八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理课件(新版)北师大版

初中数学（北师大版）八年级上册第一章勾股定理初中数学（北师大版）第一章勾股定理1探索勾股定理1探索勾股定理2知识点一

勾股定理的探索探索勾股定理的方法

1探索勾股定理知识点一

勾股定理的探索1探索勾股定理3例1如图1-1-1,在直角三角形外部作出3个正方形.设小方格的边长为

1,完成下列问题.

图1-1-1(1)正方形A中含有

个小方格,即A的面积是

;(2)正方形B中含有

个小方格,即B的面积是

;(3)正方形C的面积是

;(4)如果用SA、SB、SC分别表示正方形A、B、C的面积,那么它们之间的

关系是

.1探索勾股定理例1如图1-1-1,在直角三角形外部作出3个正方形.设小方4解析在正方形A、B中,可以直接数小方格的个数进而得到面积,正方

形C的面积的求法有如下两种:

图1-1-2图1-1-2(1)中,正方形C的面积可看成是4个直角三角形与1个小正方形的

面积和;图1-1-2(2)中,正方形C的面积可看成是大正方形与4个直角三角形的面积差.答案(1)16;16(2)9;9(3)25(4)SA+SB=SC1探索勾股定理解析在正方形A、B中,可以直接数小方格的个数进而得到面积,5知识点二

验证勾股定理项目内容勾股定理验证的思路用拼图法验证勾股定理的思路:(1)图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,那么面积不会改变;(2)根据同种图形面积的不同表示方法列出等式,推导勾股定理勾股定理验证的实质勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找面积相等,通过面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题拓展延伸拼图法步骤①拼出图形;②写出图形面积表达式;③找出等量关系;④恒等变形;⑤推导出勾股定理原则图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙1探索勾股定理知识点二

验证勾股定理项目内容勾股定理验证的思路用拼图6常见的几种验证方法如下表:1探索勾股定理常见的几种验证方法如下表:1探索勾股定理71探索勾股定理1探索勾股定理8

A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1-1-3①

图1-1-3②

例2(1)观察图1-1-3,并填写下表(图中每个小方格的面积为1个单位面积):(2)三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系?(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什么关系?

图1-1-31探索勾股定理A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积9解析(1)如下表:(2)三个正方形A,B,C的面积之间的关系为SA+SB=SC.(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系:直角三角

形两直角边的平方和等于斜边的平方.

A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1-1-3①16925图1-1-3②49131探索勾股定理解析(1)如下表:(2)三个正方形A,B,C的面积之间的关10知识点三

勾股定理及其简单应用1探索勾股定理知识点三

勾股定理及其简单应用1探索勾股定理11例3如图1-1-4所示,隔湖有A、B两点,AB⊥BC于点B,测得AC=50米,BC

=40米.求A、B两点间的距离.你能求出B点到直线AC的距离吗?

图1-1-41探索勾股定理例3如图1-1-4所示,隔湖有A、B两点,AB⊥BC于点B12解析由题意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC2+AB2,∵AC=50米,BC=40米,∴AB2=AC2-BC2,∴AB=30米.如图1-1-5所示,过B点作BD⊥AC于点D,

图1-1-5BD的长度即为B点到直线AC的距离.∵△ABC的面积=

·AB·BC=

·AC·BD,1探索勾股定理解析由题意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC13∴AB·BC=AC·BD,∴BD=

=

=24(米).答:A、B两点间的距离为30米,B点到直线AC的距离为24米.1探索勾股定理∴AB·BC=AC·BD,1探索勾股定理14题型

利用勾股定理求三角形边长例在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,∠C=90°.(1)若a=6,b=8,则c=

;(2)若a=5,c=13,则b=

;(3)若c=34,a∶b=8∶15,则a=

,b=

.1探索勾股定理题型

利用勾股定理求三角形边长1探索勾股定理15解析(1)已知两直角边长a、b,则由c2=a2+b2=62+82=100,得c=10(舍负).(2)已知直角三角形的斜边长c和一条直角边长a,则由b2=c2-a2=132-52=144,得b=12(舍负).(3)因为a∶b=8∶15,所以可设a=8k,b=15k(k>0),因为∠C=90°,c=34,所以c2=a2+b2,即342=(8k)2+(15k)2.所以k=2(舍负).所以a=16,b=30.答案(1)10(2)12(3)16;30点拨在直角三角形中,已知斜边长及两条直角边长的比,设出两条直

角边长,用一个参数表示,结合勾股定理可求出两直角边长.1探索勾股定理解析(1)已知两直角边长a、b,则由c2=a2+b2=6216知识点一

勾股定理的探索1.测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表:三角尺直角边a直角边b斜边c关系1

2

根据已经得到的数据,请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.解析根据实际测量结果猜想a2+b2=c2,注意测量值均为近似值.1探索勾股定理知识点一

勾股定理的探索三角尺直角边a直角边b斜边c关172.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1-1-1所示的图形,这个图形

被称为弦图.通过该图形,可以验证公式

()图1-1-1A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)2=a2+2ab+b2知识点二

验证勾股定理C.c2=a2+b2

D.(a-b)2=a2-2ab+b2

1探索勾股定理2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1-1-1所示的图形18答案

C大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为

ab×4+(b-a)2,∴c2=

ab×4+(b-a)2,即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2.1探索勾股定理答案

C大正方形的面积可以表示为c2,1探索勾股定19知识点三

勾股定理及其简单应用3.如图1-1-2,阴影部分是一个正方形,该正方形的面积为

()

图1-1-2A.25cm2

B.5cm2

C.313cm2

D.20cm2

答案

A设正方形的边长为acm,由勾股定理得a2=132-122=25,∴a=5,

即正方形的边长为5,故正方形的面积为5×5=25(cm2).1探索勾股定理知识点三

勾股定理及其简单应用答案

A设正方形204.(2013四川资阳中考)如图1-1-3,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是

()

图1-1-3A.48

B.60

C.76

D.801探索勾股定理4.(2013四川资阳中考)如图1-1-3,点E在正方形AB21答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,∴S阴影=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-

×AE×BE=100-

×6×8=76,故选C.1探索勾股定理答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,1221.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则

另一个正方形的面积S2为

.答案144解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.1探索勾股定理1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25232.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸

(单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为

.

答案100mm解析

在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2

=AC2+BC2=10000,∴AB=100mm,∴两圆孔中心A和B的距离为100mm.1探索勾股定理2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的243.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,则Rt△ABC的面积等于

.答案24解析在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∵a+b=14,c=10,∴196-2ab=100,即ab=48,则Rt△ABC的面积为

ab=24.1探索勾股定理3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=9251.如图1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面

积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于

()图1-1-4A.2πB.4πC.8πD.16π1探索勾股定理1.如图1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以26答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=

π=

·AC2,S2=

π=

·BC2,∴S1+S2=

(AC2+BC2)=

×16=2π.1探索勾股定理答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=4272.(2017广西防城港期中)如图1-1-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,

则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为

()

图1-1-5A.225

B.200

C.250

D.150答案

A正方形ADEC的面积为AC2,正方形BCFG的面积为BC2.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,则AC2+BC2=225.故选A.1探索勾股定理2.(2017广西防城港期中)如图1-1-5,在Rt△ABC283.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面

积为

.答案13或5解析以x为边长的正方形的面积为x2.当2和3都是直角边时,x2=4+9=1

3;当3是斜边时,x2=9-4=5.故答案为13或5.1探索勾股定理3.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正294.(2017北京通州二模改编)2002年8月,在北京召开国际数学家大会,大

会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦

图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方

形,如图1-1-6所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,那

么小正方形的面积可以表示为

(用含有a,b的式子表示),小正

方形的面积还可以表示为

(用含有a,b,c的式子表示),可以验

证一个等式:

.

图1-1-61探索勾股定理4.(2017北京通州二模改编)2002年8月,在北京召开国30答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2

解析由题意知,小正方形的边长为a-b,因此小正方形的面积=边长×边

长=(a-b)2;小正方形的面积还可以表示为大正方形的面积-4个直角三角

形的面积.而4个直角三角形的面积=4×

ab=2ab,大正方形的面积=c2,所以小正方形的面积=c2-2ab.因此(a-b)2=c2-2ab,整理得a2+b2=c2.1探索勾股定理答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2解析由311.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”

后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的

三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图

2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生

长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是

()A.2015

B.2016

C.2017

D.20181探索勾股定理1.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过32答案

D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c.

如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,SA+SB=SC=1.第二次“生

长”后,SD+SE+SF+SG=SA+SB=SC=1,推而广之,“生长”了2017次后形成的

图形中所有的正方形的面积和是2018×1=2018.故选D.

1探索勾股定理答案

D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长332.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了

一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图变化得

到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方

形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边

长为2,则S1+S2+S3=

.

1探索勾股定理2.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定34答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a

-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.1探索勾股定理答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a353.已知:如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若

AB=3,则图中阴影部分的面积为

.

答案

解析因为△ACH为直角三角形,所以AH2+HC2=AC2.又因为AH=HC,1探索勾股定理3.已知:如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角36所以AH2=

AC2,所以S△ACH=

AH·HC=

AH2=

AC2.同理,S△BCF=

BC2,S△ABE=

AB2.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,AB=3,故阴影部分的面积为S△ACH+S△BCF+S△ABE=

AC2+

BC2+

AB2=

(AC2+BC2+AB2)=

×2AB2=

×9=

.1探索勾股定理所以AH2= AC2,= (AC2+BC2+AB2)1探索37一、选择题1.(2018云南文山广南月考,3,★☆☆)已知一个直角三角形三边长的平

方和为800,则斜边长为

()A.10

B.20

C.30

D.40答案

B设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,根据勾股定理得a2+b2=c2,∵a2+b2+c2=800,∴2c2=800,∴c2=400,∴c=20.1探索勾股定理一、选择题答案

B设直角三角形的两直角边长分别为a,382.(2018江苏张家港梁丰期中,2,★★☆)在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+

BC2+AC2的值是

()A.2

B.4

C.8

D.6答案

C因为AB2=BC2+AC2,所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=2×22=

8.1探索勾股定理2.(2018江苏张家港梁丰期中,2,★★☆)在Rt△ABC393.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如图1-1-7,“赵爽弦图”是由四个全

等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两直

角边长分别为5和3,则小正方形的面积为

()

图1-1-7A.4

B.3

C.2

D.11探索勾股定理3.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如图1-1-7,“40答案

A解法一:∵3和5为两条直角边长,∴小正方形的边长=5-3=2,∴小正方形的面积为22=4.故选A.解法二:设直角三角形的斜边长为c,即大正方形的边长为c,由勾股定理

得c2=52+32=34,∴小正方形的面积为34-4×

×5×3=4.1探索勾股定理答案

A解法一:∵3和5为两条直角边长,1探索勾股41二、填空题4.(2016福建南平松溪期中,16,★☆☆)如图1-1-8所示的图形中,所有的

四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形

的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积和为

.

图1-1-81探索勾股定理二、填空题1探索勾股定理42答案25解析如图,SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SG=25,所以SA+SB+SC+SD=25.

1探索勾股定理答案25解析如图,SA+SB=SE,SC+SD=SF,S435.(2017江苏南京师大附中单元练,4,★☆☆)若直角三角形的三边长分

别为3、4、x,则x2=

.答案25或7解析分两种情况:①若4为斜边长,则42=x2+32,即x2=7;②若x为斜边长,

则x2=32+42=25.综上,x2=25或7.1探索勾股定理5.(2017江苏南京师大附中单元练,4,★☆☆)若直角三角441.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形的两直角边长

分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是

()A.6厘米

B.8厘米C.

厘米

D.

厘米答案

D∵直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,又52+122

=132,∴斜边长为13厘米,∴斜边上的高=

=

(厘米).故选D.1探索勾股定理1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形452.(2016安徽芜湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y为正数,且|x2-4|+(y2-3)2=0,

如果以x、y为直角边长作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜

边长为边长的正方形的面积为

()A.5

B.25

C.7

D.15答案

C依题意得x2-4=0,y2-3=0,∴x2=4,y2=3,∴正方形的面积=x2+y2=4+3=7.故选C.1探索勾股定理2.(2016安徽芜湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y为正数463.(2016广西防城港期中,13,★★☆)如图,长方体的长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,则BD'=

.

答案13cm解析连接BD,则BD2=32+42=25,∴BD=5cm,故BD'2=52+122=169,∴BD'=13cm.1探索勾股定理3.(2016广西防城港期中,13,★★☆)如图,长方体的长47一、选择题1.(2017湖北襄阳中考,10,★☆☆)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证

明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图1-1-9所示的“赵爽弦图”

是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直

角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的

面积为13,则小正方形的面积为

()

图1-1-9A.3

B.4

C.5

D.61探索勾股定理一、选择题 图1-1-91探索勾股定理48答案

C∵大正方形的面积为13,∴a2+b2=13,∵(a+b)2=21,∴a2+2ab+b2=21,∴13+2ab=21,∴2ab=8,∵直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,∴4S直角三角形=4×

ab=2ab=8,∴S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5,故选C.1探索勾股定理答案

C∵大正方形的面积为13,1探索勾股定理492.(2016湖北荆门中考,4,★☆☆)如图1-1-10,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为

()

图1-1-10A.5

B.6

C.8

D.10答案

C因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,所以AD⊥BC,且BD=CD,

在Rt△ABD中,AB=5,AD=3,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=52-32=42,所以BD

=4,所以BC=2BD=8.1探索勾股定理2.(2016湖北荆门中考,4,★☆☆)如图1-1-10,在503.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形纸片的两条直角边长

分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角

形都为等腰三角形,则

()A.m2+2mn+n2=0

B.m2-2mn+n2=0C.m2+2mn-n2=0

D.m2-2mn-n2=0答案

C根据题意画图,如图,在Rt△ABC中,n>m且△ABE和△AEC均

为等腰三角形,∴AB=BE=m,则AE=EC=n-m,根据勾股定理可得AE2=2AB2,即(n-m)2=2m2,整理得m2+2mn-n2=0,故选C.

1探索勾股定理3.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形纸片的51二、填空题4.(2017浙江丽水中考,15,★☆☆)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾

股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1-1-11①

所示.在图1-1-11②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为

2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为

.

图1-1-111探索勾股定理二、填空题图1-1-111探索勾股定理52答案10解析题图②中有8个全等的直角三角形,每个直角三角形的面积为(14

×14-2×2)÷8=(196-4)÷8=192÷8=24,则正方形EFGH的面积为24×4+2×2=96+4=100,∴正方形EFGH的边长为10.1探索勾股定理答案10解析题图②中有8个全等的直角三角形,每个直角三角531.(2013贵州安顺中考改编,6,★★☆)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵

高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则

小鸟飞行

()

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米1探索勾股定理1.(2013贵州安顺中考改编,6,★★☆)如图,有两棵树,54答案

B如图,设大树高AB=10米,小树高CD=4米,

过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,∴EB=CD=4米,EC=BD=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米).∵在Rt△AEC中,AC2=AE2+EC2=100,∴AC=10米.故选B.1探索勾股定理答案

B如图,设大树高AB=10米,小树高CD=4米552.(2016湖南益阳中考,20,★★☆)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求

△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解

题思路完成解答过程.

1探索勾股定理2.(2016湖南益阳中考,20,★★☆)在△ABC中,AB56解析设BD=x,则CD=14-x.由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,∴152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=12.∴S△ABC=

BC·AD=

×14×12=84.1探索勾股定理解析设BD=x,则CD=14-x.1探索勾股定理571.(2016湖南株洲中考)如图1-1-12,以直角三角形的边a、b、c为边,向外

作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积

关系满足S1+S2=S3的图形个数为

()

图1-1-12A.1

B.2

C.3

D.41探索勾股定理1.(2016湖南株洲中考)如图1-1-12,以直角三角形的58答案

D根据勾股定理可得a2+b2=c2.(1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三

角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆的面积,然

后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等

腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面

积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.故满足S1+S2=S3的图形个数为4.1探索勾股定理答案

D根据勾股定理可得a2+b2=c2.1探索勾592.(2014浙江温州中考改编)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,且巧妙

各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全

等的直角三角形如图1-1-13或图1-1-14摆放时,都可以用“面积法”来

证明勾股定理.下面是小聪利用图1-1-13证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按如图1-1-13所示摆放,其中∠DAB=90°.求

证:a2+b2=c2.

图1-1-131探索勾股定理2.(2014浙江温州中考改编)勾股定理神秘而美妙,它的证法60证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=

b2+

ab,S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=

c2+

a(b-a),∴

b2+

ab=

c2+

a(b-a).∴a2+b2=c2.将两个全等的直角三角形按如图1-1-14所示摆放,其中∠DAB=90°.请参

照上述证法,证明a2+b2=c2.

图1-1-141探索勾股定理证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-61证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=

ab+

b2+

ab,S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=

ab+

c2+

a(b-a),∴

ab+

b2+

ab=

ab+

c2+

a(b-a),∴a2+b2=c2.

1探索勾股定理证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a.162在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如图①,则根据勾股定

理,得a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图②和图③所示,请你类比勾

股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.

1探索勾股定理在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=963解析若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2;若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2<c2.证明:当△ABC是锐角三角形时,过点A作AD⊥CB,垂足为D.

设CD=x,则有DB=a-x.根据勾股定理,得b2-x2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2,所以a2+b2=c2+2ax.因为a>0,x>0,所以2ax>0.所以a2+b2>c2.当△ABC是钝角三角形,且∠C为钝角时,1探索勾股定理解析若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2;1探索64过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.

设CD=x,则BD2=a2-x2,根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2,即b2+2bx+x2+a2-x2=c2,所以a2+b2+2bx=c2.因为b>0,x>0,所以2bx>0,所以a2+b2<c2.1探索勾股定理过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D.1探索勾股定理65初中数学（北师大版）八年级上册第一章勾股定理初中数学（北师大版）第一章勾股定理1探索勾股定理1探索勾股定理67知识点一

勾股定理的探索探索勾股定理的方法

1探索勾股定理知识点一

勾股定理的探索1探索勾股定理68例1如图1-1-1,在直角三角形外部作出3个正方形.设小方格的边长为

1,完成下列问题.

图1-1-1(1)正方形A中含有

个小方格,即A的面积是

;(2)正方形B中含有

个小方格,即B的面积是

;(3)正方形C的面积是

;(4)如果用SA、SB、SC分别表示正方形A、B、C的面积,那么它们之间的

关系是

.1探索勾股定理例1如图1-1-1,在直角三角形外部作出3个正方形.设小方69解析在正方形A、B中,可以直接数小方格的个数进而得到面积,正方

形C的面积的求法有如下两种:

图1-1-2图1-1-2(1)中,正方形C的面积可看成是4个直角三角形与1个小正方形的

面积和;图1-1-2(2)中,正方形C的面积可看成是大正方形与4个直角三角形的面积差.答案(1)16;16(2)9;9(3)25(4)SA+SB=SC1探索勾股定理解析在正方形A、B中,可以直接数小方格的个数进而得到面积,70知识点二

验证勾股定理项目内容勾股定理验证的思路用拼图法验证勾股定理的思路:(1)图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,那么面积不会改变;(2)根据同种图形面积的不同表示方法列出等式,推导勾股定理勾股定理验证的实质勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找面积相等,通过面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题拓展延伸拼图法步骤①拼出图形;②写出图形面积表达式;③找出等量关系;④恒等变形;⑤推导出勾股定理原则图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙1探索勾股定理知识点二

验证勾股定理项目内容勾股定理验证的思路用拼图71常见的几种验证方法如下表:1探索勾股定理常见的几种验证方法如下表:1探索勾股定理721探索勾股定理1探索勾股定理73

A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1-1-3①

图1-1-3②

例2(1)观察图1-1-3,并填写下表(图中每个小方格的面积为1个单位面积):(2)三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系?(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什么关系?

图1-1-31探索勾股定理A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积74解析(1)如下表:(2)三个正方形A,B,C的面积之间的关系为SA+SB=SC.(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系:直角三角

形两直角边的平方和等于斜边的平方.

A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1-1-3①16925图1-1-3②49131探索勾股定理解析(1)如下表:(2)三个正方形A,B,C的面积之间的关75知识点三

勾股定理及其简单应用1探索勾股定理知识点三

勾股定理及其简单应用1探索勾股定理76例3如图1-1-4所示,隔湖有A、B两点,AB⊥BC于点B,测得AC=50米,BC

=40米.求A、B两点间的距离.你能求出B点到直线AC的距离吗?

图1-1-41探索勾股定理例3如图1-1-4所示,隔湖有A、B两点,AB⊥BC于点B77解析由题意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC2+AB2,∵AC=50米,BC=40米,∴AB2=AC2-BC2,∴AB=30米.如图1-1-5所示,过B点作BD⊥AC于点D,

图1-1-5BD的长度即为B点到直线AC的距离.∵△ABC的面积=

·AB·BC=

·AC·BD,1探索勾股定理解析由题意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC78∴AB·BC=AC·BD,∴BD=

=

=24(米).答:A、B两点间的距离为30米,B点到直线AC的距离为24米.1探索勾股定理∴AB·BC=AC·BD,1探索勾股定理79题型

利用勾股定理求三角形边长例在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,∠C=90°.(1)若a=6,b=8,则c=

;(2)若a=5,c=13,则b=

;(3)若c=34,a∶b=8∶15,则a=

,b=

.1探索勾股定理题型

利用勾股定理求三角形边长1探索勾股定理80解析(1)已知两直角边长a、b,则由c2=a2+b2=62+82=100,得c=10(舍负).(2)已知直角三角形的斜边长c和一条直角边长a,则由b2=c2-a2=132-52=144,得b=12(舍负).(3)因为a∶b=8∶15,所以可设a=8k,b=15k(k>0),因为∠C=90°,c=34,所以c2=a2+b2,即342=(8k)2+(15k)2.所以k=2(舍负).所以a=16,b=30.答案(1)10(2)12(3)16;30点拨在直角三角形中,已知斜边长及两条直角边长的比,设出两条直

角边长,用一个参数表示,结合勾股定理可求出两直角边长.1探索勾股定理解析(1)已知两直角边长a、b,则由c2=a2+b2=6281知识点一

勾股定理的探索1.测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表:三角尺直角边a直角边b斜边c关系1

2

根据已经得到的数据,请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.解析根据实际测量结果猜想a2+b2=c2,注意测量值均为近似值.1探索勾股定理知识点一

勾股定理的探索三角尺直角边a直角边b斜边c关822.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1-1-1所示的图形,这个图形

被称为弦图.通过该图形,可以验证公式

()图1-1-1A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)2=a2+2ab+b2知识点二

验证勾股定理C.c2=a2+b2

D.(a-b)2=a2-2ab+b2

1探索勾股定理2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1-1-1所示的图形83答案

C大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为

ab×4+(b-a)2,∴c2=

ab×4+(b-a)2,即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2.1探索勾股定理答案

C大正方形的面积可以表示为c2,1探索勾股定84知识点三

勾股定理及其简单应用3.如图1-1-2,阴影部分是一个正方形,该正方形的面积为

()

图1-1-2A.25cm2

B.5cm2

C.313cm2

D.20cm2

答案

A设正方形的边长为acm,由勾股定理得a2=132-122=25,∴a=5,

即正方形的边长为5,故正方形的面积为5×5=25(cm2).1探索勾股定理知识点三

勾股定理及其简单应用答案

A设正方形854.(2013四川资阳中考)如图1-1-3,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是

()

图1-1-3A.48

B.60

C.76

D.801探索勾股定理4.(2013四川资阳中考)如图1-1-3,点E在正方形AB86答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,∴S阴影=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-

×AE×BE=100-

×6×8=76,故选C.1探索勾股定理答案

C∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,1871.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则

另一个正方形的面积S2为

.答案144解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.1探索勾股定理1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25882.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸

(单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为

.

答案100mm解析

在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2

=AC2+BC2=10000,∴AB=100mm,∴两圆孔中心A和B的距离为100mm.1探索勾股定理2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的893.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,则Rt△ABC的面积等于

.答案24解析在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∵a+b=14,c=10,∴196-2ab=100,即ab=48,则Rt△ABC的面积为

ab=24.1探索勾股定理3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=9901.如图1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面

积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于

()图1-1-4A.2πB.4πC.8πD.16π1探索勾股定理1.如图1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以91答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,S1=

π=

·AC2,S2=

π=

·BC2,∴S1+S2=

(AC2+BC2)=

×16=2π.1探索勾股定理答案

A在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=4922.(2017广西防城港期中)如图1-1-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,

则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为

()

图1-1-5A.225

B.200

C.250

D.150答案

A正方形ADEC的面积为AC2,正方形BCFG的面积为BC2.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,则AC2+BC2=225.故选A.1探索勾股定理2.(2017广西防城港期中)如图1-1-5,在Rt△ABC933.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面

积为

.答案13或5解析以x为边长的正方形的面积为x2.当2和3都是直角边时,x2=4+9=1

3;当3是斜边时,x2=9-4=5.故答案为13或5.1探索勾股定理3.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正944.(2017北京通州二模改编)2002年8月,在北京召开国际数学家大会,大

会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦

图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方

形,如图1-1-6所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,那

么小正方形的面积可以表示为

(用含有a,b的式子表示),小正

方形的面积还可以表示为

(用含有a,b,c的式子表示),可以验

证一个等式:

.

图1-1-61探索勾股定理4.(2017北京通州二模改编)2002年8月,在北京召开国95答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2

解析由题意知,小正方形的边长为a-b,因此小正方形的面积=边长×边

长=(a-b)2;小正方形的面积还可以表示为大正方形的面积-4个直角三角

形的面积.而4个直角三角形的面积=4×

ab=2ab,大正方形的面积=c2,所以小正方形的面积=c2-2ab.因此(a-b)2=c2-2ab,整理得a2+b2=c2.1探索勾股定理答案(a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2解析由961.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”

后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的

三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图

2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生

长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是

()A.2015

B.2016

C.2017

D.20181探索勾股定理1.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过97答案

D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c.

如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,SA+SB=SC=1.第二次“生

长”后,SD+SE+SF+SG=SA+SB=SC=1,推而广之,“生长”了2017次后形成的

图形中所有的正方形的面积和是2018×1=2018.故选D.

1探索勾股定理答案

D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长982.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了

一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图变化得

到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方

形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边

长为2,则S1+S2+S3=

.

1探索勾股定理2.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定99答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a

-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.1探索勾股定理答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a1003.已知:如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若

AB=3,则图中阴影部分的面积为

.

答案

解析因为△ACH为直角三角形,所以AH2+HC2=AC2.又因为AH=HC,1探索勾股定理3.已知:如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角101所以AH2=

AC2,所以S△ACH=

AH·HC=

AH2=

AC2.同理,S△BCF=

BC2,S△ABE=

AB2.在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,AB=3,故阴影部分的面积为S△ACH+S△BCF+S△ABE=

AC2+

BC2+

AB2=

(AC2+BC2+AB2)=

×2AB2=

×9=

.1探索勾股定理所以AH2= AC2,= (AC2+BC2+AB2)1探索102一、选择题1.(2018云南文山广南月考,3,★☆☆)已知一个直角三角形三边长的平

方和为800,则斜边长为

()A.10

B.20

C.30

D.40答案

B设直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,根据勾股定理得a2+b2=c2,∵a2+b2+c2=800,∴2c2=800,∴c2=400,∴c=20.1探索勾股定理一、选择题答案

B设直角三角形的两直角边长分别为a,1032.(2018江苏张家港梁丰期中,2,★★☆)在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+

BC2+AC2的值是

()A.2

B.4

C.8

D.6答案

C因为AB2=BC2+AC2,所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2=2×22=

8.1探索勾股定理2.(2018江苏张家港梁丰期中,2,★★☆)在Rt△ABC1043.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如图1-1-7,“赵爽弦图”是由四个全

等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两直

角边长分别为5和3,则小正方形的面积为

()

图1-1-7A.4

B.3

C.2

D.11探索勾股定理3.(2017天津武清期中,10,★☆☆)如图1-1-7,“105答案

A解法一:∵3和5为两条直角边长,∴小正方形的边长=5-3=2,∴小正方形的面积为22=4.故选A.解法二:设直角三角形的斜边长为c,即大正方形的边长为c,由勾股定理

得c2=52+32=34,∴小正方形的面积为34-4×

×5×3=4.1探索勾股定理答案

A解法一:∵3和5为两条直角边长,1探索勾股106二、填空题4.(2016福建南平松溪期中,16,★☆☆)如图1-1-8所示的图形中,所有的

四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形

的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积和为

.

图1-1-81探索勾股定理二、填空题1探索勾股定理107答案25解析如图,SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SG=25,所以SA+SB+SC+SD=25.

1探索勾股定理答案25解析如图,SA+SB=SE,SC+SD=SF,S1085.(2017江苏南京师大附中单元练,4,★☆☆)若直角三角形的三边长分

别为3、4、x,则x2=

.答案25或7解析分两种情况:①若4为斜边长,则42=x2+32,即x2=7;②若x为斜边长,

则x2=32+42=25.综上,x2=25或7.1探索勾股定理5.(2017江苏南京师大附中单元练,4,★☆☆)若直角三角1091.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形的两直角边长

分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是

()A.6厘米

B.8厘米C.

厘米

D.

厘米答案

D∵直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,又52+122

=132,∴斜边长为13厘米,∴斜边上的高=

=

(厘米).故选D.1探索勾股定理1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形1102.(2016安徽芜湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y为正数,且|x2-4|+(y2-3)2=0,

如果以x、y为直角边长作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜

边长为边长的正方形的面积为

()A.5

B.25

C.7

D.15答案

C依题意得x2-4=0,y2-3=0,∴x2=4,y2=3,∴正方形的面积=x2+y2=4+3=7.故选C.1探索勾股定理2.(2016安徽芜湖南陵期中,4,★☆☆)已知x、y为正数1113.(2016广西防城港期中,13,★★☆)如图,长方体的长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm,则BD'=

.

答案13cm解析连接BD,则BD2=32+42=25,∴BD=5cm,故BD'2=52+122=169,∴BD'=13cm.1探索勾股定理3.(2016广西防城港期中,13,★★☆)如图,长方体的长112一、选择题1.(2017湖北襄阳中考,10,★☆☆)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证

明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图1-1-9所示的“赵爽弦图”

是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直

角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的

面积为13,则小正方形的面积为

()

图1-1-9A.3

B.4

C.5

D.61探索勾股定理一、选择题 图1-1-91探索勾股定理113答案

C∵大正方形的面积为13,∴a2+b2=13,∵(a+b)2=21,∴a2+2ab+b2=21,∴13+2ab=21,∴2ab=8,∵直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,∴4S直角三角形=4×

ab=2ab=8,∴S小正方形=S大正方形-4S直角三角形=13-8=5,故选C.1探索勾股定理答案

C∵大正方形的面积为13,1探索勾股定理1142.(2016湖北荆门中考,4,★☆☆)如图1-1-10,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为

()

图1-1-10A.5

B.6

C.8

D.10答案

C因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,所以AD⊥BC,且BD=CD,

在Rt△ABD中,AB=5,AD=3,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=52-32=42,所以BD

=4,所以BC=2BD=8.1探索勾股定理2.(2016湖北荆门中考,4,★☆☆)如图1-1-10,在1153.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形纸片的两条直角边长

分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角

形都为等腰三角形,则

()A.m2+2mn+n2=0

B.m2-2mn+n2=0C.m2+2mn-n2=0

D.m2-2mn-n2=0答案

C根据题意画图,如图,在Rt△ABC中,n>m且△ABE和△AEC均

为等腰三角形,∴AB=BE=m,则AE=EC=n-m,根据勾股定理可得AE2=2AB2,即(n-m)2=2m2,整理得m2+2mn-n2=0,故选C.

1探索勾股定理3.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形纸片的116二、填空题4.(2017浙江丽水中考,15,★☆☆)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾

股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1-1-11①

所示.在图1-1-11②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为

2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为

.

图1-1-111探索勾股定理二、填空题图1-1-111探索勾股定理117答案10解析题图②中有8个全等的直角三角形,每个直角三角形的面积为(14

×14-2×2)÷8=(196-4)÷8=192÷8=24,则正方形EFGH的面积为24×4+2×2=96+4=100,∴正方形EFGH的边长为10.1探索勾股定理答案10解析题图②中有8个全等的直角三角形,每个直角三角1181.(2013贵州安顺中考改编,6,★★☆)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵

高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则

小鸟飞行

()

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米1探索勾股定理1.(2013贵州安顺中考改编,6,★★☆)如图,有两棵树,119答案

B如图,设大树高AB=10米,小树高CD=4米,

过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,∴EB=CD=