E： (E )任取x E：,由内点的定义知0,使得U(x, ) E .任取 y U(x,),取' d(x,y),则 U(y, ') U (x, ) E,从而 y 为 E的内点，从而U(x, ) E：,所以x为E；的内点，即x (E：)：,从而E：(E：)l,即E)为开集.(E'是闭集。只要证 E' E''任取x E',由聚点的定义知 0,有U(x, )(E' x),取x' U (x, ) (E' x),有 x' E',(当'min d(x,x

50、9;),d(x,x')时，有 x U (x , ) U (x,),从而 U(x, ) (E x) ，即 x为 E 的聚点， ' 从而E' E'oE可得E为闭集.利用(E)' (E E')' E' (E')' E' E' E注：E；为含于E内的最大开集。二、开集与闭集的对偶性a) (E)c (Ec)：面(E')cb)若E为开集，则Ec为闭集；若E为闭集，则Ec为开集。证明：设E为开集，即 x E,0,使得 U(x, ) E ,从而 U (x, ) Ec ,从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触

51、点一定在Ec内，从而CE CE ,即Ec为闭集.设E为闭集，即E E ,任取x Ec,假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少 有一个属于E的点，从而x为E的接触点，由E为闭集可知x在E内，这与x Ec矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。三、开集的性质1)空集，Rn为开集；2 ) 任意多个开集之并仍为开集；3) 有限个开集之交仍为开集。注： 无限多个开集的交不一定为开集，如：En(0,1/ n),Rn 中只有空集和Rn 既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如： E 0,1)四、 闭集的性质1)空集，Rn为闭集；2)任意多个闭集之交仍为闭集；3) 有限个闭集之并仍为闭集。注：

52、无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En0,11/ n说明： 不仅Rn 中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理.五、完备集n定义 1 设 E R ，如果 E E ，称 E 是自密集 .注： ( 1 )如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集.(2) 没有孤立点的集合是自密集.定义 2 设 E Rn ，如果 E E' ，则称 E 为完备集或完全集.注： 完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集.作业 ： P49 6, 8, 11练习题1 、 证明每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并.2 设 f (x) 是 Rn 上的实函数，证明： f (x) 是连续函数的充分必要条件是对任意开集 11nGR1, f 1(G) 是 Rn 的开集 .3、设f(x) 是直线上的实值连续函数，则对任意常数 a ， E x | f(x) a 是开集，而E1 x | f (x) a 是闭集 .E4、设 f(x)在 E 上有te义，称(x0) limsup| f (x ) f(x)|:x,xO(Xo,