自动化仪表与过程控制：第五章 单容对象动特性及其数学描述

调节对象检测元件显示单元变送单元执行单元工艺介质阀门操作单元手动测量值给定单元给定值单元组合仪表图0-1用单元组合仪表构成的调节系统被调量调节单元自动第5章过程控制对象动特性及其数学模型设计一个自动调节系统，首先应对调节对象的特性作全面的分析和测定。一般研究调节对象特性的方法有两种。1分析法（机理法建模）通过分析过程的机理、物料或能量平衡关系求得数学模型，即对象动态特性的微分方程式，这种方法称为分析法。但是，复杂对象的微分方程式很难建立，也不容易求解。2实验测定（测试法建模）通过实验测定，称为实验测定法。根据生产过程的输入和输出的实测数据，进行某种数学处理后建立输入-输出模型。(1)

经典辨识法：不考虑测试过程中的偶然误差，只对少量测试数据进行简单的数学处理，计算工作量小，一般不用计算机。(2)

现代辨识法：消除测试数据中的偶然误差（噪声）的影响，使用计算机对大量数据进行数学处理，已形成一个专门分支。图5-1是一单容水槽，水流入量Q1由调节阀1的开度μ1控制，μ1为系统的输入；水位h是被调量，为系统的输出；流出量Q2由调节阀2控制，阀门2的开度变化为外部扰动。其它各物理量定义见P197。

1单容水槽的数学模型

5．1单容对象动特性及其数学描述5．1．1水槽水位的动特性根据物料平衡关系，稳态时有：动态方程为：

式中，

是流体蓄存量的变化率。它与被调量水位h间的关系是：，

（5-1）（5-2）则

Q10

-Q20=0（5-3）（5-4）

可以看出，水位变化决定于两个因素：一个是水槽截面积A，一个是流入量与流出量的差额。其中，A称为水槽的容量系数，又称液容C。

假定流量Q1的变化量ΔQ1与调节阀1的开度的变化量成正比,比例系数为，即

（5-6）（5-5）假定输出水流量Q2随水位而变化，二者之间关系为：其中，

是流出管路上的阀门2的阻力，或称液阻。对于(5—4)式，变量用额定值和增量的形式表示，并考虑到(5—1)式，可化为：（5-7）将(5—5)、(5—6)式代入(5—7)式，可得（5-8）式中，T=ARs

为时间常数；

K=KμRs

为放大倍数。写成标准形式：（5-9）2反应（飞升）曲线输入量（Δμ）作一阶跃变化时，其输出（Δh）随时间变化的曲线。由（5-9）式求得原函数为（5-10）写成拉氏变换式：如图5-2所示。

5．1．2对象的自衡特性

上述由于Δμ1↑→ΔQ1↑→Δh=↑→ΔQ2↑，当t→∞时，Δh（∞）=KΔμ1，达到新的稳态。对象在扰动作用破坏其平衡工况后，在没有操作人员或调节器的干预下自动恢复平衡的特性，称为自衡特性。

1自衡率ρ能以被调量较小的变化Δh（∞），来抵消较大的扰动量Δμ1，说明对象的自衡能力大与放大系数K互为倒数。

2无自衡特性单容对象的飞升曲线

图5-3的单容对象无自衡特性，这里，输出量Q2与水位h无关，当输入量Q1有一个阶跃变化后，Q2保持不变。据前ΔQ2

=0时，

——称为飞升速度。如图5-4。式中5．2多容对象的特性、容量滞后、纯滞后

5．2．1双容对象的特性如图5-5所示为双容对象，由两个一阶非周期性的惯性环节串联起来，被调量是第二水槽的水位h2。当输入量有一个阶跃增加ΔQ1

时，被调量变化的反应（飞升）曲线如图5-6中所示的Δh2曲线。

1S形曲线这里不再是单容对象的简单的指数曲线，而是呈S形的一条曲线。2容量滞后由于多了一个容器就使调节对象的飞升特性在时间上更加落后一步。在S形曲线的拐点P上作切线，它在时间轴上截出一段时间OA，交Δh2（∞）于B。τc=OA——称为容量滞后，可近似地衡量飞升过程推迟的程度。

BT=AB——

时间常数；AB为曲线次切距。B——放大系数3多容对象的特性可以想象，每增加一个容器会增加一个容量滞后，但仍为S形曲线，如图5-7所示。都是用τc、T、K这三个参数来表征的。5．2．2纯滞后在调节对象中，所谓滞后是指被调量的变化落后于扰动的发生和变化。另外还有一种滞后，它不是由于储蓄容量的存在，而是由于信号的传输，这种滞后称为传输滞后或纯滞后（纯时延）。图5-8所示是一个用蒸汽来控制水温的系统。蒸汽量的变化一定要经过长度为l的路程以后才反应出来，这是由于扰动作用点与被调量测量测量点相隔一定距离所致。这样的对象飞升特性，仍然τ、K、T三个参数来表征。对象的滞后性质，不论是纯滞后还是容量滞后，对调节系统的品质将产生极为不利的影响。由于滞后的存在，往往会导致扰动作用不能及早察觉，调节效果不能适时反映。——

纯滞后时间，为水的流速；

τ=τ0+τc

——

纯滞后加容量滞后，统称为滞后。5．3对象特性的实验测定、时域法

5．3．1实验测定方法概述1分析法的局限性对一些简单的调节对象，它们的特性可以通过分析过程的机理、物料或能量平衡关系来建模。但对复杂对象，由于工艺过程复杂，建模很困难；一般为高阶微分方程，且有非线性因素，对这些方程式也较难求解；另外，在推导和估算时，常用一些假设和近似。可能会对结果产生估计不到的影响。2实验法的好处在推导不出对象数学模型时，更需要依靠实验方法来取得；即使能得到数学模型的情况下，仍然希望通过实验测定来验证。因此，用实验法测定其动态特性，尽管有些方法所得结果颇为粗略，对生产也有些影响，仍然不失为了解对象的简易途径，在工程实践中应用较广。目前，用来测定对象动态特性的实验方法主要有二种：（1）时域法方法：输入为ε（t）或方波，求取对象的飞升曲线或方波响应曲线。优点：方法简单，工作量较小，故应用甚广。缺点：测试精度不高，且对生产有一定影响。（2）频域法方法：输入正弦波或近似正弦波，测对象的频率特性。优点：原理上和数据处理上都是比较简单，对生产影响较小，测试的精度比时域法高。缺点：需要专门的超低频测试设备，测试工作量也较大。5．3．2测定动态特性的时域方法1飞升特性及方波响应的测定（1）阶跃响应的测定①

合理选择阶跃信号的幅度。过小不能保证测试结果的可靠性，过大会使正常生产受到严重干扰甚至危及安全。一般取额定值的8～10%。

②测试前确保被调对象处于某一稳定工况，测试中应设法避免发生偶然性的其它扰动，一般应重复测试两三次，从中剔除某些显然的偶然性误差，求出其中合理部分的平均值，作为对象的动态特性曲线。③考虑到实际被控对象的非线性，应选取不同负荷，一般在对象最小，最大及平均负荷下进行。即使在同一负荷下，也要在正向和反向扰动下重复测试，以求全面掌握对象的动态特性。

为了能施加较大的扰动幅度而又不至于严重干扰正常生产，可用脉宽为△t的方脉冲，得到的响应曲线称为“方波响应”。如图5-9所示。

方波响应与飞升曲线具有密切的关系。一旦测得方波响应后，就很容易地求出它的飞升曲线。（2）方波响应的测定

一个是在时刻t=0时加入对象的正阶跃信号x1（t），另一个是在时刻t=Δt

时加人对象的负阶跃信号x2（t）：x（t）=x1（t）+x2（t）其中，x2（t）=-x1（t-Δt）对应的响应为两阶跃响应之和：y（t）=y1（t）+y2（t）=y1（t）-y1（t-Δt）可把方波信号看成是两个阶跃作用的代数和，如图5-10所示。从这个方波响应y（t）可以求得飞升曲线：y1（t）=y（t）+y1（t-Δt）（5-13）

2试验结果的数据处理数据处理：在描绘生产过程的动态特性时，常用微分方程或传递函数的形式表达（建模）。如何将实验所获得的各种不同对象的飞升曲线进行处理，以便用一些简单的典型微分方程或传递函数来近似表达，既适合工程应用，又有足够的精度，这就是这里所指的数据处理。

建模的结构形式：测试法建模首要问题是选定建模的结构形式，典型的工业对象的特性常用具有纯滞后的一阶或二阶非周期环节来近似描述：（5-14）或

（5-15）对于少数无自衡特性的对象，有

（5-16）或

（5-17）（1）由飞升曲线确定有纯滞后的一阶环节的参数

①作图法若试验飞升曲线是一条S形的非周期曲线，如图5-11所示，可以作为有纯滞后的一阶惯性环节来处理。在变化速度最快处作一切线，与横轴的交点得到τ；与曲线稳态渐进线y（∞）的交点得到T。（5-18）（5-19）同样，式（5-19）（5-19）也适用于无自衡特性对象。方法简单，但准确性不高。然而，对闭环控制，尤其是PID控制不要求作非常准确的被控对象的数学模型，因此，1942年由J.G.Ziegler和H.B.Nichols提出，至今得到广泛应用。式中，为切线的斜率。②两点法利用阶跃响应y（t）上的两个点去计算τ和T。首先将y（t）转换成无量纲（无因次）的形式y*（t）。（5-21）对于有滞后的一阶非周期环节来说，在阶跃作用下的解为：

0t<τ

t≥τy*(t)=（5-22）为了确定τ和T的值，在无因次飞升曲线上选取y*（t）的两个坐标值t1、t2：

（5-23）其中，t2

>t1>τ，解得

（5-24）为计算方便，取y*（t1）=0.39，y*（t2）=0.63，则可得

对于计算结果，可在

t3≤τy*（t3）=0t4=0.8T+τy*（t4）=0.55t5=2T+τy*（t5）=0.87进行校验。τ=2t1–t2T=2（t2-t1）（5-25）仅取两点进行计算，由于选点的随意性，可靠性差。

（2）由飞升曲线确定二阶环节的参数对于S形的试验飞升曲线，规定其传递函数按下两式来近似：

（5-26）（5-27）或式（5-26）相当于过阻尼的二阶环节，其分母有两个实根及。式（5-27）为阻尼系数为1的有纯滞后的二阶环节。在生产过程中，大多数对象的飞升曲线是过阻尼的，因此，这种传递函数可以适用于一大批工业对象。5．4测定动态特性的频域方法5．4．1正弦波方法1测定原理利用线性系统频率保持性，记录输出的稳定振荡波形，就可测得精确的频率特性。波形稳定后，测出输出振幅与相位，与输入振幅与相位比较，便可知道对象的频率特性，进而求的数学模型。

2实验示意图如图5-12所示。在记录仪上同时记下输入输出的波形，然后，对数据进行分析。3特点能直接从记录曲线上求得频率特性，且易在实验过程中发现干扰的存在和影响。不易实现正弦输入；使这种方法进行试验较费时。5．4．2频率特性的相关测试法

1问题的提出一般动态特性测试中，幅频特性较易测得，而相角信息的精确测量比较困难。测试对象的输出常混有大量的噪音，有时甚至把有用信号淹没。很难满足相位计的要求。调谐式的带通滤波器很难保证稳定的测幅、测相精度。2相关测试法基于相关原理构成的滤波器比调谐式带通滤波器具有明显的优点，激励输入信号经波形变换后可得到幅值恒定的正余弦参考信号。把参考信号与被测信号进行相关处理（即相乘和平均），所得常值（直流）部分保存了被测信号同频分量（基波）的幅值和相角信息。（1）相关测试原理①当系统无干扰时设输入为输出为这里，（5-28）将y(t)与正余弦信号分别进行相关运算，即

同理（5-29）（5-30）式中，T——周期，N——正整数.设被测对象响应G（jω）的同相分量为A，正交分量为B，则，A=a/R1；B=b/R1，当R1=1时，A=a；B=b②当系统有干扰时

其中，——

随机噪音。

y(t)

分别与及进行相关运算有：

（5-31）上式中，当N足够大时，

同理

（5-32）式中，a1——系统输出一次谐波的同相分量

b1

——系统输出一次谐波的正交分量若输入振荡的基波初相为零，那么输出与输入振荡之间相位移与输出的基波振幅分别为（5-33）由此可见，相关过程可视为一个滤波过程。系统输出信号经滤波后，可以较好地抑制直流分量、高次谐波及随机噪音，而分离出一次谐波。然后由（5-31）、（5-32）式得到该频率下系统输出的同相分量与正交分量。再经过坐标转换求得振幅比与相角差，并以极坐标或对数坐标的形式显示出来。（1）相关测试原理图如图5-13所示。图中函数信号发生器f（x），产生正弦的激励信号x（t）,经到两个乘法器。乘法器与对象的输出信号y（x）相乘后，再通过积分器得到两路直流信号：同相分量a与正交分量b。国产的BT-6型频率特性测试仪即按以上原理设计的。

送到被测对象输入端。f（x）还产生幅值恒定的正余弦参考信号分别送5．4．3闭路测定法

1开路测试法的局限正弦波测试法和相关测试法都是在开路状态下输入周期信号x(t)，测出其输出y(t)。这种测定方法的缺点是，被调量y（t）的振荡中线——零点的漂移不能消除，因而不能长期进行试验。另外，它要求输入的振幅不能太大，以免增大非线性的影响，降低测定频率特性的精度。

2利用调节器所组成的闭路系统利用调节器所组成的闭路系统进行测定，就可避免上述缺点。图5-14所示为试验的原理图。图中信号发生器所产生的专用信号加在这一调节器的给定值处。而记录仪所记录的曲线则是被测对象的输入、输出端的曲线。对此曲线进行分析，即可求得对象的频率特性。3闭路测定法的优点（1）精度高大大削弱了对象的零点漂移，可长期进行试验，振幅也可以取得较大减少了开路测定时非线性环节所引起的误差。提高了测定精度（2）安全调节器的作用不会产生过大偏差而发在事故可以对无自衡对象进行频率特性的测定5．5测定动态特性的统计方法对工业对象的辨识，除了应用前面介绍的方法外，在有些场合下采用统计方法。可在正常生产过程中使用，甚至可以不加专门信号，直接利用运行记录的数据进行分析。也可以加上特殊的信号，如伪随机信号。这种方法的抗干扰性很强，对系统运行干扰程度低。若系统备有计算机在线工作，整个试验可由计算机完成。在控制理论中，对于线性对象的动态特性可以用“脉冲响应函数”来描述。本节的目标是寻求特殊的函数，用δ(t)来表示，然后找到对象的G(s)。5．5．1相关分析法识别对象动态特性的原理1维纳-何甫（Wiener-Hopf）方程如果一个线性对象的输入函数x(t)是平稳的随机过程，那么，相应的输出y(t)亦是平稳的随机过程。g(t)为对象的脉冲响应函数，如图5-20所示。现在试图从输入x(t)与输出y(t)的互相关函数，来确定脉冲响应函数。为此，先导出一个方程式。在经典控制理论中，对于线性对象的动态特性可以用“脉冲响应函数”来描述。x(τ)g(t-τ)dτ如图5-22所示。

据叠加原理

x(t)=x1(t)+x2(t)+…

对于线性对象，输出y(t)应当是全部τ<t的时y(t)=y1(t)+y2(t)+…如图5-21。脉冲响应x(τ)δ(t-τ)dτ间响应函数之（积分），即令t-τ=u

代入，则得（5-34）其中g(u)是脉冲响应函数。上式表达了y(t)与x(t)之间的重要关系。现在考虑对象输入和输出皆为平稳过程，在（5-34）式中把t换成t+τ两边乘x(t)两边取时间平均值等式右边交换积分的次序，可得

改写成

（5-35）其中，Rxx(τ-u)表示x(t)之自相关函数τ-u处的值。这就是著名的维纳-何甫方程。它是相关分析方法识别线性对象的重要理论依据。

这个方程给出输入的自相关函数，输入x(t)与输出y(t)的互相关函数与脉冲响应函数的关系。如果从测试或运行数据计算得到Rxx(τ)与Rxy(τ)，要确定脉冲响应函数g(u)，这是个解积分方程的问题，对于一般形式Rxx(τ)与Rxy(τ)来说，这个积分方程的求解是很难的。

2用白色噪音测定对象的动态特性对线性对象输入白色噪音，此时的脉冲响应函数有很简单的形式，因为对白色噪音的自相关函数是一个δ函数。

Rxx(τ)=Kδ(τ)代人（5-35）式，得利用单位脉冲函数性质

Rxy(τ)=Kg(τ)（5-36）（5-37）这说明对于白色噪音输入，输入与输出之互相关函数Rxy(τ)与脉冲响应函数成比例。于是，由互相关函数很容易得到脉冲响应函数。由于互相关函数可用下式计算，于是有所以，可以用图5-23获得脉冲响应函数。

（1）优点白色噪音整个能量分布在一个很广的频率范围内，试验可以在正常运行状态下进行。

（2）缺点要想获得较精确的互相关函数，就必须在较长一段时间内进行积分。这就要耗费时间，而积分时间过长，又往往会产生其它问题，如信号的漂移，记录仪器的零点飘移等等。因此，要协调二者的矛盾，必须选择一个合适的积分时间，这就需要通过实践进行摸索。这种方法最终是要求出输入与输出的互相关函数。为了计算两个信号的相关函数，除了可用通用电子计算机进行外，也可用纸带式超低频相关器进行计算。

5.5.2基于M序列信号测定对象的动态特性用白色噪音作为输入，估算脉冲响应函数需要较长时间，采用伪随机信号作为输入探测信号。1．伪随机序列基本理论伪随机信号：这个信号的自相关函数与白色噪音的自相关函数相同（即是一个脉冲），但是它有重复周期T。也就是说，伪随机信号的自相关函数Rxx（τ）在τ=0，T，2T，……以及-T，-2T，……各点取值σ2（信号的均方值），而在其它各点之值为零。该自相关函数的图形如图5-24所示。用伪随机信号识别对象动特性的好处：（1）互相关函数Rxy（τ）的计算只须算一个周期的积分。（5-38）同理有由（5-35）式更换积分次序后，得

考虑（5-34）式，得

此式说明计算互相关函数时，只要算一个周期的积分就可以了。

（2）互相关函数与脉冲响应函数只相差一个常数。由（5-35）式，对τ<T有（5-39）适当选择T，使脉冲响应函数还在时间小于T时已经衰减到零，则g(τ+T)≈0，g(τ+2T)≈0，……，于是有

Rxy(τ)=Kg(τ)（5-40）此时，互相关函数与脉冲响应函数仍然只相差一个常数。但是，此处Rxy(τ)的计算只需在0～T时间内进行。这就显示了采用伪随机信号的优越性。2伪随机序列的产生方法及其性质伪随机信号产生的方法有多种，最简便的方法就是将一个随机信号取其中一段，其长度为T。然后，将它在其它时间段内都照这一段重复，直至无穷。这个方法简单粗略，其自相关函数的图形可能与理想的“脉冲”相差较远。（1）二位式伪随机序列近年来，在实践中采用较多的是一种二位式信号〔即x（t）只取+a或-

a两种值〕，现在简要地介绍一下。如果随机地重复抛掷一个分币，每抛掷一次作为一次试验。若试险结果出现国徽面记作1，出现非国徽面记作为-1。这样，我们就获得了+1、-1两种元素组成的随机序列。

如果重复试验N次（N是相当大的整数），那么这个随机序列具有以下三个性质：在序列中+1与-1出现的次数几乎相等。若干个+1（或若干个-1）连在一起称为“游程”。一个游程中的+1（或-1）的个数称为游程长度。N次试验中长度为1的游程，约占游程总数的1/2。长度为2的游程约占1/4，长度为3的游程约占总数的1/8，……。在同样长度的所有游程中+1的游程与-1的游程约各占半数。

随机序列的自相关函数在原点取得最大值，Rxx(0)=max，离开原点时，就迅速下降至零。具有以上特性的二位式随机序列称为离散白噪音序列。一个人工设计产生的周期序列，在一个周期里它具有上述三个特性，这个序列称之为“二位式伪随机序列”。这种伪随机序列，具有类似随机白噪音的性质，但它又是周期性的，有规律的，故可以人为地产生和复制。这种信号可以满足测定动态特性的要求，而且二位式信号比连续式信号容易产生和重现。n位移位寄存器有n个双稳态触发器和门电路组成，第n位移出内容即为输出。（2）最大长度二位式序列（M序列）

M序列信号可以由一组带有反馈电路的移位寄存器产生，如图5-25所示。移位寄存器内容经过适当的逻辑运算（例如第n与第k位按模2相加）反馈到第n位去作为输入。2134⊕输出例如，一个四位移位寄存器，初始状态为1111，一个周期的变化规律为：初态1111011100110001100001000010

100111000110101101011010110111101111第二周期开始这里一个周期结束，产生了15种不同状态。如果取寄存器第四位内容作为伪随机信号，那么这个随机序列为111100010011010111100010011010一个周期另一个周期它确是一个周期为15的伪随机序列。

如果输出状态是0，电平取a；是1，取-

a。每个基本电平持续时间为Δt，二位式伪随机序列的周期是T=NΔt。由四位移位寄存器产生的M序列在一个周期的图象见图5-26。

多位移位寄存器中，反馈线路选择不同，所得序列信号也将不同。这种序列信号可分为两类，一种为M序列（最大长度序列），另一种为非M序列。一个序列信号是前者还是后者，要看它的周期长短。对于一个n位移位寄存器，因为每位有两种状态，则共有2n-1个状态。因此，对一个n位寄存器所产生的序列信号其周期为

N=2n-1（5-41）则该信号就称为最大长度二位式序列（M序列）信号。上例中，n=4，周期为N=24-1=15。M序列信号的主要性质如下：由n位移位寄存器所产生的M序列的周期为N=2n–1在一个M序列周期中，1出现的个数为2n-1，而0出现的个数为2n-1-1在一个周期内0与1的交替次数中，游程长度为1的占游程总数1/2，游程为2的占1/4……，周期为2n-1，游程为n和n-1的都占1/（2n-1-1）

周期为N=2n-1的M序列的相关函数

该信号的自相关函数Rxx(τ)如图5-27所示。Rxx(τ)=-Δt<τ<ΔtΔt≤τ≤（N-1）Δt这个自相关函数与伪随机噪音的自相关函数（图5-24所示）形状不很一样。当τ≥N时，Rxx(τ)的数值用0≤τ≤(N-1)中Rxx(τ)的数值以周期N延拓出去。把以上M序列的性质与离散二位式白噪音序列性质加以比较，就会看到这两种序列的性质是相似的。M序列的自相关函数是周期N的函数，当N

相当大时，两种序列的相关函数也是相似的，即它们的概率性质是相类似的。这是把M序列称为伪随机序列的原因，并且可以把M序列当作离散二位式白噪音。伪随机序列有很多种，但M序列是最重要的伪随机序列之一。

3用M序列信号测定对象的动态特性(1)自相关函数的两部分（a）三角形脉冲把二位式伪随机序列的自相关函数分成两部分，一部分是周期为NΔt的周期性三角形脉冲，其表示式为如图5-28所示。0Δt≤τ≤（N-1）Δt-Δt<τ<Δt周期性三角形脉冲部分虽与理想脉冲函数有区别，但当Δt→0时，可以看成强度为的脉冲函数。如果对象输入x(t)的自相关函数Rxx(τ)是周期性冲函数，在（5-37）式中取得脉冲响应函数三角形脉冲，它可近似看作强度为的脉（b）直流分量

把周期性三角形脉冲看成δ函数，输入二位式伪随机序列x（t）的自相关函数可表示为如图5-29所示。（5-44）

(2)互相关函数（a）互相关函数的表示由维纳-何甫方程，式（5-35）可得

（5-46）式中（5-45）Rxy（）同脉冲响应函数g（）只相差一个常数，互相关函数的曲线如图5-30所示。（b）互相关函数的计算因输入信号x(t)对时间连续，输出信号y(t)亦对时间连续，故可按式（5-60）进行计算。当Δt很小时（5-47）其中，τ=0，Δt，2Δt，……，(N-1)Δt。在式中，输出时间不仅在[0，T]内，而经常要跑到下一个周期[0，2T]内，如τ=(N-1)Δt时，取(N-1)Δt，……，(2N-1)Δt。因此，需要输入两个周期M序列信号，而输出只要用采样值y(0)，y(Δt)，y(2Δt)，……，y[(N-1)Δt]，y(NΔt)，…，y[(2N-1)Δt]，就能计算Rxy(τ)。

计算机按（5-68）式计算非常方便。改写

x(iΔt)=asign{x(iΔt)}其中，sign表示符号函数。于是（5-48）不计a/N，和式的计算相当于一个“门”。当x(iΔt)的符号为正时，y（iΔt+τ）放到正的地方进行累加；当x(iΔt)的符号为负时，y(iΔt+τ)放到负的地方进行累加。对每一个τ值，把N个y(iΔt+τ)分别在正负两个地方累加。最后两者相减，乘a/N就得到Rxy(τ)。

为了提高计算的精度，可以多输入几个周期，利用较多的输出数值计算互相关函数。一般说，输入r+1个周期M序列信号，记录r+1个周期输出的采样值，则（5-49）[小结]当求出互相关函数Rxy(τ)后，即可由式（5-67）计算得被测对象脉冲响应函数g(τ)。①

由自控原理可知，对象的传递函数是其脉冲响应函数g(τ)的拉氏变换G(s)g(τ)，但在一般形式下，用所获得的脉冲响应函数g(τ)的曲线来求传递函数，需要用矩阵或Z变换等方法进行处理。计算比较繁琐，当阶次较高时误差较大。②由于M序列的伪随机信号的自相关函数是一个周期性的三角波，所以互相关函数Rxy(τ)实际上相当于三角波的反应，并且该三角波的水平线与横坐栋的距离为-a2/N，并非为零。只有当Δt选得很小、N很大时，才能近似成基淮为零的理想的δ函数。在某种条件下，这样的近似是容许的。但是，若Δt选得过小，对象的输出也将变小，这就要影响测试结果的精确度。在实际应用中，若在数据处理工作上作某些改进，可使数据处理工作大为简化、精度提高并可简便地由此求得对象的传递函数。

(3)输入伪随机信号的离散化如果在测定对象的动态特性时，采用M序列伪随机信号x(t)作为输入，然后根据此信号再构成一个信号x’(t)，如图5-31所示。0，Δt，2Δt，……，kΔt，……等时刻为一个理想的脉冲(δ函数)，其正负号随x(t)的正负而定。

x’(t)是一个离散的周期性序列信号，其周期也是T=NΔt

，它仅在……，-kΔt，-(k-1)Δt，……，-2Δt

，-Δt，

（a）x(t)与x’(t)的互相关函数由于信号的周期性质，积分时间仅从0～T便可，故（5-50）式中，signx(t)表示取x(t)的符号+1x（t）=+a（5-51）signx(t)=-1x（t）=-a（5-52）因信号x’(t)是离散的，仅在kΔt(k为整数)时出现，故积分可写成求和式

图象如图5-32所示，是一个周期性脉冲方波，方波宽Rx’x(τ)=a

NΔt≤τ<(N+1)Δt（N为整数）-a/N

其它τ值（5-53）度为Δt，总的高度为a（N+1）/N，周期为NΔt。（b）x’（t）与y（t）的互相关函数由（5-34）式有代人上式（5-54）对照（5-35）式可见，若以Rx’x(τ)作为对象的输入，则Rx’y(τ)就是对应于它的输出，因为Rx’x(τ)是一个脉冲方波，所以Rx’y(τ)相当于一个脉冲方波的反应。关于脉冲方波反应，在前面已经介绍了各种处理方法，很容易由它获得对象脉冲方波响应函数或传递函数。如果Δt选得很小，而周期T=NΔt又大于系统过渡过程时间，则Rx’y(τ)就是系统的脉冲响应函数了。Rx’y(τ)的计算是很容易的，因x’(t)是离散的，则积分可用和式

（5-55）即只要取出τ，τ+Δt，τ+2Δt，……，τ+(N-1)Δt共N个时刻的y(t)的值，乘以x’(t)在0，Δt，2Δt，……，(N-1)Δt时刻的符号值（+1或-1），相加后再除以N即得。为了提高精度，可以多取几个周期的数据。[例]某加热炉，炉膛温度受所加燃料的影响，现要测定燃料与炉膛温度之间的动态关系。实验时，我们直接测定燃料控制阀的压力与温度之间的关系，在阀门的压力上加一个伪随机序列x(t)，测定炉膛温度的变化。X(t)的具体参数为

Δt=4min，N=15，a=0.03kg/cm2

实验结果y(t)的记录如图5-33，共得三个周期的记录曲线并不完全重复，这是由于存在实验误差（包括生产过程的随机性波动及记录仪表的测量误差）的缘故。

图5-34画出了互相关函数Rxy(τ)及沿y轴移动一个稳态值的距离

图形。相关函数Rx’y（τ）的计算是相当简单的，下面用表格和式子说明它的详细计算过程。（1）计算Rxy(τ)

用两个周期计算互相关函数值，在式（5-49）中取r=2得（2）计算Rx’y（τ）

据（5-49）式首先将y(t)在0，Δt，2Δt，……，44Δt各时刻的采样值记录下来，如表5-2（P230）所示。表中所记的y(t)值是扣除一恒值（830℃）后得到的数值，这对测定动态特性来讲是没有影响的。在计算Rxy(0)时，可按照表中τ=0那一栏的正负号对应地将采样值相加减，并最后除以采样值的个数N=30，则

Rx’y(0)=Rxy(0)/0.03=1/30[（2.06+0.68+0.44+0.8+…+2.82）-（1.85+1.84+…+2.04）]=-0.303计算Rx’y(Δt)时，将τ=0那一栏的正负号向右移动Δt后，得到霄τ=Δt

的形式，将y(t)的采样值对应地相加减并除以30，即使Rx’y(Δt)=Rxy(Δt)/0.03=1/30[（1.85+0.44+0.80+1.91+…+2.04）-（1.84+1.79+…+2.01）]=-0.27如此继续下去，直到计算满一个周期T=15Δt为止。

（3）绘制Rx’y(τ)曲线

计算求得Rx’y(τ)的各个数值作出曲线，如图5-34（b）所示。这里Rx’y(τ)就是当系统输入为Rx’x(τ)时的输出。

值