2023学年度 正弦定理的应用答案

答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a则= A、2 B、2 C、 D、考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的sinA和sinB的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比．解答：解：∵asinAsinB+bcos2A=a∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A=sinA∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB=sinA∴==选D点评：本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．2、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=（） A、30° B、60° C、120° D、150°

点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算．3、△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（） A、 B、 C、 D、考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．解答：解：∵△ABC中∴根据正弦定理得∴故选B；点评：本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用4、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（） A、 B、2 C、 D、5、已知△ABC中，，，B=60°，那么角A等于（） A、135° B、90° C、45° D、30°考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．解答：解析：由正弦定理得：，∴A=45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A=45°故选C点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．6、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（） A、1 B、2 C、﹣1 D、考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用。专题：计算题。分析：方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围．解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c2﹣2bccosA得：3=1+c2﹣2c×1×cos=1+c2﹣c，∴c2﹣c﹣2=0，∴c=2或﹣1（舍）．解法二：（正弦定理）由=，得：=，∴sinB=，∵b＜a，∴B=，从而C=，∴c2=a2+b2=4，∴c=2．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握．7、在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（） A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、即不充分也不必要条件考点：正弦定理的应用；充要条件。专题：计算题。分析：先当p成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A=B=C判断出△ABC是等边三角形．推断出p是q的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得=2R，=2R，=2R，三者相等，进而可推断出p是q的必要条件，最后综合可得答案．

点评：本题主要考查了正弦定理的运用，充分条件，必要条件和充分必要的条件的判定．考查了学生分析问题和推理的能力．8、在△ABC中，若，则角B的大小为（） A、30° B、45° C、135° D、45°或135°考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinB的值，进而求出B，再由角B的范围确定最终答案．解答：解：由正弦定理得，∴B=45°或135°∵AC＜BC，∴B=45°，故选B．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．9、已知△ABC中，AB=2，，则△ABC的周长为（） A、 B、 C、 D、考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用。专题：计算题。分析：利用正弦定理表示出边a，b；利用三角形的内角和将周长表示为角A的三角函数；利用两角差的正弦公式展开、利用公式化简三角函数．

点评：本题考查三角形中的正弦定理、考查三角形的内角和为π、考查三角函数的两角和的正弦、余弦公式．10、在△ABC中，A=120°，b=1，面积为，则=（） A、 B、 C、 D、考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用。分析：先根据三角形的面积公式求出AB边的长，再由余弦定理可得边BC的长，最终根据正弦定理得到答案．解答：解：∵A=120°∴sinA=S=×1×|AB|×sinA=∴|AB|=4根据余弦定理可得：|BC|2=|AC|2+|AB|2﹣2|AC||AB|cosA=21∴|BC|=根据正弦定理可知：==2故选C．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．11、△ABC，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积为：（） A、 B、 C、 D、考点：正弦定理的应用；同角三角函数间的基本关系。专题：计算题。分析：先把题设中的等式平方后求得sin2A的值，进而根据sinA+cosA＞0推断出A的范围，进而确定A的值，最后利用三角形面积公式求得答案．

点评：本题主要考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．12、在△ABC中，A：B：C=1：2：3，那么三边之比a：b：c等于（） A、1：2：3 B、1：：2 C、3：2：1 D、2：：1考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：利用三角形的三角的内角和为180°，求出三角的大小，求出三角的正弦值，利用正弦定理求出三边的比．解答：解：∵A+B+C=180°∵A：B：C=1：2：3∴A=30°，B=60°C=90°∴sinA=，sinB=sinC=1由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：2故选B．点评：本题考查三角形的内角和为180°、三角形的正弦定理．13、在三角形ABC中，已知∠B=60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（） A、60° B、75° C、90° D、115°考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：设a为最大边．，根据题意求得的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得tnaA的值，进而求得A．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系．14、在△ABC中，若，则△ABC是（）． A、正三角形 B、有一内角为30°的等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、有一内角为30°的直角三角形考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：先利用正弦定理把题设中的边转化成角的正弦，整理求得sinB=cosB，sinC=cosC，进而分别求得B和C，则三角形的形状可判断．解答：解：∵，由正弦定理可知===1∴sinB=cosB，sinC=cosC∴B=，C=，∴A=∴△ABC是等腰直角三角形．故选C点评：本题主要考查而来正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．15、在△ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（） A、0＜C≤ B、0＜C＜ C、＜C＜ D、＜C≤考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cosC的表达式，根据b的范围求得cosC的范围，进而求得C的范围．解答：解：因为c=AB=1，a=BC=2，b=AC根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1＜b＜3，根据余弦定理cosC=（a2+b2﹣c2）=（4+b2﹣1）=（3+b2）=+=（﹣）2+≥所以0＜C≤30°故选A点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题的基本的推理能力．16、△ABC中，若A=60°，a=，则等于（） A、2 B、 C、 D、

17、在△ABC中，若==，则△ABC是（） A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形 D、等腰直角三角形考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：先根据正弦定理将边的关系变为角的关系，进而再由两角和与差的正弦公式确定B=C得到三角形是等腰三角形．解答：解：由=，得=．又=，∴=．∴=．∴sinAcosB=cosAsinB，sin（A﹣B）=0，A=B．同理B=C．∴△ABC是等边三角形．故选B．点评：本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式的应用．三角函数公式比较多，要对公式强化记忆．18、不解三角形，确定下列判断中正确的是（） A、a=4，b=5，tanA=2，tanB=3，a=1有一解 B、a=5，b=4，A=60°有两解 C、，，B=120°有一解 D、，，B=60°一个解考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：A不正确，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+c=4+1=5=b．B不正确，由正弦定理可得sinB=，再根据大边对大角知B＜A，故B只有一个，故C只有一个．C不正确，因为由于大边对大角，由a＞b可得A＞B=120°，这与三角形的内角和相矛盾．D正确，由正弦定理可得sinA=，且由大边对大角知A＜B=60°，故A只有一个，故三角形有一解．解答：解：A不正确，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+c=4+1=5=b，故这样的三角形不存在．B不正确，由正弦定理可得=，∴sinB=．再根据大边对大角知B＜A，故B只有一个，故C只有一个，故三角形有一解．C不正确，因为由于大边对大角，a＞b，∴A＞B=120°，故A+B＞240°，这与三角形的内角和相矛盾．D正确．由正弦定理可得，∴sinA=，且由大边对大角知A＜B=60°，故A只有一个，C只有一个，故三角形有一解．故选D．点评：本题考查正弦定理，大边对大角，根据角的正弦值确定角的范围，是解题的难点．19、在△ABC中，∠A=60°，a=，b=4，满足条件的△ABC（） A、无解 B、有解 C、有两解 D、不能确定

点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是通过正弦定理求得sinB，进而根据sinB的推断出三角形的解．20、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（） A、a=1，b=2，c=3 B、a=1，b=，∠A=30° C、a=1，b=2，∠A=100° D、b=c=1，∠B=45°考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c．B有2个解，由正弦定理可得sinB=，故B=45°，或B=135°．C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°．解答：解：A无解，因为三角形任意两边之和大于第三边，而这里a+b=c，故这样的三角形不存在．B有2个解，由正弦定理可得，∴sinB=，故B=45°，或B=135°．C无解，由于a＜b，∴A=100°＜B，∴A+B＞200°，这与三角形的内角和相矛盾．D有唯一解，∵b=c=1，∠B=45°，∴∠C=45°，∴∠A=90°，故有唯一解．故选D．点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的解的个数判断，根据三角函数的值求角．根据三角函数的值求角是解题的难点．二、填空题（共5小题）21、如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB=A1B1．若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为2．22、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数。专题：计算题。分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．解答：解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：点评：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．23、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A=．考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：通过正弦定理求出sinA的值，进而求出角A，再根据角A的范围得出结果．解答：解：由正弦定理得∴A=或∵a＜c故答案为：点评：本题主要考查正弦定理的应用．正弦定理是实现三角形中边角互化的常用方法．24、在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=2，则AB=．

25、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则a：b：c=5：7：8，∠B的大小是60°．考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用。专题：计算题。分析：先通过正弦定理求出a，b，c的关系，设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理，求出cos∠B的值，进而求出∠B．解答：解：由正弦定理得sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理cos∠B===∴∠B=．故答案为：5：7：8，点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解三角形的问题时，要灵活运用这两个定理．三、解答题（共5小题）26、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．

点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型．27、在△ABC中，a，b，c，分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos（B+C）=0，求边BC上的高．考点：正弦定理的应用；正弦定理。专题：计算题。分析：利用三角形的内角和180°，1+2cos（B+C）=0，求出A的正弦值，利用正弦定理，求出B的正弦值，然后求出C的正弦值，即可求出边BC上的高．解答：解：由1+2cos（B+C）=0，和A+B+C=180°所以cosA=，sinA=，由正弦定理得：sinB==由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜90°．从而cosB==由上述结果知sinC=sin（A+B）=，设边BC上的高为h则有h=bsinC=点评：本题是基础题，考查三角形的内角和，正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，常考题型．28、在△ABC中，．（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cosA=﹣，求sin的值．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用。专题：证明题。分析：（1）先根据正弦定理将边的比值转化为正弦值的比，交叉相乘后根据两角和与差的正弦公式可求出sin（B﹣C）=0．再由B，C的范围可判断B=C得证．（2）先根据（1）确定A，与B的关系，再由诱导公式可求出cos2B的值，然后由基本关系式可求sin2B的值最后由二倍角公式和两角和与差的正弦公式可求最后答案．解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=．于是sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0．因为﹣π＜B﹣C＜π，从而B﹣C=0．所以B=C；（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π﹣