数学建模课件-敏感性分析

第三章

简单的优化模型存贮模型(讲)生猪的出售时机（讲）森林救火（讲）最优价格（讲）血管分支消费者均衡（讲）冰山现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数(不是函数)建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型3.1

存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，

费每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、

费之间的关系。问题分析与思考每天生产一次，每次100件，无日需求100件，准备费5000元，费

每件1元。费，准备费5000元。10天生产一次，每次1000件，

费900+800+…+100

=4500元，准备费5000元，总计9500元。50天生产一次，每次5000件，

费4900=122500元，准备费5000元，总计127500元。+…+100平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值周期短，产量小周期长，产量大问题分析与思考费少，准备费多准备费少，费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设产品每天的需求量为常数r；每次生产准备费为c1,每天每件产品费为c2；T天生产一次（周期）,

每次生产Q件，当

量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。建模目的设r,c1,c2

已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小。模型建立tq量表示为时间的函数

q(t)t=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.TQr一周期总费用Q2~C

c1

c2每天总费用平均值（目标函数）2~12c

c

rTT

TC(T

)

C

离散问题连续化A=QT/20c20q(t)dt

c

A2

一周期T费为2rT

2T

c1

c2Q

rT模型求解

c2

rT

MinT

2求T

使C(T

)

c1dC

0dT2c1rc2Q

rT

2c1rc2T

模型分析c1

T,Q

c2

T,Q

r

T

,Q

模型应用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答问题经济批量订货公式（EOQ公式）rc22c1T

c22c1rQ

rT

用于订货、供应、存贮情形每天需求量

r，每次订货费

c1,每天每件

费

c2，T天订货一次(周期),

每次订货Q件，当

量降到零时，Q件立即到货。不允货的存贮模型问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？允货的存贮模型AqQr当

量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：

量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)0

T1B

T

t1Q

rT现假设：允

货,

每天每件缺货损失费

c3

,

缺货需补足周期T,t=T1

量降到零cT2q(t)dt

c

A012

一周期费cTT13q(t)dt

c

B3

一周期缺货费2

2QT

rTT)(21

c3

1

C

c

c21一周期总费用2rTC

c c

Q2

c

(rT

Q)2T T 2rT

1

2

3

C(T

,Q)

C

0,

C

0T

Q每天总费用平均值（目标函数）2

1

3

112

2C

c

1

c

QT

1

c

r(T

T

)2一周期总费用C(T

,

Q)

Min求T,Q

使2c1

c2

c3rc2

c3T

2c1r

c3

c2

c2

c3Q

为与不允

货的存贮模型相比，T记作T

’,Q记作Q’

1rc22cT

1

c22c

rQ

rT

不允货模型

,c2

c3c3

记

1','3c

1T

T

, 1

2

3rc2

c32c

c

cT

'

2c

r

c1

3

c2

c2

c3Q'

允许缺货模型不允许缺货c3

1

2

32c

c

cT

rc2

c32c1r

c3c2

c2

c3Q

允许缺货模型0qQrtT1

T注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量每周期的生产量RR

（或订货量）

1

2

3c2

c32c

r

c

cR

rT

Q~不允货时的产量(或订货量)R

3.2

生猪的出售时机饲养场每天投入4元 ，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是 每天会降低

0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和 有误差，对结果有何影响。投入 使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大问题分析Q(t)

(8

gt)(80

rt

)

4t求t

使Q(t)最大t

4r

40g

2rg10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格

p=8-gt销售收入R=pw投入

C=4t利润

Q=R-C=pw-C估计r=2，g=0.1若当前出售，利润为80×8=640（元）t

天出售=10Q(10)=660

>640敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1r

1.5rgt

4r

40g

2设g=0.1不变t

40r

60

,rt

对r

的（相对）敏感度Δ

r

/

rdr

tS

(t,

r)

Δ

t

/

t

dt

r

340r

6060S

(t,

r)

生猪每天体重增加量r

增加1%，出售时间推迟3%。01.5

2

2.535101520rt敏感性分析估计r=2，g=0.1rgt

4r

40g

2研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变0

g

0.15t

3

20g

,gt

对g的（相对）敏感度S

(t,

g)

Δ

t

/

t

dt

gΔ

g

/

g

dg

t

33

20g3S(t,

g)

生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。00.06

0.08

0.1

0.12

0.14

g0.161030t20强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计p,p,w,w

,再作计算。研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rt

w

=w(t)p=8-gt

p

=p(t)p(t)w(t)

p(t)w(t)

4若1.8

w

2.2(10%),则7

t

13（30%）Q(t)

0每天利润的增值每天投入的Q(t)

p(t)w(t)

4t网店3.3

森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。问题分析问题综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。记队员人数x,失火时刻t=0,

开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t

森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较,转而森林烧毁速度dB/dt.模型假设假设1）的解释商业选址rB1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）t1tt2,

降为-x

(为队员的平均灭火速度）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1

(烧毁单位面积损失费）每个队员的单位时间灭火费用c2,

费用c3火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t

成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.

x

t2

t1b02tB(t

)

B

(t)dt2模型建立dtb0t1tt2x

假设1）dB1b

t

,f

(x)

c

x(t

t

)

c

x2

2

2

1

3f

(x)

c

B(t

),1

1

2目标函数——总费用C(x)

f

(x)

f

(x)1

2假设3）4）x

tt

t

1

2

1假设2）12

221

22

2

2(x

)

tbt

t

0dxdC3

c

x

1

1

2

1

C(x)

1

12

2(x

)

x

c

2t

2

c

t

xc

t

2模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小232

121

12c

c

t

2c

tx

结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t12t

tx

其中c1,c2,c3,t1,

,为已知参数模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c2

xc1,

t1,

xc3

,

x

结果解释232

1

1

2

12c

c

t

2c

tx

c1~烧毁单位面积损失费,

c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员

费用,

t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,

~每个队员平均灭火速度.为什么?

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x3.4

最优价格问题根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假设产量等于销量，记作x收入与销量x

成正比，系数p

即价格支出与产量x

成正比，系数q

即成本销量

x

依赖于价格

p,x(p)是减函数建模与求解收入I

(p)

px支出C(p)

qxU

(

p)

I

(

p)

C(

p)利润进一步设x(

p)

a

bp,

a,

b

0求p使U(p)最大

0p

p*dpdU使利润U(p)最大的最优价格p*满足**p

pp

pdI

dCdp

dp最大利润在边际收入等于边际支出时达到I

(

p)

pxC(

p)

qxx(

p)

a

bpU

(

p)

I

(

p)

C(

p)

(

p

q)(a

bp)p*

q

a

2

2b建模与求解边际收入

边际支出结果解释

q

a2

2bp*x(

p)

a

bp,

a,

b

0q/2

~

成本的一半b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）a

~

绝对需求(p很小时的需求)b

p*a

p*

思考：如何得到参数a,

b?3.5

血管分支背景机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养

克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度问题模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比1ABB´CHLll1rr1q1q=2q1r/r1,

?血管AC与CB,CB´粘性流体在刚性管道中运动r

4

p8lq

p~A,C压力差，

~粘性系数克服阻力消耗能量8q2lE1

qp

d

4提供营养消耗能量2E

br

l,

1

2管壁内表面积2rl管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比模型假设1ABCHB´Lll1rr1q1模型建立1ABB´CHLll1rr1q18q2ld

4E1

qp

克服阻力消耗能量2E

br

l,

1

2提供营养消耗能量4r

br

)/2l(E

E

E

kq

r42

br

l

kq221

1

1

1l1

L

H

/

sinl

L

H

/

tg,1421

12

41(k

q

/

r

br

)2H

/

sin

E(r,

r

,

)

(k

q

/

r

br)(L

H

/

tan

)

机体为血流提供能量模型求解1BB´CHLll1A

rr1q110,

0Er

rE

5121

0br

4kq

/

rbr

1

4kq2

/

r5

0

1

1

4

4rr1

0E

r

4

1

cos

2

r

4cos

2

41

21370

4901.26

r

/

r

1.32,1421

12

4

1(k

q/

r

br

)2H

/

sin

E(r,

r

,

)

(kq

/

r

br

)(L

H

/

tan

)

模型解释生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径rmax,毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有n次分岔

1

4

4r1r

n

4

4

maxrminr

1000

45n

25

~

30rmax

/

rmin1

21370

4901.26

r

/

r

1.32观察：狗的血管n

5(

4)血管总条数2n

225

~

230

3107

~

109推论n=？q2U(q1,q2)

=

cq101ll3l23.6

消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为q1,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~

效用函数已知甲乙价格p1,p2,有钱s，试分配s,甲乙数量q1,q2,使U(q1,q2)最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2)

=

cq101ll23l模型及求解已知价格p1,p2,钱s,求q1,q2,或p1q1

/p2q2,使U(q1,q2)最大U,..

2211

s1

1

2

2L

U

(

p

q

p

q

),

q

0

(i

1,2)Li22pqUq

p1

1U1dq2几何解释

p

q

s1

1

2

2直线MN:

p

q2最优解Q:MN与l

切点斜率

K

p

/

pMN

1

2·MN··Q1

2U

UKl

/2

dq

q

q0B00

,,,.

02Uq

q

q2

q2

1

2

1

2U

U

2U

2U

22pqq

p1

1UU结果解释q

q1

2U

,

U——边际效用消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。效用函数U(q1,q2)应满足的条件A.U(q1,q2)=c

所确定的函数q2=q2(q1)单调减、下凸解释B的实际意义B

A1U

效用函数U(q1,q2)几种常用的形式2121pqUUq

p212

21

1p

qp

p

q

p

消费者均衡状态下

两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。U(q1,q2)中参数,

分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。U

11

23(.

aU2

bqa)q,0b,2121pqUUq

p2

21

1p

q

p

q

两种商品费用之比与二者价格无关。U(q1,q2)中参数,

分别表示对甲乙的偏爱程度。思考：如何推广到m

(>2)

种商品的情况效用函数U(q1,q2)几种常用的形式3.7

冰山背景波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水从经济角度研究冰山

的可行性。建模准备1.

日

和最大运量船型小中大日（英镑）4.06.28.0最大运量（米3）51051061072.消耗（英镑/千米）3.

融化速率（米/天）与南极距离(千米)船速(千米/小时)0

1000

>40001350000.10.150.20.30.450.6冰山体积(米3)船速(千米/小时)10510610718.410.512.6310.813.516.2513.216.519.8建模准备建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较模型假设航行过程中船速不变，总距离9600千米冰山呈球形，球面各点融化速率相同到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水建模分析目的地水体积总费用目的地冰体积船型初始冰山体积过程融化规律消耗船型,船速船型,船速船型1a2

(1

bu),

d

4000a

d

(1

bu),

0

d

4000r

a

6.5105,

a

0.2,

b

0.41

2模型建立1.

冰山融化规律船速u(千米/小时)与南极距离d(千米)融化速率r(米/天）r是u

的线性函数；

d<4000时r与d成正比d>4000时r与d无关.航行t天d

24utrt

10006u0.2(1

0.4u),

t

6u1.56

103

u(1

0.4u)t,

0

t

1000第t天融化速率du

r01000>40001350000.10.150.20.30.450.61.

冰山融化规律tRt

R0

rkk

1冰山初始半径R0，航行t天时半径003冰山初始体积

V

4

R333ttR4V

t天时体积总航行天数3

3tk

1

rk

V

(u,V0

,

t)

03

44

3V选定u,V

,航行0t天时冰山体积3

3Tt1

rt

V

(u,V0

)

03

44

3V到达目的地时冰山体积T

9600

40024u

uc

0.3,

c

6,

c1

2

3107.2(uu,

quu2tc4

q1

c1

(u

c2

)(log10

V

c3

),2.

消耗3510.8

13.5

16.213.2

16.5

19.8Vu1q1

105

106

1078.4

10.5

12.6消耗q1(英镑/千米)q1对u线性,