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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的部分图象大致为()A. B.C. D.2.已知六棱锥各顶点都在同一个球(记为球)的球面上,且底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,若,,则球的表面积为()A. B. C. D.3.M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()A.π B.π C.π D.2π4.已知函数满足,设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.86.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.7.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.8.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B.C. D.9.已知,复数,,且为实数,则()A. B. C.3 D.-310.已知满足,,,则在上的投影为()A. B. C. D.211.已知函数,,若成立,则的最小值是()A. B. C. D.12.已知是定义在上的奇函数,且当时,.若,则的解集是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.定义在上的偶函数满足,且,当时,.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则__________,__________.14.成都市某次高三统考,成绩X经统计分析,近似服从正态分布,且,若该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____.15.在△ABC中,a=3,,B=2A,则cosA=_____.16.的展开式中,项的系数是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知与有两个不同的交点,其横坐标分别为().(1)求实数的取值范围;(2)求证:.18.(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.19.(12分)已知函数.(1)若在上是减函数,求实数的最大值;(2)若,求证:.20.(12分)如图,已知四边形的直角梯形,∥BC,,,,为线段的中点,平面,,为线段上一点(不与端点重合).(1)若,(ⅰ)求证:PC∥平面;(ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由.21.(12分)如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是10m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=60°.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?22.(10分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
图像分析采用排除法,利用奇偶性判断函数为奇函数,再利用特值确定函数的正负情况。【详解】,故奇函数,四个图像均符合。当时,,,排除C、D当时,,,排除A。故选B。【点睛】图像分析采用排除法,一般可供判断的主要有:奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。2.D【解析】
由题意,得出六棱锥为正六棱锥,求得,再结合球的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】由题意,六棱锥底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,可得此六棱锥为正六棱锥,又由,所以,在直角中,因为,所以,设外接球的半径为,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征,以及外接球的表面积的计算,其中解答中熟记几何体的结构特征,熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.3.C【解析】
两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故选C.4.B【解析】
结合函数的对应性,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若,则,即成立,若,则由,得,则“”是“”的必要不充分条件,故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数的对应性是解决本题的关键,属于基础题.5.A【解析】
由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.6.C【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题7.D【解析】
设非零向量与的夹角为,在等式两边平方,求出的值,进而可求得向量在向量方向上的投影为,即可得解.【详解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影为.故选:D.【点睛】本题考查向量投影的计算,同时也考查利用向量的模计算向量的夹角,考查计算能力,属于基础题.8.B【解析】
作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,利用数形结合即可得到的最小值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,当位于时,此时的斜率最小,此时.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.9.B【解析】
把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简,利用虚部为0求得m值.【详解】因为为实数,所以,解得.【点睛】本题考查复数的概念,考查运算求解能力.10.A【解析】
根据向量投影的定义,即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影,属于基础题.11.A【解析】分析:设,则,把用表示,然后令,由导数求得的最小值.详解:设,则,,,∴,令,则,,∴是上的增函数,又,∴当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,,∴的最小值是.故选A.点睛:本题易错选B,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错.12.B【解析】
利用函数奇偶性可求得在时的解析式和,进而构造出不等式求得结果.【详解】为定义在上的奇函数,.当时,,,为奇函数,,由得:或;综上所述:若,则的解集为.故选:.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式;易错点是忽略奇函数在处有意义时,的情况.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.24【解析】
根据函数为偶函数且,所以的周期为,的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标,在平面直角坐标系中画出函数图象,根据函数的对称性可得所有实数根的和为,从而可得参数的值,最后求出函数的解析式,代入求值即可.【详解】解:因为为偶函数且,所以的周期为.因为时,,所以可作出在区间上的图象,而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标,结合函数和函数在区间上的简图,可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知,此六个交点的横坐标之和为,所以,故.因为,所以.故.故答案为:;【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用,函数方程思想,数形结合思想,属于难题.14..【解析】
根据正态分布密度曲线性质,结合求得,即可得解.【详解】根据正态分布,且,所以故该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为.故答案为:.【点睛】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析,根据曲线的对称性求解概率,根据总人数求解成绩大于114的人数.15.【解析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解.【详解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用,属于基础题.16.240【解析】
利用二项式展开式的通项公式,令x的指数等于3,计算展开式中含有项的系数即可.【详解】由题意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用,相对不难.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析【解析】
(1)利用导数研究的单调性,分析函数性质,数形结合,即得解;(2)构造函数,可证得:,,分析直线,与从左到右交点的横坐标,在,处的切线即得解.【详解】(1)设函数,,令,令故在单调递减,在单调递增,∴,∵时;;时.(2)①过点,的直线为,则令,,,.②过点,的直线为,则,在上单调递增.③设直线,与从左到右交点的横坐标依次为,,由图知.④在,处的切线分别为,,同理可以证得,.记直线与两切线和从左到右交点的横坐标依次为,.【点睛】本题考查了函数与导数综合,考查了学生数形结合,综合分析,转化划归,逻辑推理,数学运算的能力,属于较难题.18.(1)见解析,0(2)【解析】
(1)即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可;(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:(1)的取值可能为,,1,3,又因为,故,,,,所以的分布列为:13所以(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题,此时的概率为(或).【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.19.(1)(2)详见解析【解析】
(1),在上,因为是减函数,所以恒成立,即恒成立,只需.令,,则,因为,所以.所以在上是增函数,所以,所以,解得.所以实数的最大值为.(2),.令,则,根据题意知,所以在上是增函数.又因为,当从正方向趋近于0时,趋近于,趋近于1,所以,所以存在,使,即,,所以对任意,,即,所以在上是减函数;对任意,,即,所以在上是增函数,所以当时,取得最小值,最小值为.由于,,则,当且仅当,即时取等号,所以当时,.20.(1)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)(2)存在,【解析】
(1)(i)连接交于点,连接,,依题意易证四边形为平行四边形,从而有,,由此能证明PC∥平面(ii)推导出,以为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解;(2)设,求出平面的法向量,利用向量法求解.【详解】(1)(ⅰ)证明:连接交于点,连接,,因为为线段的中点,所以,因为,所以因为∥所以四边形为平行四边形.所以又因为,所以又因为平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如图,在平行四边形中因为,,所以以为原点建立空间直角坐标系则,,,所以,,,平面的法向量为设平面的法向量为,则,即,取,得,设平面和平面所成的锐二面角为,则所以锐二面角的余弦值为(2)设所以,,设平面的法向量为,则,取,得,因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以解得所以存在满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】此题二查线面平行的证明,考查锐二面角的余弦值的求法,考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线,线面,面面的位置关系等知识,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.(1);(2)当BP为cm时,α+β取得最小值.【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,根据得到,解得答案.(2)设BP=t,则,故,设,求导得到函数单调性,得到最值.【详解】(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,则,化简得,解之得,或(舍),(2)设BP=t,则,,设,,令f'(t)=0,因为,得,
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