剩余定理问题

剩余定理问题剩余定理问题剩余定理问题xxx公司剩余定理问题文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度爱上数学剩余定理问题——基础学习一、解答题1、剩余定理基础知识【答案】2、余数特性的基本应用例1：5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数【答案】79【解题关键点】由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=64×79。由性质1知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。【结束】4、多个余数的问题例1（余同）：五年级两个班的学生一起排队出操，如果9人一排，多出一人；如果10人排一行，同样多出一个人。这两个班最少共有多少人（ ）A．51 B．71 C．91 D．101【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中余同的情况，即人数减去一人的话就是9和10的公倍数，9和10的最小公倍数是90，因此两个班最少共有90+1=91人。余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。【结束】5、多个余数的问题例2（和同）：袋子里有一百多个小球，五个五个取出来剩余4个，六个六个取出来剩余3个，八个八个取出来剩余一个，问袋子里面有多少个球（ ）A．109 B．119 C．129 D．139【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的和同的情形，份容易得出9是满足以上两个条件的最小自然数，由于袋子里面有一百多个球，因此只需要加上5、6和8的最小公倍数120即可，即袋子里面有9+120=129个小球。和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。【结束】6、多个余数的问题例3（差同）：:把几百个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份7个余6个。这堆苹果共有多少个（ ）A．111 B．143 C．251 D．503【答案】D【解题关键点】此题为剩余定理问题中差同的情况，即苹果数加上一个，就是7、8和9的公倍数，而7、8和9的最小公倍数数504，正好在几百的范围内，因此这堆苹果有504-1=503个。【结束】7、多个余数的问题例4：一个自然数被6除余4，被8除余6被10除余8，那么这个数最小为多少（ ）A．58 B．66 C．118 D．126【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况，这个自然数加上2后，就能够被6、8和10整除，而6、8和10的最小公倍数是120，因此，这个数最小为120-2=118.【例】一个数被4除余1，被5除余2，被6除余3，这个数最小是几（ ）A．10 B．33 C．37 D．57【答案】D【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况，这个数加上3后，为4、5、6的倍数，而4、5、6的最小公倍数为60，因此这个数最小为60-3=57。10、余数关系式和恒等式的应用例1：两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少（

）

【答案】选D。【解题关键点】余数是11，因此，根据余数的范围（0≤余数＜除数），我们能够确定除数＞11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商＋余数≥12×商＋余数=12×5＋11=71，因此被除数最小为71，选D。【结束】11、余数关系式和恒等式的应用例2：有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是A.216

B.108

C.314

D.348【答案】选C。【解题关键点】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数，有A=B×5+5=(B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，