插值方法基本思想课件

插值法基本思路张兴元2011年8月插值法基本思路一元多项式插值教学内容插值问题插值问题求解方法（重点）线性插值二次插值n次插值分段线性插值Hermite插值分段三次Hermite插值样条插值函数（难点）要求掌握以上方法的原理及其在MATLAB中的实现方法一元多项式插值教学内容插值问题1.提法已知n+1个节点(xj,yj)，j=0,1,…，n，其中xj互不相同，不妨设a=x0<x1<…<xn=b，求任一插值点x*(≠xj)处的插值y*。(xj，yj)可以看成是由某个函数y=g(x)产生的，g的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式，也可以未知。2、求解的基本思路构造一个相对简单的函数y=f(x)，使f(x)通过全部节点，即f(xj)=yj（j=0,1,…,n），再用f(x)计算插值，即y*=f(x*)。f(x)称为插值函数。如果f(x)为k次多项式，f(x)就是插值多项式，此时插值为代数插值；如果f(x)为有理函数，就是有理插值；如果f(x)为三角函数，则为三角插值。插值问题1.提法多项式插值----线性插值xx0x1yy0y1y=f(x)函数表一次函数通过两个不同的插值点多项式插值----线性插值xx0x1yy0y1y=f(x)函线性插值----两点式方程Lagrange插值：是l0(x)和l1(x)的线性组合基函数：线性插值----两点式方程Lagrange插值：是l0(线性插值----点斜式方程均差：Newton插值：一阶均差的一般定义：线性插值----点斜式方程均差：Newton插值：一阶均差的线性插值---余项？两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）效果一样吗？此处一样！？两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）可以推广到多个点吗？可以！线性插值---余项？两种不同的构造方式（Lagrange多项式插值----二次插值xx0x1x2yy0y1y2一次函数通过三个不同的插值点y=f(x)函数表多项式插值----二次插值xx0x1x2yy0y1y2一次函二次插值----Lagrange基函数方法Lagrange插值：二次插值----Lagrange基函数方法Lagrange二次插值----Newton均差法二阶均差：Newton插值：二次插值----Newton均差法二阶均差：Newton插值二次插值----余项【例1】已知，试利用插值法近似计算。【解】有几位有效数字？二次插值----余项【例1】已知，试利用插值法近似计算多项式插值----n次插值xx0x1…xnyy0y1…yny=f(x)函数表(xi互不相同)存在吗？唯一吗？如何构造？多项式插值----n次插值xx0x1…xnyy0y1…ynyn次插值----存在性、唯一性记

A=(an，an-1，…，a0)T

，Y=(y0，y1，…，yn)T

存在且唯一！xx0x1…xnyy0y1…ynn次插值----存在性、唯一性记A=(an，an-1，…，n次插值----插值多项式的构造方法一：Lagrange型插值多项式基函数：基函数的特点：Lagrange插值多项式n次插值----插值多项式的构造方法一：Lagrange型插n次插值----插值多项式的构造方法二：Newton型插值多项式均差表或差商表Newton插值多项式：n次插值----插值多项式的构造方法二：Newton型插值多n次插值----插值余项与事后误差估计插值余项其中事后误差估计方法xx0x1…xnxn+1yy0y1…ynyn+1误差n次插值----插值余项与事后误差估计插值余项其中事后误差n次插值----示例【例2】基于5个点（k,cos(k)），k=0,1,2,3,4，(1)构造f(x)=cos(x)的差商表；(2)并用差商表找出牛顿插值多项式的系数；

(3)写出四次牛顿插值多项式N4(x)；(4)计算N4(2.5)。【解】第一步，明确插值点(xk,yk)；第二步，构造差商表；第三步，写出相应的牛顿插值多项式N4(x)；第四步，计算近似值N4(2.5)。n次插值----示例【例2】基于5个点（k,cos(k)），多项式插值的震荡性质用Lagrange插值多项式LN(x)近似f(x)(a≤x≤b)，虽然随着节点个数的增加，LN(x)的次数N更大，多数情况下误差|RN(x)|会变小。但是N增加时，LN(x)的光滑性变坏，有时会出现很大的震荡。理论上，当N→∞时，在[a，b]内并不能保证LN(x)处处收敛于f(x)。

Runge给出了一个有名的例子：

多项式插值的震荡性质用Lagrange插值多项多项式插值的震荡性质Runge给出了一个有名的例子：

取xj=-5+10j/N，j=0，1，…，N。对于N=2，4，6，…作Ln(x)，会得到如下图所示的结果。可以看出，对于较大的|x|，随着N的增大，LN(x)振荡起来越大。事实上，有人证明了仅当|x|≤3.63时，才有而在此区间外，LN(x)是发散的。

多项式插值的震荡性质Runge给出了一个有名的例子：取xj多项式插值的震荡性质高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

多项式插值的震荡性质高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻多项式插值----分段线性插值xx0x1…xnyy0y1…yn是线性函数多项式插值----分段线性插值xx0x1…xnyy0y1…y多项式插值----分段线性插值分段线性插值函数为：余项估计为：多项式插值----分段线性插值分段线性插值函数为：余项估计为多项式插值----分段线性插值分段线性插值多项式L1(x)的图像上是连接各插值点的一条折线,如右图:y=sin(x)的插值逼近图形变化。特点：曲线的光滑性较差在节点处有尖点增加节点，减小步长，会改善效果。若f(x)在[a,b]上连续，则多项式插值----分段线性插值分段线性插值多项式L1(x)多项式插值----Hermite插值考虑只有两个节点的插值问题如何选择基函数多项式插值----Hermite插值考虑只有两个节点的插值问多项式插值----Hermite插值希望插值系数与Lagrange插值一样简单，假设其中多项式插值----Hermite插值希望插值系数与Lagra多项式插值----Hermite插值可知由可得Lagrange插值基函数多项式插值----Hermite插值可知由可得Lagrang类似可得即将以上结果代入多项式插值----Hermite插值类似可得即将以上结果代入多项式插值----Hermite插值多项式插值----Hermite插值得两个节点的三次Hermite插值公式多项式插值----Hermite插值得两个节点的三次Herm多项式插值----Hermite插值的插值余项两点三次Hermite插值的余项为【例3】多项式插值----Hermite插值的插值余项两点三次Her多项式插值----Hermite插值的插值余项【解】:多项式插值----Hermite插值的插值余项【解】:作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值。多项式插值----Hermite插值的插值余项作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Ru多项式插值----分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式多项式插值----分段三次Hermite插值可构造两点三次H多项式插值----分段三次Hermite插值其中分段三次Hermite插值多项式，余项为多项式插值----分段三次Hermite插值其中分段三次He多项式插值----样条函数插值分段插值的思想及优缺点1、思想：将图形分段，每段为一个低阶多项式Sk(x)，并在相邻点之间进行多项式插值，组成一个分段的多项式曲线。2、分类：（1）、分段线性插值优点：简单；缺点：连续但不光滑，曲率不连续变化。（2）、分段二次多项式插值优点：简单；缺点：偶数点x2k处曲率变化很大，曲率不连续变化。3、改进方法：利用分段三次样条插值：分段三次多项式，连续，光滑，曲率连续变化，多项式的次数较低。多项式插值----样条函数插值分段插值的思想及优缺点多项式插值----样条函数插值什么是样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数多项式插值----样条函数插值什么是样条:是指飞机或轮船等多项式插值----样条函数插值1.三次样条插值函数的定义多项式插值----样条函数插值1.三次样条插值函数的定义多项式插值----样条函数插值2.确定三次样条插值函数的条件多项式插值----样条函数插值2.确定三次样条插值函数的条多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值3.三次样条插值函数的构造方法3.1用节点处一阶导数表示的三次样条插值函数多项式插值----样条函数插值3.三次样条插值函数的构造方多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值整理后，得到引入记号则有方程组多项式插值----样条函数插值整理后，得到引入记号则有方多项式插值----样条函数插值该方程组为三对角方程组，可以利用追赶法求解。多项式插值----样条函数插值该方程组为三对角方程组，可以利多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值3.2用节点处二阶导数表示的三次样条插值函数多项式插值----样条函数插值3.2用节点处二阶导数表示多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值其中多项式插值----样条函数插值其中多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值多项式插值----样条函数插值（1）压紧样条多项式插值----样条函数插值（1）压紧样条多项式插值----样条函数插值（2）自然样条多项式插值----样条函数插值（2）自然样条多项式插值----样条函数插值二元插值依据数据的规则与否，常见可分为规则数据和散乱数据插值。二元插值依据数据的规则与否，常见可分为规则数据和散乱数据插值插值法基本思路张兴元2011年8月插值法基本思路一元多项式插值教学内容插值问题插值问题求解方法（重点）线性插值二次插值n次插值分段线性插值Hermite插值分段三次Hermite插值样条插值函数（难点）要求掌握以上方法的原理及其在MATLAB中的实现方法一元多项式插值教学内容插值问题1.提法已知n+1个节点(xj,yj)，j=0,1,…，n，其中xj互不相同，不妨设a=x0<x1<…<xn=b，求任一插值点x*(≠xj)处的插值y*。(xj，yj)可以看成是由某个函数y=g(x)产生的，g的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式，也可以未知。2、求解的基本思路构造一个相对简单的函数y=f(x)，使f(x)通过全部节点，即f(xj)=yj（j=0,1,…,n），再用f(x)计算插值，即y*=f(x*)。f(x)称为插值函数。如果f(x)为k次多项式，f(x)就是插值多项式，此时插值为代数插值；如果f(x)为有理函数，就是有理插值；如果f(x)为三角函数，则为三角插值。插值问题1.提法多项式插值----线性插值xx0x1yy0y1y=f(x)函数表一次函数通过两个不同的插值点多项式插值----线性插值xx0x1yy0y1y=f(x)函线性插值----两点式方程Lagrange插值：是l0(x)和l1(x)的线性组合基函数：线性插值----两点式方程Lagrange插值：是l0(线性插值----点斜式方程均差：Newton插值：一阶均差的一般定义：线性插值----点斜式方程均差：Newton插值：一阶均差的线性插值---余项？两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）效果一样吗？此处一样！？两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）可以推广到多个点吗？可以！线性插值---余项？两种不同的构造方式（Lagrange多项式插值----二次插值xx0x1x2yy0y1y2一次函数通过三个不同的插值点y=f(x)函数表多项式插值----二次插值xx0x1x2yy0y1y2一次函二次插值----Lagrange基函数方法Lagrange插值：二次插值----Lagrange基函数方法Lagrange二次插值----Newton均差法二阶均差：Newton插值：二次插值----Newton均差法二阶均差：Newton插值二次插值----余项【例1】已知，试利用插值法近似计算。【解】有几位有效数字？二次插值----余项【例1】已知，试利用插值法近似计算多项式插值----n次插值xx0x1…xnyy0y1…yny=f(x)函数表(xi互不相同)存在吗？唯一吗？如何构造？多项式插值----n次插值xx0x1…xnyy0y1…ynyn次插值----存在性、唯一性记

A=(an，an-1，…，a0)T

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存在且唯一！xx0x1…xnyy0y1…ynn次插值----存在性、唯一性记A=(an，an-1，…，n次插值----插值多项式的构造方法一：Lagrange型插值多项式基函数：基函数的特点：Lagrange插值多项式n次插值----插值多项式的构造方法一：Lagrange型插n次插值----插值多项式的构造方法二：Newton型插值多项式均差表或差商表Newton插值多项式：n次插值----插值多项式的构造方法二：Newton型插值多n次插值----插值余项与事后误差估计插值余项其中事后误差估计方法xx0x1…xnxn+1yy0y1…ynyn+1误差n次插值----插值余项与事后误差估计插值余项其中事后误差n次插值----示例【例2】基于5个点（k,cos(k)），k=0,1,2,3,4，(1)构造f(x)=cos(x)的差商表；(2)并用差商表找出牛顿插值多项式的系数；

(3)写出四次牛顿插值多项式N4(x)；(4)计算N4(2.5)。【解】第一步，明确插值点(xk,yk)；第二步，构造差商表；第三步，写出相应的牛顿插值多项式N4(x)；第四步，计算近似值N4(2.5)。n次插值----示例【例2】基于5个点（k,cos(k)），多项式插值的震荡性质用Lagrange插值多项式LN(x)近似f(x)(a≤x≤b)，虽然随着节点个数的增加，LN(x)的次数N更大，多数情况下误差|RN(x)|会变小。但是N增加时，LN(x)的光滑性变坏，有时会出现很大的震荡。理论上，当N→∞时，在[a，b]内并不能保证LN(x)处处收敛于f(x)。

Runge给出了一个有名的例子：

多项式插值的震荡性质用Lagrange插值多项多项式插值的震荡性质Runge给出了一个有名的例子：

取xj=-5+10j/N，j=0，1，…，N。对于N=2，4，6，…作Ln(x)，会得到如下图所示的结果。可以看出，对于较大的|x|，随着N的增大，LN(x)振荡起来越大。事实上，有人证明了仅当|x|≤3.63时，才有而在此区间外，LN(x)是发散的。

多项式插值的震荡性质Runge给出了一个有名的例子：取xj多项式插值的震荡性质高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

多项式插值的震荡性质高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻多项式插值----分段线性插值xx0x1…xnyy0y1…yn是线性函数多项式插值----分段线性插值xx0x1…xnyy0y1…y多项式插值----分段线性插值分段线性插值函数为：余项估计为：多项式插值----分段线性插值分段线性插值函数为：余项估计为多项式插值----分段线性插值分段线性插值多项式L1(x)的图像上是连接各插值点的一条折线,如右图:y=sin(x)的插值逼近图形变化。特点：曲线的光滑性较差在节点处有尖点增加节点，减小步长，会改善效果。若f(x)在[a,b]上连续，则多项式插值----分段线性插值分段线性插值多项式L1(x)多项式插值----Hermite插值考虑只有两个节点的插值问题如何选择基函数多项式插值----Hermite插值考虑只有两个节点的插值问多项式插值----Hermite插值希望插值系数与Lagrange插值一样简单，假设其中多项式插值----Hermite插值希望插值系数与Lagra多项式插值----Hermite插值可知由可得Lagrange插值基函数多项式插值----Hermite插值可知由可得Lagrang类似可得即将以上结果代入多项式插值----Hermite插值类似可得即将以上结果代入多项式插值----Hermite插值多项式插值----Hermite插值得两个节点的三次Hermite插值公式多项式插值----Hermite插值得两个节点的三次Herm多项式插值----Hermite插值的插值余项两点三次Hermite插值的余项为【例3】多项式插值----Hermite插值的插值余项两点三次Her多项式插值----Hermite插值的插值余项【解】:多项式插值----Hermite插值的插值余项【解】:作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值。多项式插值----Hermite插值的插值余项作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Ru多项式插值----分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式多项式插值----分段三次Hermite插值可构造两点三次H多项式插值----分段三次Hermite插值其中分段三次Hermite插值多项式，余项为多项式插值----分段三次Hermite插值其中分段三次He多项式插值----样条函数插值分段插值的思想及优缺点1、思想：将图形分段，每段为一个低阶多项式Sk(x)，并在相邻点之间进行多项式插值，组成一个分段的多项式曲线。2、分类：（1）、分段线性插值优点：简单；缺点：连续但不光滑，曲率不连续变化。（2）、分段二次多项式插值优点：简单；缺点：偶数点x2k处曲率变化很大，曲率不连续变化。3、改进方法：利用分段三次样条插值：分段三次多项式，连续，光滑，曲率连续变化，多项式的次数较低。多项式插值----样条函数插值分段插值的思想及优缺点多项式插值----样条函数插值什么是