大学物理学施建青版上册上课课件4角动量守恒定律

力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.一质点的角动量定理和角动量守恒定律

质点运动状态的描述力的时间累积效应冲量、动量、动量定理.刚体定轴转动运动状态的描述力矩的时间累积效应11质点的角动量质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点

O

的位矢为，质点相对于原点的角动量定义为大小的方向符合右手法则.单位：1质点的角动量质量为的质点2质点作变速直线运动时一个质量为m的质点由A点自由下落，不计空气阻力。若以A点为参考点，则在任意时刻t，有：质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质点做直线运动时是否也具有角动量呢？质点作变速直线运动时一个质量为m的质点由A点自由下落，不计空3若以O为参考点，质点在任意时刻的角动量为：若以O为参考点，质点在任意时刻的角动量为：4若质点作匀速直线运动，以O点为参考点，质点的角动量为：注意：对不同的参考点有不同的角动量若质点作匀速直线运动，以O点为参考点，质点的角动量为：注意：5作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.2质点的角动量定理作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于6

质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.

恒矢量

冲量矩质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.3质点的角动量守恒定律质点所受对参考点O的合力矩为零时，质7在有心力场中运动的质点角动量守恒：有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力，该固定中心称为力心在有心力场中运动的质点角动量守恒：有心力：方向始终指向或背向8开普勒第二定律dS：矢径在dt时间====扫过的面积开普勒第二定律dS：矢径在dt时间====扫过的面积9质点系的角动量定理质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量，等于各质点对该参考点的角动量的矢量和，即质点在平面内运动时，质点对平面内某参考点的角动量矢量与这个平面垂直。这时可以把质点对运动平面内某参考点的角动量的数值称为质点对过o点垂直于平面的轴的角动量。质点系的角动量定理质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量10如图，有一个作半径为r的圆周运动的质点m，其对o点的角动量为对z轴的角动量大小为角动量L的方向就是的方向，可以用右手定则判断。刚体定轴转动时，总角动量为如图，有一个作半径为r的圆周运动的质点m，其对o点的角动量为11质点系角动量对时间的变化率设质点系由N个质点组成，每个质点所受的外力力矩为，内力的力矩为，则有………对以上各式求和，得质点系角动量对时间的变化率设质点系由N个质点组成，每个质点所12说明：1.在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩注意：作用于系统的外力矢量和为零时，合力矩不一定为零如图的一对力偶，其矢量和为零，而合力矩不为零。说明：1.在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力的132.一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力矩之和恒为零，即证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零2.一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力14因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内力矩无关。写成积分式质点系的角动量定理：表明质点在t0到t时间内所受合力矩的冲量等于同一时间内质点系的角动量的增量。因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与15质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力对某参考点的力矩的矢量和为零时，则质点系对该参考点的总角动量不随时间变化。恒矢量当时，质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力对某参考点的力矩的16质点的角动量质点的角动量定理

恒矢量

质点的角动量守恒定律质点的角动量质点的角动量定理恒矢量质点的角动量守恒定律17质点系的角动量质点系的角动量定理恒矢量当时，质点系的角动量守恒质点系的角动量质点系的角动量定理恒矢量当18例1:质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动．起初，当A离B很远(r=∞)时，A具有速度，方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D．粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB．例1:质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保19解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v．A、B系统机械能守恒(A在很远处时，引力势能为零)解得∴

解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时20

例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg的滑块，如图所示．弹簧自然长度l0=0.2m，劲度系数k=100N·m-1.设t=0时，弹簧长度为l0，滑块速度v0=5m·s-1，方向与弹簧垂直．以后某一时刻，弹簧长度l=0.5m．求该时刻滑块速度的大小和夹角θ

．例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质21解：由角动量守恒和机械能守恒可得

∴

解：由角动量守恒和机械能守恒可得221、转动惯量质点系的转动惯量：质点系内每个质点的质量与该质点到转轴的垂直距离平方之积的总和O单个质点的转动惯量定义为：质量m与该质点到转轴的垂直距离平方之积二刚体的定轴转动1、转动惯量质点系的转动惯量：质点系内每个质点的质量与该质点23如果系统是质量连续分布的物体，转动惯量表示为单位：定轴转动刚体的角动量表示为：刚体定轴转动时，总角动量为物理意义：转动惯性的量度.如果系统是质量连续分布的物体，转动惯量表示为单位：定轴转动刚24例3：求质量为m，长为l的均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯量解：细棒的线密度为取沿长度的坐标轴为x轴，则在棒上取质元O´O例3：求质量为m，长为l的均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯25例4：求质量m、半径R的圆环对直径的转动惯量解：圆环质量线密度为在环上取质元dm对直径AB的垂直距离所以，圆环对直径的转动惯量例4：求质量m、半径R的圆环对直径的转动惯量解：圆环质量线密26ORO

例5一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解：设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量ORO例5一质量为、27平行轴定理：如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为Ic,那么对与此轴平行的任意转轴的转动惯量I表示为正交轴定理：若z轴垂直厚度为无限小的刚体薄板板面，xy平面与板面重合，则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系平行轴定理：如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为Ic,那么对与28利用平行轴定理求质量为m，长为l的均匀细绕通过一端并垂直于杆的转轴的转动惯量解：由于细棒绕垂直通过质心的转轴的转动惯量为又因为两转轴之间的距离为根据平行轴定理，可得利用平行轴定理求质量为m，长为l的均匀细绕通过一端并垂直于杆29竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘302、刚体定轴转动的转动定理力对轴的力矩总是平行于轴的，如果在轴上选定一个正方向，则对刚体定轴转动来说有则定轴转动时刚体的角动量大小为转动定理说明力矩的瞬时作用是产生角加速度矢量形式为2、刚体定轴转动的转动定理力对轴的力矩总是平行于轴的，如果在31例6：一系绳跨过一无摩擦的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，且m2>m1。设定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为m，半径为r，若绳与滑轮间无相对滑动，求物体的加速度、定滑轮转动的角加速度和绳的张力。例6：一系绳跨过一无摩擦的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m132解：滑轮具有一定的转动惯量，在转动过程两边的张力不相等。设m1这边的绳子的张力为T1、T1’,物体m2这边的绳子的张力为T2、T2’由牛顿第二定律和转动定律列方程对m1对m2对m滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度，则可得滑轮的转动惯量为解：滑轮具有一定的转动惯量，在转动过程两边的张力不相等。设m33由以上方程解得：由以上方程解得：34

例7质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABC例7质量为的35ABCOO解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.ABCOO解（1）隔离物体分别对物体A、B36如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC如令，可得（2）B由静止出发作37（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结38ABCABC39刚体定轴转动的角动量定理O刚体定轴转动的角动量定理O40

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.刚体定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若讨论

在冲击等问题中常量角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改41有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰42

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

被中香炉惯性导航仪（陀螺）角动43直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动44思考：1、一个物体可以绕定轴作无摩擦的匀速转动。当它受热或受冷（即膨胀或收缩）时，角速度是否改变？为什么？角动量守恒应用：当膨胀时，当收缩时：思考：角动量守恒应用：当膨胀时，当收缩时：452、体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端，他们由初速度为零向上爬，经过一段时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是A、甲先到达B、乙先到达C、同时到达D、谁先到达不能确定C正确2、体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮46大学物理学施建青版上册上课课件4角动量守恒定律47例8一长为l,质量为

的竿可绕支点O自由转动.一质量为、速率为的子弹射入竿内距支点为处，使竿的偏转角为30º.问子弹的初速率为多少?解把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒例8一长为l,质量为48射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒.射入竿后，以子弹、细杆和49例9一杂技演员M由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为

,跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M落在A点的速度碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度例9一杂技演员M由距水平跷板高为50把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒解得演员N以u

起跳,达到的高度ll/2CABMNh把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒解51本章考试主要知识点：1、牛顿三定律、变力作用下质点的牛顿动力学问题；2、冲量、平均冲力、动量和动量定理（质点和质点系）、动量守恒定律；3、变力的功、动能和动能定理；4、保守力与非保守力；5、势能：引力势能、弹性势能；6、功能原理、机械能守恒；本章考试主要知识点：1、牛顿三定律、变力作用下质点的牛顿动力527、角动量、力矩、冲量矩和角动量定理；8、定轴转动问题的角动量守恒定律；9、刚体定轴转动、转动惯量和转动定律。7、角动量、力矩、冲量矩和角动量定理；8、定轴转动问题的角动53力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.一质点的角动量定理和角动量守恒定律

质点运动状态的描述力的时间累积效应冲量、动量、动量定理.刚体定轴转动运动状态的描述力矩的时间累积效应541质点的角动量质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点

O

的位矢为，质点相对于原点的角动量定义为大小的方向符合右手法则.单位：1质点的角动量质量为的质点55质点作变速直线运动时一个质量为m的质点由A点自由下落，不计空气阻力。若以A点为参考点，则在任意时刻t，有：质点做曲线运动时，对某点具有角动量，质点做直线运动时是否也具有角动量呢？质点作变速直线运动时一个质量为m的质点由A点自由下落，不计空56若以O为参考点，质点在任意时刻的角动量为：若以O为参考点，质点在任意时刻的角动量为：57若质点作匀速直线运动，以O点为参考点，质点的角动量为：注意：对不同的参考点有不同的角动量若质点作匀速直线运动，以O点为参考点，质点的角动量为：注意：58作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.2质点的角动量定理作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于59

质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.

恒矢量

冲量矩质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.3质点的角动量守恒定律质点所受对参考点O的合力矩为零时，质60在有心力场中运动的质点角动量守恒：有心力：方向始终指向或背向一个固定中心的力，该固定中心称为力心在有心力场中运动的质点角动量守恒：有心力：方向始终指向或背向61开普勒第二定律dS：矢径在dt时间====扫过的面积开普勒第二定律dS：矢径在dt时间====扫过的面积62质点系的角动量定理质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量，等于各质点对该参考点的角动量的矢量和，即质点在平面内运动时，质点对平面内某参考点的角动量矢量与这个平面垂直。这时可以把质点对运动平面内某参考点的角动量的数值称为质点对过o点垂直于平面的轴的角动量。质点系的角动量定理质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量63如图，有一个作半径为r的圆周运动的质点m，其对o点的角动量为对z轴的角动量大小为角动量L的方向就是的方向，可以用右手定则判断。刚体定轴转动时，总角动量为如图，有一个作半径为r的圆周运动的质点m，其对o点的角动量为64质点系角动量对时间的变化率设质点系由N个质点组成，每个质点所受的外力力矩为，内力的力矩为，则有………对以上各式求和，得质点系角动量对时间的变化率设质点系由N个质点组成，每个质点所65说明：1.在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩注意：作用于系统的外力矢量和为零时，合力矩不一定为零如图的一对力偶，其矢量和为零，而合力矩不为零。说明：1.在质点系的情况下，合力矩是指作用于质点系的各个力的662.一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力矩之和恒为零，即证明：一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零2.一对内力对同一参考点的力矩之和恒为零，从而质点系所有内力67因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与内力矩无关。写成积分式质点系的角动量定理：表明质点在t0到t时间内所受合力矩的冲量等于同一时间内质点系的角动量的增量。因此，质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受合外力矩，而与68质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力对某参考点的力矩的矢量和为零时，则质点系对该参考点的总角动量不随时间变化。恒矢量当时，质点系的角动量守恒定律：当质点系所受的外力对某参考点的力矩的69质点的角动量质点的角动量定理

恒矢量

质点的角动量守恒定律质点的角动量质点的角动量定理恒矢量质点的角动量守恒定律70质点系的角动量质点系的角动量定理恒矢量当时，质点系的角动量守恒质点系的角动量质点系的角动量定理恒矢量当71例1:质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动．起初，当A离B很远(r=∞)时，A具有速度，方向沿图中所示直线Aa，B与这直线的垂直距离为D．粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动．已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB．例1:质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用，B保72解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v．A、B系统机械能守恒(A在很远处时，引力势能为零)解得∴

解：A对B所在点的角动量守恒．设粒子A到达距B最短距离为d时73

例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg的滑块，如图所示．弹簧自然长度l0=0.2m，劲度系数k=100N·m-1.设t=0时，弹簧长度为l0，滑块速度v0=5m·s-1，方向与弹簧垂直．以后某一时刻，弹簧长度l=0.5m．求该时刻滑块速度的大小和夹角θ

．例2：在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质74解：由角动量守恒和机械能守恒可得

∴

解：由角动量守恒和机械能守恒可得751、转动惯量质点系的转动惯量：质点系内每个质点的质量与该质点到转轴的垂直距离平方之积的总和O单个质点的转动惯量定义为：质量m与该质点到转轴的垂直距离平方之积二刚体的定轴转动1、转动惯量质点系的转动惯量：质点系内每个质点的质量与该质点76如果系统是质量连续分布的物体，转动惯量表示为单位：定轴转动刚体的角动量表示为：刚体定轴转动时，总角动量为物理意义：转动惯性的量度.如果系统是质量连续分布的物体，转动惯量表示为单位：定轴转动刚77例3：求质量为m，长为l的均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯量解：细棒的线密度为取沿长度的坐标轴为x轴，则在棒上取质元O´O例3：求质量为m，长为l的均匀细棒绕垂直通过质心转轴的转动惯78例4：求质量m、半径R的圆环对直径的转动惯量解：圆环质量线密度为在环上取质元dm对直径AB的垂直距离所以，圆环对直径的转动惯量例4：求质量m、半径R的圆环对直径的转动惯量解：圆环质量线密79ORO

例5一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解：设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量ORO例5一质量为、80平行轴定理：如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为Ic,那么对与此轴平行的任意转轴的转动惯量I表示为正交轴定理：若z轴垂直厚度为无限小的刚体薄板板面，xy平面与板面重合，则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系平行轴定理：如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为Ic,那么对与81利用平行轴定理求质量为m，长为l的均匀细绕通过一端并垂直于杆的转轴的转动惯量解：由于细棒绕垂直通过质心的转轴的转动惯量为又因为两转轴之间的距离为根据平行轴定理，可得利用平行轴定理求质量为m，长为l的均匀细绕通过一端并垂直于杆82竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘832、刚体定轴转动的转动定理力对轴的力矩总是平行于轴的，如果在轴上选定一个正方向，则对刚体定轴转动来说有则定轴转动时刚体的角动量大小为转动定理说明力矩的瞬时作用是产生角加速度矢量形式为2、刚体定轴转动的转动定理力对轴的力矩总是平行于轴的，如果在84例6：一系绳跨过一无摩擦的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，且m2>m1。设定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为m，半径为r，若绳与滑轮间无相对滑动，求物体的加速度、定滑轮转动的角加速度和绳的张力。例6：一系绳跨过一无摩擦的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m185解：滑轮具有一定的转动惯量，在转动过程两边的张力不相等。设m1这边的绳子的张力为T1、T1’,物体m2这边的绳子的张力为T2、T2’由牛顿第二定律和转动定律列方程对m1对m2对m滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度，则可得滑轮的转动惯量为解：滑轮具有一定的转动惯量，在转动过程两边的张力不相等。设m86由以上方程解得：由以上方程解得：87

例7质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABC例7质量为的88ABCOO解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.ABCOO解（1）隔离物体分别对物体A、B89如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC如令，可得（2）B由静止出发作90（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结91ABCABC92刚体定轴转动的角动量定理O刚体定轴转动的角动量定理O93

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.刚体定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若讨论

在冲击等问题中常量角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改94有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰95

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

被中香炉惯性导航仪（陀螺）角动96直线运动与定轴转