基于预测的邮轮定价策略

--------摘要轮公司需要探讨和解决的问题。2sheet2；579899元；第五关键词：多项式拟合，灰色预测，时间序列非线性规划问题重述120025050020%10（详见sheet1-sheet5），sheet2。（至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。）sheet3。sheet4预测出公司每周给出的预订平均价格。8在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱（即原订二等舱游二等舱问题分析对于问题一，由于至少需要三种方法进行预测这里我们通过多项式数据拟合、时间序列模型、灰色预测这三种手段进行预测。进行求解预测；建立相应灰微分方程和直线趋势预测。41-146增多，我们仍然采用第一问中的多项式拟合进行数据的预测。在得到对应的预测的公司给的预定平均价格。（实际会预定船票的人模型，以此解决第八航次的最大预期收益。模型假设假设所有数据均无误；每种仓位每周预定价格在价格区间内服从平均分布；当平均价格为上限时，有意愿购买人数就是实际人数；符号说明SSt一次指数平滑值S(2)t二次指数平滑值x初始预定人数0x 航次yyf(x)拟合的函数，用于预测M1t一次移动平均数二次移动平均数M2ta平滑系数tbt平滑系数Vmax(t)加权系数tVtmin(t)vttF(v) 在定价v下的乘客购票概率t tM ttDttEttpaR升舱所需加价目标利润函数模型建立与求解问题一：方法1：多项式拟合sheet26图，判断整体趋势再设计合理的拟合函数。这里这里先做变换x15x,(x14,13,...,2,1)，以第一次的数据作图得到：曲线趋势近似指数曲线，.这里我们以第一次的头等舱数据进行拟合，得到下图：由此我们得到第一次头等舱的预定数量的拟合十次多项式：y0.21x36x217x10结果分析：如图所示拟合效果还较为理想，残差模仅为28.16。我们由此认为该函数可以进行预测。下面对表二中的数据进行多项式拟合，结果如下：头等舱：头等舱头等舱航次5拟合函数y0.095x32.4x25.1x6.96y0.024x31.3x22.7x3.77y0.71x30.45x22.2x2.28y0.0064x31.8x24.3x1.89y0.032x31.6x24.3x1.41010y0.29x31.8x25.9x0.56二等舱：二等舱二等舱航次5拟合多项式函数y0.53x312x231x146y0.42x39.5x221x107y0.3x37.9x213x118y0.15x35.3x27.5x8.79y0.076x34.3x22.6x2.910y0.27x31.4x22.8x0.86三等舱：三等舱三等舱航次5拟合函数y0.1x31.7x231x476y0.071x31.4x231x2.17y0.25x35.1x28.9x328y0.079x31.7x226x149y0.28x34.6x222x2610y0.71x37.1x248x44通过代入数据到拟合多项式函数中，我们求解得到：航次头等舱二等舱三等舱第五航次1453381088第六航次241419485286425/515第七航次137474441145/460183/470第八航次178367400198422434217477465235/493第九航次169330426196393451225459468254/474//467第十航次119251382169336418233438525313//560/////（红色字体表示与测试超过理论最大值,划线部分由于超过理论值，舍去。）方法二：时间序列模型由方法一中的图可知，时间序列近似是现行的增加，考虑到简单平移移动的滞后性，我们采用趋势移动平均法来进行预测。我们假设时间序列从某时刻开始具有线性趋势，这在图中恩能够大致看出。由此我们可以设出直线趋势预测模型：ytm

abm,m1,2,...其中t为当前星期数，m为由t致预测期的星期t t数，a,b

是平滑系数。t t我们引入如下概念：1.1M1 (yy ...y )t N t

t

tN12.二次移动平均：1 1M2 (M1M1 ...M1 )M2 (M1M1 )t N t

t1

tN1

t` N

tN如下推导，取m1,2,...,(N1，得到ayt ty ybtt t：y

t

y2bt t...y ytNt

(N1)bt利用一次移动平均数化简，可以得到：a2M1M2t t t 2bN1(M1M2)t t t由此可算出平滑系数。从而确定预测函数。预测结果如下：航次头等舱二等舱三等舱第五航次218424516第六航次223417509247435/第七航次235468468第八航次283/157//357513/403183399448207444479232486520第九航次129326455155377510176428/200479/221//第十航次102310382130375415151436466177500503199//224//由上表的结果显示，预测效果仍然无法令人满意。方法三：灰色预测方法在建立模型前首先进行级比检验，这里仍然以第五次的头等舱的数据为例，首先列出参考数据列x(0)(x(0)(0),x(0)x(0)(2),x(0)x(0)(4),x(0)x(0)(6),x(0)(7),x(0)x(0)(9),x(0)x(0)(11),x(0)(12),x(0)(13),x(0)(14))首先进行级比检验(k)

x(0)(k1)

2 2，发现对于(k)(e ,e

)，均能满足该x(0)(k)要求，所以下面建立灰色预测模型：首先将参考数据列做一次累加的到：

15 16x(1)(x(1)(0),x(1)(1)...,x(1)(14))(x(1)(0),x(1)(0)x(0)(1),...,x(1)(13)x(0)(14))x(1(ki0

x(0)(i),(k，建立均值数列：z(1)(k)0.5x(1)(k)0.5x(1)(k1),k1,2,...,14，由此建立灰微分方程：x(0)(k)az(k)b,k相应白化方程：dx(1)ax(1)(t)b，dtz(1) 记u(a,b)T,Y(x(0)x(0)，B ... ，有最小二乘法z)1) J()YB)TYB)达到最小的(BTB)1BTYb b)(k)(x(0)) )eak ,k,,...13，a a(0)(k))(k))(k)，求解的到航次头等舱二等舱三等舱第五航次218423514第六航次229412514265423/第七航次第八航次260//168///368476//428209428/第九航次260/141//345//452183424518234/////第十航次/121/344/388177462437251/507/////////显然，灰色预测效果很不好，可能是由于有的地方已知数据量太少而预测数据过多造成，几乎不能达到预测效果。问题二：这里所知十个航次的三中仓位十四周的部分预定价格，这里我们仿照问题一的法一，利用多项式拟合。我们设出多项式函数：f(x)am

xma

m1

xm1...a1

xa0

来进行拟合，通过已知数据拟合得出系数a，再对未知的进行预测。i这里我们为了保证拟合的良好效果并且符合数据的变化趋势，我们采用三次多项式进行拟合。头等舱：航次航次5多项式表达式f(x)2x39.7x272x15166f(x)0.2826x32.515x281x15737f(x)0.0272x38.2751x2116x14988f(x)1.1247x39.796x244x15409f(x)0.4992x31.5559x279x158510f(x)1.1616x39.6212x237x1531二等舱：55f(x)0.57x35.3x239x10336f(x)0.18x39.6x2110x10237f(x)0.1x33.1x269x10458f(x)0.98x37.8x246x10469f(x)0.97x35.6x269x101210f(x)2.13x318.7x217x1053三等舱：55f(x)0.5994x38.2x26.8x6896f(x)0.7538x31053x21.4x6977f(x)0.6573x39.23x20.5x7028f(x)0.8778x311.8x22.8x6869f(x)0.9936x314.64x225.3x74010f(x)1.2205x317.02x225.3x711通过上面三个表中所得的各个航次不同仓位的价格拟合函数，可以求得sheet3中空格处的预定价格，结果下表：航次头等舱二等舱三等舱第五航次16281053746第六航次1580122680314381175711第七航次165112539011547119882414251129714第八航次17121191914153510278341296809715989529550第九航次1720129295716011157910144697082712527297021016413538第十航次179611679731701963939155666186713532697491085/577747/343（红色字体为预测的不在价格区间的价格。）问题三：sheet4据均有缺失，我们先要补全每航次每周意愿订购人数。为了补全数据我们采用时间序列模型进行预测。由于一次指数平滑法再出现直线趋势时的滞后缺点，我们选用二次指数平滑法进行建模预测。y,y1 2

为时间序列，01，其中有一次平滑公式：St t

(1)St

St

(yt

S，由此建立预测模型：t1S1t t

(1)S1t1S2S1(1)S2t t t在趋势类似直线时，我们有直线趋势模型：ytm

abm,m1,2,...t ta2S1S2t t t (S1S2)t 1 t t由此进行预测。为求出各周的模拟值，我们取m1这里我们通过选取第四航次的数据进行验证，发现加权系数选用0.2时，预测结果与实际数据最接近。下面均选用0.2，具体运算结果如下：得到对应的每航次每周意愿预定人数。头等舱补全每航次每周意向预定人数的数据。得到如图：头等舱二等舱三等舱同样方法，我们能预测出公司的定价。结果如下所示;头等舱二等舱三等舱。三等舱问题四：预期售票收益是由每航次各个周意向预定人数和和相应的周预定价格所CiiTDt

，实际的总收益为Et

，t表示具体的销售期内的某一周，vt

是在该周内定的预售票的价格，Vmax(t)

表示第t周的价格区间的上界，Vmin(t)

表示第t周的价格区间的下界，F是顾客真正购买预定售票的概率，F(v)表示在该定价下真正会购买预售票的概率。Mt t表示该周内有意向购买预售的人数。sheet4F(v。tF(vt

v)V

Vmin(t)Vmax(t) min(t)由此可得到第t周的实际需量：DMt t

F(vt

)Mt

vV

Vmin(t)Vmax(t)tM

min(t)EvDV

t (v2vV )，t t t

max(t

Vmin(t

t t min(t)每次航行的总收益为E：E14Ett0利用次模型，可解得第八次航行的最大预期收益为：579899元。问题五：0paa0,p1ay,p0，（y为差价）可以得到关系式：p1

01,a(0,y)a y即pa1,a(0,y)y记三等舱升二等舱、头等舱，和二等舱升头等舱需要的加价分别问aaa，那1 2 3么由上面的分析可知相应舱的升舱人数占本舱中人数百分比百分比为api

i 1,(i1,2,3).yiy,y,yxxx于是可得增加利润的目标函数

1 2 3

1 2 3 a a a Raxp

ax

ax

ax1 1ax2 1ax3 113 1

23

32

13

y 231

y 32 y2 3相应的约束条件为 x

a2

axx

250x y 2 y 3 1 2 3xxxp x

250 2 31 3 2 2

x xxxpx

450

2 a3a

4502 2 3 3

y 3 y 1 30p,p,p 1 2 3

30a

1,0a

,0a

yLingo

1 1 2 2 3 3第一航三升二加价第一航三升二加价205第六航次三升二加价208次三升一加价870三升一加价896二升一加价494二升一加价509第二航三升二加价220第七航次三升二加价204次三升一加价931三升一加价885二升一加价507二升一加价505第三航三升二加价208第八航次三升二加价213次三升一加价910三升一加价875二升一加价497二升一加价502第四航三升二加价220第九航次三升二加价215次三升一加价926三升一加价909二升一加价491二升一加价497第五航三升二加价199第十航次三升二加价206次三升一加价950三升一加价867二升一加价558二升一加价487模型优缺点优点：通过理想化的假设，使得模型简洁。模型具有一般性，通过修改参数即可套用到别的模型的预测。缺点：1.由于采取理想化的假设，建立的简单模型，求解中会有与实际数据的偏差。参考文献：[1]姜启源数学模型 北京，高等教育出版[2]韩中庚数学建模方法及其应用北京，高等教育出版[3]司守奎数学建模算法及应用北京，国防工业出版附件：MATLABformatlongn=length(X0);sigma=X0(1:n-1)./X0(2:n);range=minmax(sigma);X1=cumsum(X0);fori=1:n-1B(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1));B(i,2)=1;Y(i)=X0(i+1);endu=(B'*B)^(-1)*B'*Y';a=u(1,1);b=u(2,1);d=b/a;c=X0(1)-d;X2(1)=X0(1);X(1)=X0(1);fori=1:n-1X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;X(i+1)=X2(i+1)-X2(i);endfori=(n+1):(n+k)X2(i)=c*exp(-a*(i-1))+d;X(i)=X2(i)-X2(i-1);endfori=1:nerror1(i)=X(i)-X0(i);error2(i)=abs(error1(i))/X0(i);endC=std(error1)/std(X0);rho=1-(1-0.5*a)/(1+0.5