万有引力理论的成就讲义-高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

PAGE74．万有引力理论的成就一、中心天体质量和密度的计算1．“g、R法”：（1）条件：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。（2）质量公式的推导：如图7-4-1所示，设天体的质量为M，天体表面物体的质量为m，天体表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略天体的自转。当物体放在天体表面上时应有，整理得。（3）密度公式的推导：天体的体积为，结合质量公式，根据密度公式得：。规律方法在“g、R”法求天体的质量和密度中：（1）已需知中心天体表面的重力加速度g和天体半径R；（2）质量公式：，密度公式：。2．“T、r法”：（1）条件：已知卫星的周期T和卫星的轨道半径r。（2）质量公式的推导：如图7-4-2所示，设中心天体的质量为M，卫星的质量为m，卫星的周期为T，卫星的轨道半径为r，万有引力常量为G。根据万有引力公式有【或根据周期表达式】，整理得。由中心天体质量公式可知，只要测出卫星的周期和轨道半径即可求出中心天体的质量，不需要接触天体即能测出中心天体的质量，足见科学的神奇。（3）密度公式的推导：天体的体积为，结合质量公式，根据密度公式得：。由推导公式可知，计算中心天体密度时，除需知道卫星的周期和轨道半径外，还需知道中心天体的半径。（4）卫星绕中心天体表面运行：当卫星绕中心天体表面运行时，，中心天体的密度公式变为。由中心天体密度公式可知，只要让卫星绕中心天体表面运行一周，测出卫星的周期T，即可计算出中心天体的密度，科学就这么神奇！规律方法在“T、r”法求天体的质量和密度中：（1）天体密度的计算公式：，，,；（2）只能求被环绕的中心天体的质量，不能计算环绕物体的质量；（3）中心天体的质量公式为，中心天体的密度公式为；（4）知道卫星的周期T和轨道半径r即可求出中心天体的质量；（5）求中心天体的密度时，除知道卫星的周期T和轨道半径r外，还需知道中心天体的半径；（6）当卫星绕中心天体表面运行时，中心天体的密度公式为，只要知道卫星的周期即可。例题1假设在半径为R的某天体上发射两颗该天体的卫星，已知万有引力常量为G。卫星A贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，卫星B距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的平均密度为（）A．B．C．D．解析：根据卫星A可知天体的密度为。根据卫星B可知天体的密度为，故A、C正确；答案：AC3．其他方法：在卫星的周期T、轨道半径r和线速度v中，根据公式,只要知道其中两个都可以求出第三个，所以只要知道其中两个都可以求出中心天体的质量。（1）“v、r法”：根据公式,结合公式，消去T得，密度公式为。或根据公式和求中心天体的质量和密度。（2）“v、T法”：根据公式,结合公式，消去r得，密度公式为。规律方法（1）求中心天体质量的基本方法是万有引力定律，只是题设条件不同所用公式不同；（2）在卫星的周期T、轨道半径r和线速度v中，只要知道其中两个就可以求出中心天体的质量。或者说，只要能直接或间接知道卫星的周期和轨道半径时，一定能计算出中心天体的质量。（3）求中心天体的密度时，除需知道卫星的周期T、轨道半径r和线速度v中的两个外，还需知道中心天体的半径（特例：卫星在中心天体表面运动时，只知道卫星周期即可）。或者说，只要能直接或间接知道卫星的周期和轨道半径，又知道中心天体的半径，一定能计算出中心天体的密度。例题2通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是（）A．卫星的速度和角速度B．卫星的质量和轨道半径C．卫星的加速度和角速度D．卫星的运行周期和轨道半径解析：只要能直接或间接知道卫星的周期和轨道半径时，一定能计算出中心天体的质量。故D正确；已知角速度ω，根据可计算出卫星的周期，根据可以计算出卫星的转动半径，中心天体质量表达式即可求出冥王星的质量，故A正确；卫星的质量在求中心天体的质量时无用，故B错误；根据可计算出卫星的周期，根据可以求出卫星的转动半径，故C正确。答案：ACD例题3已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（）A．月球的质量B．地球的质量C．月球的密度D．地球的密度解析：“在卫星的周期T、轨道半径r和线速度v中，只要知道其中两个就可以求出中心天体的质量”，现已知卫星的周期T和月球中心到地球中心的距离R，故可以求出地球的质量，但不能求出环绕物体（月球）的质量，更不能求出环绕物体的密度，故A错误，B正确，C错误；要求地球的密度，还需知道地球的半径，故D错误。答案：B二、发现未知天体1．海王星的发现：18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中第7颗行星——天王星的实际运动轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，人们预言在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星。英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星，海王星也被称为“笔尖下发现的行星”。2．哈雷彗星的“按时回归”：哈雷彗星是人类首颗有记录的周期彗星，因哈雷（1656-1742）首先测定了轨道并成功根据万有引力定律预言回归成功而得名。在1682年，夜空中出现了一颗样子十分奇怪的、特别大的彗星，光亮异常。这颗特大的彗星引起了与牛顿同时代的英国天文学家哈雷的极大兴趣。他计算出：这颗彗星是围绕太阳运行的一个天体，它的轨道呈椭圆形。最令人兴奋的是，他发现这颗彗星每隔76年就要光临太阳系一次。他大胆地推想：1682年的大彗星也就是1531年和1607年出现过的大彗星，并且进一步作出了科学的预言：76年以后，也就是1758年，曾在1682年引起人们莫大恐慌的大彗星，将再次出现于天空。临近1758年岁末，虽然哈雷本人早已不在人世，然而在圣诞之夜，那颗大彗星却应照了哈雷的预言。所以，哈雷彗星被称为准时回归的彗星。3．海王星的发现和哈雷彗星“按时回归”的意义：海王星的发现和哈雷彗星“按时回归”确立了万有引力的地位，也成为科学史上的美谈。三、卫星的运动参量1．与卫星质量无关的物理量：（1）卫星的线速度：根据可知，，卫星轨道半径r越小，距离中心天体越近，线速度越大。如图6-4-2所示，卫星A的线速度大于B的线速度。（2）卫星的角速度：根据可知，，卫星轨道半径越小，距离中心天体越近，角速度越大。如图6-4-2所示，卫星A的角速度大于B的角速度。（3）卫星的周期：根据可知，，卫星轨道半径越大，距离中心天体越远，周期越大。如图6-4-2所示，卫星B的周期大于A的周期。（4）卫星的加速度：根据可知，，卫星轨道半径越小，距离中心天体越近，加速度越大。如图7-4-2所示，卫星A的加速度大于B的加速度。例题4把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星（）A．周期越小B．线速度越小C．角速度越小D．加速度越小解析：根据周期表达式可知，离太阳越远的行星，周期越大，故A错误；根据线速度表达式可知，离太阳越远的行星，线速度越小，故B正确；根据角速度表达式可知，离太阳越远的行星，角速度越小，故C正确；根据加速度表达式可知，离太阳越远的行星，加速度越小，故D正确。答案：BCD规律方法（1）万有引力定律公式的推导；（2）卫星的线速度、角速度、周期和加速度只由中心天体的质量和卫星的轨道半径决定，与卫星的质量无关，在同一个天体系统中（如太阳系），中心天体的质量也不变，则这些量只由卫星的轨道半径决定；（3）卫星的线速度、角速度和加速度都随卫星轨道半径的增大而减小，或者说距离中心天体越近这些物理量越大，只有卫星的周期随卫星轨道半径的增大而增大。2．与卫星质量有关的物理量：（1）卫星的向心力：卫星的向心力由万有引力提供，故，由该式可知，向心力与卫星本身质量有关，所以不能单凭轨道半径比较卫星的向心力大小。但对于同一卫星距离中心天体越近，向心力越大。（2）卫星的动能：卫星的动能，由该式可知，行星的动能与卫星本身质量有关，所以不能单凭轨道半径比较卫星的动能大小。但对于同一卫星，由于距离中心天体越近，线速度越大，故动能越大。（3）卫星的重力势能：卫星的重力势能也与卫星的质量有关，行星的重力势能与卫星本身质量有关，所以不能单凭轨道半径比较卫星的重力势能大小。但对于同一天体，距离中心天体越近，重力势能越小。规律方法卫星的向心力、动能、重力势能和机械能都与卫星本身质量有关，对于不同的卫星，不能单凭轨道半径比较这些物理量的大小，但对于同一卫星，仍能单凭轨道半径比较这些物理量的大小。例题5地球的两颗人造卫星质量之比，轨道半径之比，则两卫星线速度大小之比为，角速度之比为，运行周期之比为，加速度之比为，向心力大小之比为。解析：根据公式可知，线速度大小之比为；根据公式可知，角速度之比为；根据公式可知，运行周期之比为；根据公式可知，加速度之比为；根据公式可知，向心力大小之比为。答案：，，，，例题6我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km，“神舟八号”的运行轨道高度为343km。它们的运行轨道均视为圆周，则（）A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D．“天宫一号”比“神舟八号”向心力大解析：由于“天宫一号”的运行轨道半径较大，所以“天宫一号”的线速度和角速度都较小，但周期较大，故A、C错误，B正确；向心力不但与轨道半径有关，还与二者的质量有关，故向心力无法比较，D错误。答案：B例题7质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（）A．线速度大小为B．角速度大小为C．运行周期D．向心加速度大小为解析：由于航天器在月球表面的轨道上飞行，所以轨道半径等于月球半径，即，“黄金代换”公式为。航天器的线速度大小为,故A正确；角速度为，故B错误；运行周期为，故C正确；向心加速度大小为，故D错误。答案：AC例题8如图7-4-4所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则（）A．b所需向心力最小B．b、c的周期相同且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度解析：根据向心力表达式可知，距离地球越近的卫星向心力越大，所以b所需向心力最小，故A正确；根据周期表达式可知，在同一轨道上的卫星周期一定相同，距离中心天体越远的卫星周期越大，所以b、c的周期相同且大于a的周期，故B正确；根据加速度表达式可知，同一轨道上的卫星加速度大小相同，距离中心天体越远的卫星加速度越小，所以b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故C错误；根据线速度表达式可知，同一轨道上的卫星的线速度大小相同，距离中心天体越远的卫星线速度越小，所以b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，故D正确。答案：ABD规律方法（1）同一轨道上的物体的线速度、加速度、角速度、周期一定都相同，与物体的质量无关，这些物理量不相同的物体不可能在同一轨道上；（2）同一轨道上的物体的向心力不一定相同，因为向心力与物体的质量有关，同一轨道上的物体，质量越大向心力越大。四、卫星运行参量的比较（如图7-4-5所示）参量推导公式表达式与卫星质量的关系与轨道半径的关系如图6-4-4所示A、B参量比较线速度无关轨道半径r越小v越大角速度无关轨道半径r越小ω越大周期无关轨道半径r越大T越大加速度无关轨道半径r越小a越大向心力有关同一卫星，轨道半径r越小F越大同一卫星动能有关同一卫星，轨道半径r越小越大同一卫星重力势能有关同一卫星轨道半径越大越大同一卫星五、“黄金代换”公式设天体的质量为M，天体表面物体的质量为m，天体表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略天体的自转。当物体放在天体表面上时应有，整理得。在计算过程中，常根据题设条件相互代换。例题9地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为（）A．B．C．D．解析：根据“黄金代换”公式有……①，地球的密度为……②，地球的体积为……③，由①②③得，故A正确。答案A例题102021年10月16日、神舟十三号载人飞船顺利将3名航天员送入太空，假设神舟十三号载人飞船在距地面高度为h的轨道做圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（）A．地球的质量为B．神舟十三号载人飞船运行的周期为C．神舟十三号载人飞船轨道处的重力加速度为D．地球的平均密度解析：根据“黄金代换”公式有：……①，故A正确；神舟十三号载人飞船运行的周期为：，故B正确；神舟十三号载人飞船轨道处的重力加速度为：，故C正确；地球的体积为：……②，由①②得地球的平均密度为：，故D错误。答案：ABC例题11设地面附近重力加速度为g0，地球半径为R0，人造地球卫星圆形轨道半径为R，那么以下说法正确的是（）A．卫星在轨道上的向心加速度大小为B．卫星运行的速度大小为C．卫星运行的角速度大小为D．卫星运行的周期为解析：卫星在轨道上的向心加速度大小为：，故A错误；卫星运行的速度大小