圆与圆的位置关系及圆的应用课件

§9.5圆与圆的位置关系及圆的应用第九章平面解析几何全国名校高考数学优质学案、专题汇编（附详解）§9.5圆与圆的位置关系及圆的应用第九章平面解析几何全国基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝

(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝

(r2>0).知识梳理

方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离_____________外切____________________d>r1＋r2d＝r1＋r2无解一组实数解圆与圆的位置关系知识梳理方法几何法：圆心距d与r1，r2相交_______________________________内切___________________________内含_______________________|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解相交____________________________圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.【知识拓展】圆与圆的位置关系的常用结论【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(

)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(

)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(

)基础自测××123456×题组一思考辨析基础自测××123456×题组二教材改编2.[P117练习T5]圆x2＋y2＋x－2y－20＝0与圆x2＋y2＝25的公共弦所在直线的方程为_____________.答案123456x－2y＋5＝0解析∵x2＋y2＋x－2y－20＝0，

①x2＋y2＝25，

②①－②得x－2y＋5＝0，∴公共弦所在直线的方程为x－2y＋5＝0.解析题组二教材改编答案123456x－2y＋5＝0解析∵x2即圆D：(x－3)2＋(y－3)2＝18.3.[P116例2]过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程为___________________.答案解析123456(x－3)2＋(y－3)2＝18解析圆C：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，设所求圆D：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆C与圆D切于原点，∴a＝b，∴圆D：(x－a)2＋(y－a)2＝r2，∵圆D过点A(0,6)和原点，即圆D：(x－3)2＋(y－3)2＝18.3.[P116例24.[P116练习T2]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0相切，则实数m的值为________.解析圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0即(x＋3)2＋(y－4)2＝25－m，解析答案123456－11或9由题意知，若两圆内切，则两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，若两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，所以m＝9或－11.4.[P116练习T2]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x题组三易错自纠

5.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为_____.解析答案123456得两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0.题组三易错自纠 解析答案123456得两圆公共弦所在的直线6.(优质试题·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB＝60°，则实数a的取值范围为______________.解析答案1234566.(优质试题·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知圆O：x2123456解析圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°，在Rt△PAO中，AO＝1，∴PO＝2，又圆M的半径等于1，圆心为M(a，a－4)，∴POmin＝MO－1，POmax＝MO＋1，123456解析圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆题型分类深度剖析题型分类深度剖析典例(1)(优质试题·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为______.题型一两圆位置关系的判定师生共研答案解析由题意，得圆N与圆M内切或内含，即MN≤ON－1⇒ON≥2，又ON≥OM－1，解析因此a的最小值为3.3典例(1)(优质试题·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为____.答案解析由圆C1与圆C2外切，解析(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(引申探究1.若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值.解答当且仅当a＝b时等号成立，引申探究1.若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的2.若将本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程.解答解由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，

①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，

②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程.2.若将本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论.思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为思维升华跟踪训练已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，当两圆外切时，解答跟踪训练已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2(2)m取何值时两圆内切；解答解当两圆内切时，因为定圆的半径

小于两圆圆心间距离5，(2)m取何值时两圆内切；解答解当两圆内切时，因为定圆的半(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解答解当m＝45时两圆相交，两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解典例已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点.(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；题型二两圆的公共弦问题师生共研解直线AB的方程为x2＋y2－10x－10y－(x2＋y2＋6x＋2y－40)＝0，即4x＋3y－10＝0.解答典例已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋(2)求AB的长.解由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，解答(2)求AB的长.解由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程.思维升华当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就跟踪训练(1)圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为______.答案解析解析由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，圆C1的半径为r1＝3，跟踪训练(1)圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，则公共弦所在直线的方程为__________.答案解析3x－2y＝0(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y解析圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，即(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径r1＝

；圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，即x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径r2＝

.∴圆C1与圆C2相交.由圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，

①圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，

②①－②得－6x＋4y＝0，即3x－2y＝0.∴两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＝0.解析圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，∴圆C1与圆C2相交命题点1利用两圆位置关系求参数典例如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是___________________.题型三圆的应用多维探究解析答案解析圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.命题点1利用两圆位置关系求参数题型三圆的应用多维探究解析命题点2圆的实际应用典例(优质试题·江苏如东高级中学期中)如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG＝50m.在观测点正前方10m处(即PD＝10m)有一个高为10m(即ED＝10m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.命题点2圆的实际应用(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；解答(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为解建系后，圆C的方程为x2＋(y－25)2＝252.设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，因为直线PF与圆C相切，即4x－3y＋200＝0.解建系后，圆C的方程为x2＋(y－25)2＝252.即4x(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为

，求该圆形标志物的半径.解答(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切解以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，圆C的方程为x2＋(y－r)2＝r2(r>0).由已知得直线PE的倾斜角为

.所以直线PF的方程为y＝

(x＋50)，即40x－9y＋2000＝0.解得r＝40或－62.5(舍).故该圆形标志物的半径为40m.解以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，所以直(1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1±r2的关系.(2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决.思维升华(1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径跟踪训练(优质试题·江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝

.(1)求新桥BC的长；解答跟踪训练(优质试题·江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建解如图，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F.∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，∴tan∠ABF＝tan∠BCO＝

.设AF＝4x(m)，则BF＝3x(m)，∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE＝AF＝4x(m)，EF＝AO＝60(m)，∴BE＝(3x＋60)m.解如图，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F解得x＝20.∴BE＝120m，CE＝90m.综上所述，BC＝150m.解得x＝20.(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解答(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解答解如图，设BC与⊙M切于点Q，延长QM，CO交于点P，∵∠POM＝∠PQC＝90°.∴∠PMO＝∠BCO.设⊙M的半径为R，解如图，设BC与⊙M切于点Q，延长QM，CO交于点P，设⊙∵A，O到⊙M上任一点的距离不少于80m，解得10≤x≤35.当且仅当x＝10时R取到最大值.∴当OM＝10m时，保护区面积最大，综上所述，当OM＝10m时，保护区面积最大.∵A，O到⊙M上任一点的距离不少于80m，解得10≤x≤3高考中与圆交汇问题的求解高频小考点与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.考点分析高考中与圆交汇问题的求解高频小考点与圆有关的最值问题及直线与一、与圆有关的最值问题典例1

(1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则

的最大值为____.解析答案7一、与圆有关的最值问题解析答案7解析∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，解析∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝

相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为______.解析答案(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝圆与圆的位置关系及圆的应用课件二、直线与圆的综合问题典例2

(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝_____.解析解析由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36.∴AB＝6.答案6二、直线与圆的综合问题解析解析由于直线x＋ay－1＝0是圆(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为_____________.解析解析由条件得圆心C(－1,0)，由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，得－1<x0<0或0<x0<2.答案(－1,0)∪(0,2)(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于三、圆与圆的位置关系问题典例3

在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是______________________.答案解析解析由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m－2)2＋4<16，三、圆与圆的位置关系问题答案解析解析由题意以A(2,2)为课时作业课时作业1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为_____.基础保分练12345678910111213141516解析答案又r1＝2，r2＝3，∴r2－r1＝1<d<r2＋r1＝5，∴两圆相交.相交1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝123456789101112131415162.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有_____条.解析答案解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).3123456789101112131415162.若点A(1123456789101112131415163.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是________.解析答案解析把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.123456789101112131415163.点P在圆C123456789101112131415164.过点P(1，

)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则＝____.解析由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，则OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.答案解析123456789101112131415164.过点P(1123456789101112131415165.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为________.答案解析解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，123456789101112131415165.已知圆C1123456789101112131415166.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____.解析答案解析圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，123456789101112131415166.在平面直角7.圆心M在曲线y2＝－18x上，圆M与y轴相切且与圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1外切，则圆M的方程为____________________________________.解析12345678910111213141516答案7.圆心M在曲线y2＝－18x上，圆M与y轴相切且与圆C：(解析设圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，12345678910111213141516圆心C(－2,3)，rc＝1，又圆M与圆C外切，则MC＝r＋rc，解得b＝3或b＝6.解析设圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，1234568.(优质试题·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若

≤20，则点P的横坐标的取值范围是__________.12345678910111213141516解析答案8.(优质试题·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,解析方法一因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，12345678910111213141516因为A(－12,0)，B(0,6)，解析方法一因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，123451234567891011121314151612345678910111213141516∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0.如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，∴点P在

上.12345678910111213141516∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即29.已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么

的最小值为__________.解析答案123456789101112131415169.已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为解析如图所示，设PA＝PB＝x(x＞0)，∠APO＝α，12345678910111213141516即x4－(1＋y)x2－y＝0.解析如图所示，1234567891011121314151因为x2是实数，所以Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)≥0，12345678910111213141516因为x2是实数，所以Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)10.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则

的最大值为________.解析12345678910111213141516答案10.在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x12345678910111213141516当且仅当P为直线y＝－x与圆在第二象限交点处取得.方法二设P(x，y)，又M(2,0)，N(0，－2)，＝x2－2x＋y2＋2y＝4－2(x－y).12345678910111213141516当且仅当P为直12345678910111213141516设x＝2cosθ，y＝2sinθ，令z＝4－2(x－y)，故z的几何意义为直线l：2y＝2x＋z－4在y轴上的截距加4.又点P(x，y)在圆上，所以当圆与直线l相切时，直线l在y轴上的截距最大，也就是z最大，12345678910111213141516设x＝2cos11.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_____.123456789101112131415164解析答案解析⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.又A，B关于OO1所在直线对称，∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，11.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝2解答12345678910111213141516解答1234567891011121314151612345678910111213141516∴圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设其圆心为(a，a)，∴a＝0，∴a2＋(a＋4)2＝16，∴圆O2的方程为x2＋y2＝16.12345678910111213141516∴圆O2的圆心(2)若圆O2过点C(4,0)，圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程.解答12345678910111213141516(2)若圆O2过点C(4,0)，圆O1，O2相交于点M，N，解∵圆O2过点(0，－4)，(4,0)，∴圆O2的圆心所在的直线为y＝－x，不妨设圆心坐标为(m，－m)，∵两圆在交点处的切线相互垂直，12345678910111213141516∴m＝－4，∴圆O2的方程为(x＋4)2＋(y－4)2＝80，圆O1与圆O2的方程相减整理得直线MN的方程为解∵圆O2过点(0，－4)，(4,0)，12345678913.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＝16，点M(1,0)，动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MP⊥MQ，则线段PQ的取值范围是__________________.12345678910111213141516解析答案技能提升练13.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C12345678910111213141516由MP⊥MQ，得x1x2＋y1y2＝x1＋x2－1＝2x－1，12345678910111213141516由MP⊥MQ，14.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是________.解析12345678910111213141516答案14.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝解析因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，12345678910111213141516化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2－1≤CD≤2＋1，解析因为圆心在直线y＝2x－4上，12345678910112345678910111213141516解得a∈R；12345678910111213141516解得a∈R；解析12345678910111213141516答案拓展冲刺练15.(优质试题·江苏常州第一中学、江阴南菁高中联考)已知P点为圆O1与圆O2的公共点，圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1，圆O2：(x－c)2＋(y－d)2＝d2＋1，若ac＝8，

，则点P与直线l：3x－4y－25＝0上任意一点M之间的距离的最小值为_____.2解析12345678910111213141516答案拓展冲12345678910111213141516从而两圆圆心O1(a，b)，O2(c，d)，原点三点共线，因为O1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1，O2：(x－c)2＋(y－d)2＝d2＋1，所以公共弦方程为(2c－2a)x＋(2d－2b)y＝c2－a2，12345678910111213141516从而两圆圆心O12345678910111213141516即2ax＋2kay＝a2＋8，即2ax＋2by＝a2＋8，因为圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1可化为x2＋y2＝2ax＋2by－a2＋1，所以x2＋y2＝9，所以点P为圆x2＋y2＝9上的点，且易知圆心O(0,0)，半径r＝3.12345678910111213141516即2ax＋2k12345678910111213141516所以点P(x，y)到直线3x－4y－25＝0的距离的最小值为2.此时，点P(x，y)与直线3x－4y－25＝0上任意一点M之间的距离的最小值为2.此时两圆重合，不符合题意.12345678910111213141516所以点P(x，(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；12345678910111213141516解答16.(优质试题·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，12345678910111213141516解圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0).解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.12345678910111213141516解圆M的方程12345678910111213141516解答(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；12345678910111213141516解答(2)设平解得m＝5或m＝－15.∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.12345678910111213141516解∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为解得m＝5或m＝－15.12345678910111213112345678910111213141516(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得

，求实数t的取值范围.解答12345678910111213141516(3)设点T(又∵P，Q为圆M上的两点，∴PQ≤2r＝10.12345678910111213141516又∵P，Q为圆M上的两点，∴PQ≤2r＝10.1234567§9.5圆与圆的位置关系及圆的应用第九章平面解析几何全国名校高考数学优质学案、专题汇编（附详解）§9.5圆与圆的位置关系及圆的应用第九章平面解析几何全国基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝

(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝

(r2>0).知识梳理

方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离_____________外切____________________d>r1＋r2d＝r1＋r2无解一组实数解圆与圆的位置关系知识梳理方法几何法：圆心距d与r1，r2相交_______________________________内切___________________________内含_______________________|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解相交____________________________圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.【知识拓展】圆与圆的位置关系的常用结论【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(

)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(

)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(

)基础自测××123456×题组一思考辨析基础自测××123456×题组二教材改编2.[P117练习T5]圆x2＋y2＋x－2y－20＝0与圆x2＋y2＝25的公共弦所在直线的方程为_____________.答案123456x－2y＋5＝0解析∵x2＋y2＋x－2y－20＝0，

①x2＋y2＝25，

②①－②得x－2y＋5＝0，∴公共弦所在直线的方程为x－2y＋5＝0.解析题组二教材改编答案123456x－2y＋5＝0解析∵x2即圆D：(x－3)2＋(y－3)2＝18.3.[P116例2]过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程为___________________.答案解析123456(x－3)2＋(y－3)2＝18解析圆C：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，设所求圆D：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆C与圆D切于原点，∴a＝b，∴圆D：(x－a)2＋(y－a)2＝r2，∵圆D过点A(0,6)和原点，即圆D：(x－3)2＋(y－3)2＝18.3.[P116例24.[P116练习T2]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0相切，则实数m的值为________.解析圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋m＝0即(x＋3)2＋(y－4)2＝25－m，解析答案123456－11或9由题意知，若两圆内切，则两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，若两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，所以m＝9或－11.4.[P116练习T2]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x题组三易错自纠

5.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为_____.解析答案123456得两圆公共弦所在的直线方程为x－y＋2＝0.题组三易错自纠 解析答案123456得两圆公共弦所在的直线6.(优质试题·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB＝60°，则实数a的取值范围为______________.解析答案1234566.(优质试题·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知圆O：x2123456解析圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°，在Rt△PAO中，AO＝1，∴PO＝2，又圆M的半径等于1，圆心为M(a，a－4)，∴POmin＝MO－1，POmax＝MO＋1，123456解析圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆题型分类深度剖析题型分类深度剖析典例(1)(优质试题·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为______.题型一两圆位置关系的判定师生共研答案解析由题意，得圆N与圆M内切或内含，即MN≤ON－1⇒ON≥2，又ON≥OM－1，解析因此a的最小值为3.3典例(1)(优质试题·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为____.答案解析由圆C1与圆C2外切，解析(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(引申探究1.若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值.解答当且仅当a＝b时等号成立，引申探究1.若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的2.若将本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程.解答解由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，

①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，

②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程.2.若将本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论.思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为思维升华跟踪训练已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，当两圆外切时，解答跟踪训练已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2(2)m取何值时两圆内切；解答解当两圆内切时，因为定圆的半径

小于两圆圆心间距离5，(2)m取何值时两圆内切；解答解当两圆内切时，因为定圆的半(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解答解当m＝45时两圆相交，两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解典例已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点.(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；题型二两圆的公共弦问题师生共研解直线AB的方程为x2＋y2－10x－10y－(x2＋y2＋6x＋2y－40)＝0，即4x＋3y－10＝0.解答典例已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋(2)求AB的长.解由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，解答(2)求AB的长.解由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程.思维升华当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就跟踪训练(1)圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为______.答案解析解析由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，圆C1的半径为r1＝3，跟踪训练(1)圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，则公共弦所在直线的方程为__________.答案解析3x－2y＝0(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y解析圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，即(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径r1＝

；圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，即x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径r2＝

.∴圆C1与圆C2相交.由圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，

①圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，

②①－②得－6x＋4y＝0，即3x－2y＝0.∴两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＝0.解析圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，∴圆C1与圆C2相交命题点1利用两圆位置关系求参数典例如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是___________________.题型三圆的应用多维探究解析答案解析圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.命题点1利用两圆位置关系求参数题型三圆的应用多维探究解析命题点2圆的实际应用典例(优质试题·江苏如东高级中学期中)如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG＝50m.在观测点正前方10m处(即PD＝10m)有一个高为10m(即ED＝10m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.命题点2圆的实际应用(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；解答(1)若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为x轴，G为解建系后，圆C的方程为x2＋(y－25)2＝252.设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，因为直线PF与圆C相切，即4x－3y＋200＝0.解建系后，圆C的方程为x2＋(y－25)2＝252.即4x(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为

，求该圆形标志物的半径.解答(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切解以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，圆C的方程为x2＋(y－r)2＝r2(r>0).由已知得直线PE的倾斜角为

.所以直线PF的方程为y＝

(x＋50)，即40x－9y＋2000＝0.解得r＝40或－62.5(舍).故该圆形标志物的半径为40m.解以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，所以直(1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1±r2的关系.(2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决.思维升华(1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径跟踪训练(优质试题·江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝

.(1)求新桥BC的长；解答跟踪训练(优质试题·江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建解如图，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F.∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，∴tan∠ABF＝tan∠BCO＝

.设AF＝4x(m)，则BF＝3x(m)，∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE＝AF＝4x(m)，EF＝AO＝60(m)，∴BE＝(3x＋60)m.解如图，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F解得x＝20.∴BE＝120m，CE＝90m.综上所述，BC＝150m.解得x＝20.(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解答(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解答解如图，设BC与⊙M切于点Q，延长QM，CO交于点P，∵∠POM＝∠PQC＝90°.∴∠PMO＝∠BCO.设⊙M的半径为R，解如图，设BC与⊙M切于点Q，延长QM，CO交于点P，设⊙∵A，O到⊙M上任一点的距离不少于80m，解得10≤x≤35.当且仅当x＝10时R取到最大值.∴当OM＝10m时，保护区面积最大，综上所述，当OM＝10m时，保护区面积最大.∵A，O到⊙M上任一点的距离不少于80m，解得10≤x≤3高考中与圆交汇问题的求解高频小考点与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.考点分析高考中与圆交汇问题的求解高频小考点与圆有关的最值问题及直线与一、与圆有关的最值问题典例1

(1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则

的最大值为____.解析答案7一、与圆有关的最值问题解析答案7解析∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，解析∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝

相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为______.解析答案(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝圆与圆的位置关系及圆的应用课件二、直线与圆的综合问题典例2

(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝_____.解析解析由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36.∴AB＝6.答案6二、直线与圆的综合问题解析解析由于直线x＋ay－1＝0是圆(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为_____________.解析解析由条件得圆心C(－1,0)，由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l，得－1<x0<0或0<x0<2.答案(－1,0)∪(0,2)(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于三、圆与圆的位置关系问题典例3

在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是______________________.答案解析解析由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m－2)2＋4<16，三、圆与圆的位置关系问题答案解析解析由题意以A(2,2)为课时作业课时作业1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为_____.基础保分练12345678910111213141516解析答案又r1＝2，r2＝3，∴r2－r1＝1<d<r2＋r1＝5，∴两圆相交.相交1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝123456789101112131415162.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有_____条.解析答案解析如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).3123456789101112131415162.若点A(1123456789101112131415163.点