多元数量值函数导数与微分-5梯度

方向导数与梯度方向导数梯度2013年3月1航空航天大学理学院数学系实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、问题的提出2013年3月2航空航天大学理学院数学系函数z

f

(

x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义oyxlPxy设函数

z

f

(

x,

y)

在点P(x,y)的某一邻域U

(P

)内有定义，自点P

引射线l．设x轴正向到射线l

的转角为

,并设P(x

x,y

y)为

l

上的另一点且

P

U

(

p).

（如图）2013年3月3航空航天大学理学院数学系∵|

PP

|

(x)2

(y)2

,且z

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y),

0lim

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)当P沿着l

趋于P时，考虑z

,是否存在？2013年3月4航空航天大学理学院数学系f

lim

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

.

0lG依定义，函数f

(x,y)在点P

沿着x

轴正向e1

{1,0}、x

yy

轴正向Ge

{0,1}的方向导数分别为

f

,

f

；2沿着x轴负向、

y

轴负向的方向导数是

f

x

,

f

y

.当P

沿着l

趋于P

时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点P

沿方向l

的方向导数．(x)2

(y)2

之比值，PP

两点间的距离

定义

函数的增量

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

与记为2013年3月5航空航天大学理学院数学系定理如果函数z

f

(

x,

y)在点P(

x,

y)是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有f

f

cos

f

sin

，l

x

y其中

为x

轴到方向L的转角．证明

由于函数可微，则增量可表示为y

o()f

(x

x,

y

y)

f

(x,

y)

f

x

f

x

y两边同除以,得到2013年3月6航空航天大学理学院数学系cos

sin

y

f

y

o(

)xxf

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)

f

故有方向导数

0

f

cos

f

sin

.x

ylf

lim

f

(

x

x,y

y)

f

(

x,

y)2013年3月7航空航天大学理学院数学系例

1

求函数z

xe2

y

在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.解4G故x轴到方向l

的转角

.(1,0)

e2

y

1;x

(1,0)∵

z(1,0)

2

xe2

y

2,(1,0)zy所求方向导数4

4lz

cos(

)

2sin(

)

2

.2这里方向l

即为PQ

{1,1},2013年3月8航空航天大学理学院数学系例2

求函数f

(x,y)

x2

xy

y2

在点（1，1）G沿与x轴方向夹角为

的方向射线l

的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解

f

x

(1,1)cos

f

y

(1,1)sin(1,1)fl由方向导数的计算公式知

(2

x

y) cos

(2

y

x)

sin

,(1,1)

(1,1)2013年3月9航空航天大学理学院数学系

cos

sin

2

sin(

),4故（1）当

时，4方向导数达到最大值

2;4（2）当

5时，方向导数达到最小值

2;（3）当

3和

7时，方向导数等于0.4

42013年3月10航空航天大学理学院数学系对于三元函数u

f

(

x,

y,

z)，它在空间一点P(

x,y,

z)沿着方向

L

的方向导数

，可定义为f

(

x

x

,

y

y

,

z

z

)

f

(

x

,

y

,

z

)

,

l

f

lim

0推广可得三元函数方向导数的定义（其中

(x)2

(y)2

(z)2

）2013年3月11航空航天大学理学院数学系同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L

的方向导数都存在，且有f

f

cos

f

cos

f

cos

.l

x

y

z设方向L

的方向角为

,

,y

cos

,x

cos

,

z

cos

,2013年3月12航空航天大学理学院数学系G

2

2

2例

3

设n是曲面2

x

3

y

z

6

在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数11zu

G(6

x2

8

y2

)2

在此处沿方向n的方向导数.解

令F

(

x,

y,

z)

2

x2

3

y2

z2

6,Fx

P

4

x

P

4,

Fy

P

6

y

P

6,

Fz

P

2z

2,P故

n

F,

F

,

F

4,

6,

2,x

y

z42

62

22

2

14,nG方向余弦为2013年3月13航空航天大学理学院数学系,142cos

143cos

,141cos

.Px

P6

xz

6

x2

8

y2u6;14Py

P8

yz

6

x2

8

y2u8;14PPz26

x2

8

y2uz

14.Pn

P

x

y

z

G7

(u

cos

u

cos

u

cos

)

11.u故2013年3月14航空航天大学理学院数学系都可定出一个向量

f

G

f

Gi

j

，这向量称为函数x

yz

f

(x,y)在点P(x,y)的梯度，记为f

G

f

Ggradf

(

x,

y)

.x

i

y

j问题:函数在点P

沿哪一方向增加的速度最快?定义

设函数z

f

(

x,

y)在平面区域

D

内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(

x,

y)

D

，三、梯度的概念2013年3月15航空航天大学理学院数学系l

x

y

x

yf

f

cos

f

sin

{f

,

f

}{cos

,sin

}f

gradf

(

x,

y)

e

|

gradf

(

x,

y)

|

cos

,其中

(gradf

(x,y),e

)当cos(gradf

(x,y),e

)

1时，l

有最大值.G设e

cos

i

sin

j

是方向由方向导数公式知Gl

上的单位向量，2013年3月16航空航天大学理学院数学系|

gradf

(

x,

y)

|

y

x

f

2

f

2

.结论

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为fx当不为零时，x轴到梯度的转角的正切为fxtan

y

．gradf

gradffP2013年3月17航空航天大学理学院数学系在几何上

z

f

(

x,

y)

表示一个曲面曲面被平面z

cz

cz

f

(

x,

y)所截得

,所得曲线在xoy面上投影如图oyxf

(x,

y)

c1f

(x,y)

c等高线gradf

(

x,

y)梯度为等高线上的法向量f

(x,

y)

c2P2013年3月18航空航天大学理学院数学系等高线的画法2013年3月19航空航天大学理学院数学系函数z

sin

xy

图形及其等高线图形．例如,2013年3月20航空航天大学理学院数学系梯度与等高线的关系：函数

z

f

(

x,

y)

在点

P(

x,

y)的梯度的方向与点P

的等高线f

(x,y)

c

在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．2013年3月21航空航天大学理学院数学系梯度的概念可以推广到三元函数三元函数u

f

(x,y,z)在空间区域G

内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y,z)

G

，都可定义一个向量(梯度)gradf

(

x,

y,

z)

f

G

f

G

f

Gx

i

y

j

z

k

.类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.2013年3月22航空航天大学理学院数学系类似地,设曲面

f

(

x,

y,

z)

c

为函数u

f

(

x,

y,

z)的等量面，此函数在点P(x,y,z)的梯度的方向与过点P

的等量面f

(x,y,z)

c

在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.2013年3月23航空航天大学理学院数学系例

4

求函数

u

x2

2

y2

3z2

3

x

2

y

在点(1,1,2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得gradu(

x,

y,

z)

u

G

u

G

u

Gx

i

y

j

z

k

(2

x

3)i

(4

y

2)

j

6zk

,故gradu(1,1,2)

5i

2

j

12k

.2

20在P

(

3

,1

,0)处梯度为0.2013年3月24航空航天大学理学院数学系1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数f

(x,y)在这点增长最快的方向.四、小结2013年3月25航空航天大学理学院数学系x2思考题函数z

f

(

x,

y)

y2

在(0,0)点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？2013年3月26航空航天大学理学院数学系xz

lim

f

(x,0)

f

(0,0)x

(0,0)x0x

lim

|

x

|.x0zy(0,0)

lim|

y

|y同理：y0故两个偏导数均不存在.思考题解答2013年3月27航空航天大学理学院数学系沿任意方向l

{

x,

y,

z}的方向导数,

0(0,0)z

lim

f

(x,

y)

f

(0,0)l

1(x)2

(y)2(x)2

(y)2

lim0故沿任意方向的方向导数均存在且相等.2013年3月28航空航天大学理学院数学系

3、已知场

u(

x,

y,

z

)

,

则u沿场的梯a

2

b

2

c

2

度练习题一、填空题:1、函数z

x

2

y

2

在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2

3)的方向的方向导数为

.2、设f

(x,y,z)

x

2

2

y

2

3z

2

xy

3

x

2

y

6z

,则gradf

(0,0,0)

.x

2

y

2

z

2方向的方向导数是

.

4、称向量场