()第七章解析几何与微分几何SECTION7

精品文档精品文档精品文档精品文档§7 平面曲线[曲线方程与正方向]曲线方程的形式直角坐标系隐 式 F(x,y)=0显 式 y=f(x)参数式 或(t为任意参数,s为曲线的弧长)极坐标系=()

曲线的正向x增加时,曲线上一点的运动方向t或s增加时,曲线上一点的运动方向增加(即逆时针方向)时,曲线上一点运动方向[曲线的切线与法线]QM时,MQM的切线,M并垂直于切线的直线称为法线.切线的正向就是曲线在切点处的正向,90°而得到的方向.[曲线的切矩、法矩、次切矩、次法矩与切线倾斜度公式]直角坐标系极坐标系图 形切距直角坐标系极坐标系图 形切距法距切线倾斜度tantan0/0

f(x0

),

0

).对于参数表达的曲线,表中ddy dxdt dttt0

y0.0[曲线的切线方程与法线方程]曲线方程F(x,y)=0y=f(x)=()

切线方程(MT) 法线方程(MN)表中分别表示

F,F

在点Mx,y的值,y0

,,0

y同前0 0

x y 0 0 [曲线的夹角] 两条相交于点

xy 的曲0 0线yf1

(x)和yf2

(x)在交点的切线斜率分别为kf(x1 1

和k2

f(x2

),其夹角称为两条曲线的夹角(图7.14),且ta

k k2 1 图[弧的微分]

1kk12

7.14曲线方程与图形曲线方程与图形dsy=f(x)=1y2dx22dt22d[曲率曲率半径曲率圆(或密切圆)与曲率中心的定义] 曲线上两点M和Q的切线正向MQ的夹角与弧长MQ

之比,当Q趋于M时的极限,即klim

daQMQ dsM的曲率,转动率.k>0时,表明曲线凹向朝法线的正向;k<0时表明曲线凹向朝法线的负向(7.15).R1dsF da称为曲线在点M的曲率半径.在曲线凹向的法线上截

图7.15MCR,则称C为曲线在点M的曲率中心,以C为圆,R为半径的圆称为曲线在点M的曲圆,又称为密切圆.C点的坐标为x xRsinxRdyC dsy yRcosyRdxC ds[曲率半径与曲率中心坐标的计算公式]设R为曲率半径,(x,yC C

)为曲率中心的坐标,则有1°F(x,y0时

3F'2F'22F''xxFF''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx y F' F'2F'2 F' F'2 F''xxF''F''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx yC

x x

y yFF''xxF''F'F''F''FxyF'F0xyxyyyx y

y x y2°曲线方程为y=f(x)时

3x xC

Ry'1y'2y''

1y'22 y yC

y1y'2y''y y R

2

2233 x xC

2

y yC

224°曲线方程为时 3R

2'2222'2''cos

2'2

cos'siC 22'2'' si

2'2

si'cosC 22'2''定义与图形方程与说明(定义与图形方程与说明(:y=f(x))等距线曲线上的每点沿在该点法线的一定方向(正负两个方向)移动等距离a得到新的点,这些点的轨迹XxΓ1,2Γ1(和Γ )称为曲线的等距线2yay'1y'2a1y'20式中正负号上边对应于Γx为参数的参数方程.如果为参数式方程xxt1,下边对应于Γ .2yytt为参数的方程渐屈线曲线上的每点的曲率中心

Γ1,2

Xxy

a2

0 C称为曲线曲线的法包线

2 y''线) Xxy'1 y''CCYy1y'2 y''x为参数的参数方程.形式表达的曲线的渐屈线的方程参见曲率中心的公式渐开线曲线对它的渐屈线C言,就是渐开线(或称渐伸线)设C的方程为y=f(x),则 Y=Y或XXxY

(x为参数)它是微分方程组 XY'1Y'2 x Y''定义与图形

1Y

f(x) Y''的解,式中Y'dYdx方程与说明(:y=f(x))精品文档精品文档其他形式表达的曲线的渐开线方程可由表示曲率中心的坐标的微分方程组而解出隐式Fy,0隐式渐开线的性质1°渐开线上任一点的法线与曲线

F

y,

(为参数)yfx,C相切 显式

(为参数)fx

f02°MM1 2

的曲率半径

x 的改变量等于相对应的曲线弧长,即 xMC MMC M2 2 1 1

参数式

) (为参数)1 2 y yt3°渐开线的等距线是和它一样的渐开线,它们仅仅是起点不同.

y

yx0t t消去得到不同形式的方程,它们所表示包络线与曲线族所有曲线都相切的的曲线称为判别曲线,包含包络线与由奇点曲线称为该曲线族的包络线 组成的曲线(例如,曲线族F(x,y,)=0上的F/x0,F/y0的轨迹为由奇点组成的曲线).F0都无奇点则判别曲线即是包络线例在圆盘周围绕上一根不会伸缩的细线,线端栓一支铅笔,拉紧线端A逐渐拉开,铅笔尖在纸上画出来的曲线就是圆的渐开线.这个圆称为渐开线的基圆.细线称为渐开线的发生线(图7.16(a)).现在来寻求渐开线的方程.O,a.开始画时,A点,取OAx轴(极轴),7.16(b).P的坐标为(x,y)或因为发生线原来对着圆心角精品文档 (a) （b）精品文档精品文档精品文档精品文档NA为+(=PON,在齿轮设计中,通称为压力角)的一段弧NA

,NP,NP的长是a(+),从直角三角形ONP得:OP= a

,又因tan

NP=+,由此得到圆的渐开线方程

cos ax a cos cosy

acos

sin式中是依赖于极角的,这个关系决定于tan.,把上式写为极坐标方程

acos

(单位为弧度)tan设t=+,可得直角坐标参数方程xtsintyttcost

(a为基圆半径)[雪列-弗莱纳公式]

dtn,

dntds R ds R式中t和n分别为曲线的切线和法线的单位矢量，s为弧长，R为曲率半径.[基本定理与自然方程在闭区间[a,b]（s，则除了在平面上的位s.kk（s）方程.[两条平面曲线构成n阶接触的概念与条件]设两条曲线C1和

有一共同点C2

上取一点M，从MC1

hdMO的距离（图7.17

h 0(MO)dn则称两条曲线C1

COn阶接触.2n阶接触的准则：

图 7.171

F（x,y）=0C2

的方程为x=x(t)，y=y(t)，并设在点t=t0（即O（x0

,y0

）Fx

Fy

0,x2(t0

)y2(t0

)0

COn阶接2触的充分必要条件是：

(t0

)(t0

) (n)(t0

)0式中(t)F[x