列联表检验p56数理统计教案

第4章假设检验参数估计与假设检验构成统计推断的两个组成部分.参数估计与假设检验都是由样本信息推断总体，提法与解决途径不同.参数估计是由样本对参数给出一个估计值（或置信区间）.

假设检验是由样本信息作出有较大把握的结论,在两个不相容

题中,以较大的把握选择其一.《数理统计》授课教案——第一节

基本概念X

10例1

某厂家向一百货商店长期供应某种货物，双方根据厂家的传统生产水平，定出质量标准，即若次品率超过

3%，则百货商店拒收该批货物。今有一批货物，随机抽43件检验，发现有次品2件，问应如何处理这批货物？总体：X

~

b(1,

p)产品为次品产品为合格需要对p作出推断两个互不相容命题：次品率p

≤3%备择假设H1

次品率p>3%原假设H0当总体分布形式已知，只对某些参数做出假设参数假设检验（parameterhypothesis）例2

某旅游公司注意到参加10日游的游客的旅游费服从均值为1010

(元),标准差为205

(元)的正态分布.今年对400位这类游客的

显示,平均每位游客的旅费是1250

(元)，问与去年相比,今年游客的费用是否有显著的变化?总体：游客的旅费X

~

N

(,

2

)两个互不相容命题：原假设

H0：=1010

备择假设

H1：

1010简单假设复合假设属于参数假设检验问题《数理统计》授课教案——例3

某推出一种感冒特效新药，为证明其疗效，选择200名患者为

。将他们均分为两组，分别

药或服药，观察三日后患者痊愈的情况，得出下列数据。痊愈者未痊愈者合计未服药者4852100服药者5644100合

计10496200问新药是否确有明显疗效？两个互不相容命题：原假设

H0

新药无效新药有效备择假设H1属于非参数假设检验问题小概率事件在一次试验中是不容易发生的.一、假设检验的基本思想统计推断中的小概率原理:例4

一南北向的交通干线,全长10公里,中间有一隧道,隧道南面3.5公里,北面6.5公里,在刚通车的一个月中,隧道南面发生了3起交通事故,而北面没有发生事故;是否可以认为南面比北面更容易发生交通事故?记

p

P某次事故恰发生在南面W

南面发生三起交通事故H0

:

p

0.35(机率相等)

H1

:

p

0.35(南面机率更高)如果H0

为真，PW

H0

0.35

0.0493在原假设下，W是一小概率事件，应该不易发生。既然它发生了，所以，有充足的理由否定原假设，即认为：南面更容易发生交通事故.以下例说明:《数理统计》授课教案——二、假设检验的基本步骤以例2来说明总体：游客的旅费X

~

N

(,

2

)1、提出统计假设备择假设H1：

1010原假设H0：=0

=10102、制定检验规则规则:

当

X

0c

时，

H0

;否则，接收H0

.域:

W

X1

,

X

2

,⋯,

Xn

:

X

0

c

=

X

0

c

称W

=

X

0

c

为接受域.

即当x1,

x2

,⋯,

xn

W

,作出

H0的判断；当x1,x2

,⋯,xn

W

,作出接收H0的判断；W和W唯一确定了一个检验法则(检验).3、选定显著性水平两类错误及其概率:如果H0为真，但样本观测值却落入了域中，即x1,x2

,⋯,xn

W

,由此作出了

H0的判断，这时，称犯了第一类错误；如果H1为真，但样本观测值却落入了接收域中，即x1,x2

,⋯,xn

W

,由此作出了接收H0的判断，这时，称犯了第二类错误；第一类错误的概率:

P

H0

H0为真Px1,⋯,xn

W H0

第二类错误的概率:

P接收H0

H1为真Px1,⋯,

xn

W

H1

P

X

1010

c

1010在例2中:

P

X

1010

c

1010两者关系:

ց

c

ր

ր

;

ր

c

ց

ց

;《数理统计》授课教案——这是一个普遍性的规律：在样本容量n给定的条件下,,中的一个减少必然导致另一个增大.Px1,⋯,

xn

W H0

Neyman

&

Pearson

提出一种折中方案:控制犯第一类错误的概率在一给定的水平下，即（为给定值）寻找使犯第二类错误的概率最小的检验，这样的检验叫一致最优检验(UMPUT).UMPUT大多数情况下不存在！！故实际中，常常只控制犯第一类错误的概率在一给定的水平下，而不管犯第二类错误的概率有多大.这样的检验称为显著性检验.定义：称满足

Px1,⋯,

xn

W H0为真

的检验是显著性水平为

的显著性检验,简称水平为

的检验.常取

0.05,

0.01,0,1等值.4、确定

域

200~

N

(0,1),X

~

N

,U

X

0例1中,由于在H0为真的条件下，,其中：

1010,

205,n称U为检验统计量.该检验称为U为检验与前面的枢轴量相比如何?《数理统计》授课教案——μ

0临界值临界值样本统计量域域1

-

接受域00Pn2nX

1c

H0

P0

X

0c

n

u1c

,

P

Uu

c

2

由P

X

000nnX

u1

U

u1

2

2

W

X

u1

2

域：W

或24001

205若取

0.05,

u

u

=1.96,c

u0.975

0.975

20.09域：W

U

1.96或

W

X1010

20.095、由样本观测值作出判断0.9750205

400例1中，X

1250,

X

0

=1250

1010

240

c

20.09或U

1250

1010

23.41

u

1.96，故作出H

的判断.《数理统计》授课教案——几点说明:1)

正因为

Px1,⋯,

xn

W H0

，是一个较小的概率，根据小概率原理：小概率事件在一次试验中是不H0”的容易发生的，故当x1,⋯,xnW时，作出“判断理由将是充分的。而概率

Px1,⋯,

xn

W

H1为真没有得到控制，可能很大(可以接近1

),故当x1,⋯,xn

W时，作出“接收H0”的判断理由将是不充分的。此时，准确的说法是：“不能

H0”，为避免给人造成逻辑

的印象，实际中还是称“接收H0”。2)由于在原假设下，发生x1,⋯,xn

W

是一个小概率事件，即“

H0”是不太容易的，故说明假设检验看一看

中的假设检验疑人无罪01、II

无同样的，对于嫌疑人

言采用不同的推

原则同人一定罪，只，若

嫌疑人

，那理由充分！）；若

嫌罪（理由

.权

错判一个

者，结果可能采用准则

是罪有应得能说法律上采用准则II，

是要充分

障比放掉一千个罪犯更恶劣！《数理统计》授课教案——1789年法国将无罪推定原则载入《

》，1948》肯定了无罪推定原法》第12条亦规定了无年 大会通过的《世界则。1996年我国修订的《刑事罪推定原则。2)将久已存在的、不能轻易被否定题作为原假设.根据假设检验的原理，提出假设时应注意以下原则：1）如果

想要强烈地支持某一命题，则应将这一命题作为备择假设，而把它的否命题作为原假设

.思考题：某乳制品厂生产一种奶粉，以往质量均符合国家标准，蛋白质平均含量不低于18.5%，这次从该厂生产的产品中随机抽取若干袋奶粉进行检测，以判断该厂目前产品质量是否可靠，问关于该厂奶粉中蛋白质平均含量的检验问题应如何选取？第二节

正态总体参数的假设检验从前面的

可知，对于设计一个检验，关键是构造一个检验统计量Tx1,x2

,⋯,xn

;0

，它需满足的一个必要条件是在H0成立时，分布为已知（有表可查），这一点与参数的区间估计很相似.实际上，参数的检验统计量，与相应参数区间估计的枢轴量形式上是相同的.基于这一点，

利用正态总体参数区间估计的枢轴量，来构造正态总体参数的假设检验.《数理统计》授课教案——参数假设的常见三种形式：a)

H0

:

0

H1

:

0b)

H0

:

0

H1

:

0c)

H0

:

0

H1

:

0形式a)称为双边（备择）假设检验，形式b)、c)称为单边检验；其中，称b)

为右边假设检验，称c)

为左边假设检验。一、单个正态总体情形21

niini1i1

X

)2n

1X

1

X值和方差分别为nnS

2

1

(

X设X

,⋯,

X

为总体X

~

N

(,

)的一个样本,样本均三种检验形式0检验的显著性水平取.1、均值

的假设检验a)

H0

:

0

H1

:

0b)

H0

:

0

H1

:

c)

H0

:

0

H1

:

0U

X

0

/

n1）2已知时检验统计量取(称该检验为U检验)《数理统计》授课教案——对检验问题a)，

域为：0nX

W

u1

U

u1

2

2

域的形式为：n对检验问题b)，

W

X

0

c

U

c

00Pn

nn

n

X

P

X

0

c

0

P

X

c

P

X

u

=

0

1-

且c

H

为真

n1-则检验问题b)的

域为：

W

X

u

U

u

1-

n1-类似

，得检验问题c)的

域为：

W

X

u

U

u

1-

1）2未知时T

X

0S

n用

的估计量S

代替

，采用作检验统计量（T检验法）.《数理统计》授课教案——0nX

S1

21

2W

t

(n

1)

T

t

(n

1)对于检验问题a)当原假设成立时,X

0S

n~

t

n

1X

0

S

n1

2

t

n

1

域满足:PS

nX

域的形式为:0

c,因此，

域为012201

2t

(tn1)1

2t

t(n

1)n1-1-类似地，检验问题b)的

域为：

W

X

t

(n

1)

T

t

(n

1)

Sn1-1-检验问题c)的

域为：W

X

t(n

1)

T

t(n

1)

S《数理统计》授课教案——例5

某种元件的X（以小时记）服从正态分布N

(,

2

),,

2

均未知。现测得16只元件的

如下：大于225（小时）？280

101

212

224

379

179

264222

362

168

250

149

260

485

170问是否有理由认为元件的平均（取显著性水平为0.05）解：按题意需检验S

n1(n

1).H0

:

0

225，

H1

:

225.域为：T

X

0

tn

16,

t0.95

(15)

1.7531.x

241.5,

s

98.72590.95(15).计算得：t

X

0

0.6685

1.7531

tS

nt没有落在

域内，故接受原假设，认为元件的平均

不大于225小时。来作进一步H1

:

225.如果作如下的左边检验H0

:

0

225，1域为：

T

X

0

t

(n

1).S

n0.95(15).计算得：t

X

0

0.6685

1.7531

tS

nt没有落在

域内，故接受原假设，认为元件的平均

不小于225小时。怎么出现了相反的结论？采信哪种结论？《数理统计》授课教案——2、方差

2

的假设检验三种检验形/p>

0

1020

H

:

H

:

a)

H

:

c)

H

:b)

H

:

H

:

2

20(

2

2

(n

1)S

2仅考虑未知情形，这时检验统计量取检验)20(n

1)S

2

(n

1)S2

20对于检验问题a)检验

域形式为:S2

c

,或S

2

c

;1

2等价于1

2

k

,

或

k

.在原假设H

0成立时,20n

1S

2~

2

n

12200(n

1)S

2n1

S

2

k1

2

,

P

k2

2为简便起见，取P

222020

21

2(n

1)S

2

(n

1),或(n

1)S

2

(n

1)域为：020(n

1)S

2(n

1)S

2k2

20P

H0

H0为真

P

2

k1,或2212

21

2n

1，k于是有

k

n

1。2221

2

212《数理统计》授课教案——对于检验问题b)域的形式为:S

2

c;等价于20(n

1)S

2

k.2201n

1

S

2

由P

k

,得k

n

1

2201-(n

1)S

2

(n

1)则域为：2020P0k

(n

1)S

2P0H H

为真220(n

1)S

2

(n

1)同理得检验问题C)的域为：2

2(n

1)S

2

(n

1)域：025

1

4.25

720.05

24

13.848,查表得：

14.57

13.848计算得：接受原假设，认为新品种的方差并不比对照组的小。例6一个园艺科学家正在培养一个新品种的苹果,这种苹果除了口感好和颜色鲜艳以外,另一个重要特征是单个重量差异不大(对照品种的方差

2

=7)。为了评估新苹果,她随机挑选了25个测试重量单位：克,其样本方差为S

2

4.25.在＝0.05下检验新品种是否比对照品种方差小?解：H0

:

7,

H1

:

72

2《数理统计》授课教案——二、两个正态总体情形222

21

n1

11m2

2

X

Y设X

,⋯,X

为总体X

~

N

(

,

)的一个样本,Y

,⋯,Y为总体X

~

N

(

,

)的一个样本,X

,Y

,S

,S

分别为第一、二个总体的样本均值和方差，在显著性下，对两总体的均值与方差间的差异 设检验.1、两总体均值比较的假设检验同样地，参数的假设应有三种形式，这里

仅给出形式a)：H0

:

1

=2

H1

:

1

2检验

域的形式为：X

Y

c以下针对几种情形分别加以221

21）

,

已知2122n

m

2

2

n m

X

Y

U

在H0为真时，X

Y

~

N

0,

1

2

,

从而~N

(0,1),选U

作检验统计量域

X

Y

c

等价于

U

k1

2

P

U

u

由

PU

k

H0为真12n

m2

21uX

YW

2

得该双边检验的域为12n

m2

2同理，右边检验的域为W

u1-

X

Y

2

2X

Y 1

2

u1-

W

n

m域为左边检验的《数理统计》授课教案——2221

22122==

,2）

未知，但

22=XYwS

2n

1

S

m

1

Sn

m

2其中wSn

mT

X

Y

~

t

n

m

21

1在H0为真时，选T

作检验统计量w1

1n

m12域

X

Y

c

等价于

T

k X

Y

t

(n

m

2)

S双边检验的域为

W

单边检验的域是什么？n

220,

x

2.46,m

205,

y

2.55,sX

0.57；sY

0.48wSn

m

t1

(n

m

2)1

1域为：X

Yn

mt0.95

423

u0.95

1.645,

sw

0.535,1

1

0.097wSn

m1

1计算得：

X

Y

1.733

1.645,从而原假设。例7：某厂使用两种不同的原料A,B生产同一类型产品。各

在一周的产品中取样分析。取用原料A生产的样品220件，

测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57（公斤）。取用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55（公斤），样本标准差为0.48（公斤）。设两样本独立，来自两个方差相同的独立正态总体。问在水平0.05下能否认为用原料B的产品平均重量较用原料A的为大。解：检验假设

H0:1

2

,H1:1

2《数理统计》授课教案——221

23）

,

未知，但n

m这类问题一般称为基于成对数据的检验

21

2

122i

i

i令

Z

X

Y

,

Z

X

Y i

1,⋯,

n

,则

Z

~

N

,

Z1,⋯,Zn可视为来自总体Z的样本，Z

X

Y

.这时的检验问题H0

:1

=2

H1

:1

2相当于单个正态总体方差未知时对均值的检验，即H0

:

Z

1

2

0

H1

:

Z

0ZT

~

t

n

1S

n221nii1SZ

(Z

Z

)n

1在H0为真时，

其中Z12SZ

n

Z

t

(n

1)双边检验的域为

W

土地

1

2

3

4

5

6789

10A(xi)

23

35

29

42392937

34

35

28B(yi)

26

39

35

40382436

27

41

27zi=xi-yi

-3

-4

-6

2

1517

-6

1问：以这两种

种植的谷物产量是否有显著的差异（取显著性水平为0.05)?解：这是一个基于成对数据的假设检验问题检验假设H0

:Z

0,H1

:Z

0分别将Z

,...,Z

的样本均值和样本方差的观测值记为z,s2

,1

n

Z《数理统计》授课教案——例8：为了试验两种不同谷物

的优劣，选取了十块土质不同的土地，并将每块土地分为面积相同的两部分，分别种植这两种

。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。n

10,查表得：t0.975

9

2.2622,z

0.2,sZ

4.442,计算得：

z

0.142

2.2622sZ

n接受原假设H0，认为两种 的产量没有显著差异。ZSZ

n1

2域为：t

(n

1)2、两总体方差比较的假设检验仅考虑参数的第一种假设检验形式：0212

221

122H

:

H

:

20

XYSS

2~

F

n

1,

m

1在H

成立时，

XYYS

2S

2S

2S

2域的形式为：

k1,或

Xk2

X

XYYS

2S

2S

2S

2

F1

2

(n

1,

m

1)因此，检验

域为：

F

2

(n

1,m

1),或设1,2未知P{

H012

2

212XYS

2SS2

S

2

Pk

2

YH0为真}

k

,或

X11

222XXSS22

k

S

2

S

2

k

,

P2 2

21

2 2

2

Y

Y取

P《数理统计》授课教案——

221

1

2

2

2

22

20

1

2

1

121

检验假设H

:设两机床生产的滚珠直径分别为X

,Y

,且X

N

,

,Y

N

,

,H

:

(=0.1)；2

检验假设H0:1

2

,H1:12(=0.1)；3检验假设H0:1

2

,H1:1

2(=0.1)。例9：两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠的直径(毫米)如下:甲机床

15.0

14.8

15.2

15.4

14.9

15.1

15.2

14.8乙机床

15.2

15.0

14.8

15.1

14.6

14.8

15.1

14.5

15.0

XY

YS

2S

2S

2

S

22220

121

122H

:H

:

=

,

的域为：

F

2

(n

1,

m

1),

或

X

F1

2

(n

1,

m

1)解：(1)当1,2未知时，检验3.73F0.95

8,7查表得：F0.95

7,8

3.50,

F0.05

7,8

1

1

0.268故接受原假设，认为方差没有显著差异。XYS

2

0.0575本题中n

8,

x

15.05,

S

2

0.0457；m

9,

y

14.9,2S

2S

2计算得：0.268

1

0.795

3.50《数理统计》授课教案——YS

2

0.0575n

8,

x

15.05,S

2y

14.9,wSn

m1

1计算得：X

Yn

m

1.354

1.3406,从而原假设。t0.9

15

1.3406,

Sw

0.228,

1

1

0.486wSn

m1t

(n

m

2)1

1X2

H0:1

2

,H1:1

0.0457；m

9,2的

域为：X

YwSn

m1

2X

Y1

13

H0:1

2

,H1:1

2的

域为：

t

(n

m

2)wSn

mX

Y1

1计算得：

1.354

t0.95

(15)

1.7531,从而接受原假设。补充：假设检验的p值检验法以上

的假设检验方法称为临界值法使用临界值法检验有时会出现这样的情况：在一个较大的显著性水平（比如

0.05）下得到原假设的结论，但在一个较小的显著性水平（比如

0.01）下却得到相反的结论．这种情况在理论上容易解释：因为显著性水平变小后会导致

域变小．但这在应用中会带来一些麻烦，人们往往要问：究竟取多大的显著性水平呢?定义：在一个假设检验问题中，利用观测值能够作出原假设的最小显著性水平称为检验的p值（probabilityvalue）．常用的统计

中，对假设检验一般都不是使用临界值法，而是给出检验问题的p值．《数理统计》授课教案——p值检验法有如下优点：它比较客观，避免了事先确定显著性水平；p值检验法比临界值法给出了有关

域的

信息．如何使用？？把计算出的检验的p值与人们心目中的显著性水平进行比较，从而作出检验的结论，具体为：1)

如果

p

,则在显著性水平下

H0；2）如果

p

,则在显著性水平下接受H0；前例中：H0:1

2

,H1:1

2wSn

m1(n

m

2)1

1的

域为：T

X

Y

twSn

m1

1计算得：X

Y

1.354

1.3406,从而原假设。n

mt0.9

15

1.3406,

Sw

0.228,1

1

0.486p值检验法：先计算出p

PT

1.354

0.0979,其中T

~

t(15)当

0.1时，由于

p

,故

原假设H0

;如果取

0.05时，由于p

,则应作出接受原假设H0的判断。《数理统计》授课教案——第三节非参数假设检验前面介绍的各种检验法都是在总体服从正态分布前提下，对参数进行假设检验的。实际中可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求

直接对总体分布提出一个假设

。例1

要检验在计算机上产生随机数的一个程序。指令该程序产生0到9之间的100个单个数字。观察整数的频数如下表。那么以0.05的显著性水平，有充分的理由相信该批整数不是均匀产生的吗？整数0123456789频数1187710108111414实际中还存在不是要对总体分布作出假设，而是在总体分布未知的情况下，对其它所关心的问题

设检验。例2

为比较一种新疗法对某种疾病的治疗效果，将40位患者随机地分为两组，每组20人，一组采用新疗法，另一组用原标准疗法，经过一段时间治疗后，对各患者的疗效作仔细评估且分为差、较差、一般、较好、好五个等级。两组中处于不同等级的患者人数如下表：等级差较差一般较好好新疗法组01973原疗法组221141由此结果能否认为新方法的疗效显著地优于原疗法？（α=0.05）上述这些检验问题都属于非参数假设检验《数理统计》授课教案——一、

2

拟合检验法对总体分布的假设检验一般是先提出如下假设：H0

:总体X的分布函数为F(x)，H1

:总体X的分布函数不是F(x)。注1：若总体X

为离散型，则H0相当于H0

:总体X的分布律为P{X

ti

}

pi

,i

1,2,...。若总体X

为连续型，则H0相当于H0

:总体X的概率密度为f(x)。注2：当H0中的总体X的分布函数F

(x)含有未知参数时，需要先用样本求出参数的最大似然估计,以估计值为参数值。对总体分布的检验方法很多，这里仅介绍Pearson的

2拟合优度检验法。先看一个例子：例3

19世纪，

据其遗传理论断言，当两个品种的豌豆杂交时，黄而圆的、青而圆的、黄而有角的、青而有角的这四类豆的频数将以比例9：3：3：1发生。实验中获得n=556颗豌豆，这四类豆的个数分别为315、108、101、32，这些数据能提供充分H

:

p

P(

X

1)

9

,

p

P(

X

2)

3

,0

1

2p

P(

X

3)

3

,

p

P(

X

4)

1

.3

4对该离散总体，定义X

=该理论吗？1

若豆子是黄而圆的若豆子是青而圆的

若豆子是黄而有角的若豆子是青而有角的分析：《数理统计》授课教案——i

1,⋯,

m.1.设总体X

取值的全体分成m个两两不相交的子集(类)A1,…,Am

.需检验总体分布是某个已知分布，即H0

:

PH

(

Ai

)

pi

,0这里假定pi

是已知值.mnpin

np

2

i

i

ci1以ni

(i

1,...,

m)记样本观察值x1

,…,

xn中落入Ai的个数（频数）.

则在n次试验中Ai发生的频率为

ni

n

.n1

…

nm

n.当H0为真时，理论频数npi

应与实际频数ni相差不大，故

域的形式应为问题的一般提法及

2拟合检验法的原理、步骤n

2npii1

npi

2

1

2

(m

1)(n

np

)2

i

ni1m

m

2

i

i

定理.若n充分大(n

50)，则当H0为真时，统计量近似服从

2

(m

1)分布。因此检验 域为进一步地，实际问题中，H0下pi

i

1,⋯,m可能并不已知是r个未知参数1

,⋯,r的函数，此时，自然想到，以参数的

MLEˆ

,⋯,ˆ

替代

,⋯,

，1

r

1

rnpˆ

i(n

npˆ

)2i

i~

2

(m

r

1)m

2

i1近似于是检验统计量为12

2

(m

r

1)因此检验域为《数理统计》授课教案——例3

(续)

19世纪，

据其遗传理论断言，当两个品种的豌豆杂交时，黄而圆的、青而圆的、黄而有角的、青而有角的这四类豆的频数将以比例9：3：3：1发生。实验中获得n=556颗豌豆，这四类豆的个数分别为315、

108、

101、32，这些数据能提供充分

该理论吗？解：0

123

416

1616

16H

:

p

P(

X

1)

9

,

p

P(

X

2)

3

,p

P(

X

3)

3

,

p

P(

X

4)

1

.豆子状态x1234实测频数ni31510810132概率pi9/163/163/161/16理论频数ni

pi312.75104.25104.2534.7520.950(ni

npi

)24

2

i1inp0.47

(4

1)

7.815,接受H

.例4

一千个人按和是否是色盲患者分类如下：按遗传学模型，应有相应的概率分布：男女正常442514色盲386男女正常p

2p2

2

pq色盲q

2q2

2其中：p

q

1上述数据是否支持该遗传学模型？

0.05解：H

:

p

p

2,⋯,

p

q20

1

42(p

是参数p的函数)i先求p的MLE，似然函数为2226

1

p2

p

442

p(2

p)

514

1

p

38L(

p)

2

《数理统计》授课教案——由d

ln

L(p)

0

MLE：pˆ

0.91dp

pˆ1

0.455,

pˆ2

0.49495,

pˆ3

0.045,

pˆ4

0.00405总体x取值1234实测频数ni442514386概率pˆi0.4550.494950.0450.00405理论频数ni

pˆi455495.95454.0520.950(ni

npˆi

)24

2

inpˆi13.056

(4

11)

5.991,接受H

.(m

4,

r

1,n

1000)认为观测数据与理论模型相符。

2拟合检验法应用于检验分布时注意总体X

是离散总体时，可把X的若干个取值合并成一类，使类A1,⋯,Am成为有限个类，且落入每一类中的频数ni不小于5.若总体X

是连续型时，可用适当的分点把实数域R划分为m个区间，

a1

⋯

am1

,即Ai

[ai1,ai

],i

1,⋯,m且落入每一区间中的观测值频数ni不小于5.pi

P

Ai

P

ai1

Xi

ai

F0

(ai

)

F0(ai1

)例5

下面列出了84个

(Etruscan)人男子的头颅的最大宽度(mm)，试检验这些数据是否来自正态总体（取α=0.1）《数理统计》授课教案——141148132138154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145解：为粗略了解数据的分布情况，先画出直方图《数理统计》授课教案——02

22H

:X的概率密度为f

(x)

1

e ,

-

x

2(

x143.8)2262fˆ(x)

1

e ,

x

2

6H

中,

未知，先求出其最大似然估计分别为0ˆ

143.8,

ˆ2

6.02

,此时X的概率密度的估计为从本例的直方图看，有一个峰，中间高，两头低，较对称，样本象来自正态总体。于是作如下检验：-

(

x-)2n

2i1i1

npi(n

np

)2

i

n

87.67

-

84

3.67m

m

2

i

i

220.91npi

(m

-

r

-1)

(2)

4.605

3.67故在水平0.1下接受H0,认为数据来自正态总体。Ainipˆinpˆ

in2

npˆi

iA1

x≤129.5A2

129.5<x≤134.5A3

134.5<x≤139