【疑难突破】与等比数列有关的数列求和

与等比数列有关的数列求和与等比数列有关的数列求和讲解数列求和要先求数列的通项公式，通过观察通项公式的特点，选择合适的求和方法．一般地，若{an}，{bn}中一个是等差数列，一个是等比数列，则常用错位相减法求数列{anbn}的前n项和，常用分组求和法求数列{an±bn}的前n项和．★注意各求和方法的使用条件及注意事项．在求该数列的前n项和时，常常将{anbn}的各项乘{bn}的公比q，并向后错位一项，与{anbn}中q的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求数列前n项和的方法称为错位相减法．与等比数列有关的数列求和错位相减法已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列中项数相同的项的乘积组成的新数列为{anbn}．若公比不确定，则需对其进行分类讨论．与等比数列有关的数列求和错位相减法求和过程如下：设数列{anbn}的前n项和是Sn，等差数列{an}的首项是a1，公差是d，等比数列{bn}的首项是b1，公比是q，则当q＝1时，Sn＝b1（a1＋a2＋…＋an）＝b1·

；当q≠1时，Sn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝a1b1＋a2b1q＋a3b1q2＋…＋anb1qn－1，qSn＝a1b1q＋a2b1q2＋a3b1q3＋…＋an－1b1qn－1＋anb1qn，∴Sn－qSn＝a1b1＋（a2－a1）b1q＋（a3－a2）b1q2＋…＋（an－an－1）b1qn－1－anb1qn．与等比数列有关的数列求和错位相减法求和过程如下：设数列{anbn}的前n项和是Sn，等差数列{an}的首项是a1，公差是d，等比数列{bn}的首项是b1，公比是q，则由等差数列的定义知a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d，∴（1－q）Sn＝a1b1＋db1q＋db1q2＋…＋db1qn－1－anb1qn＝a1b1＋db1（q＋q2＋…＋qn－1）－anb1qn，∵q≠1，∴与等比数列有关的数列求和例1设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4．（1）求{an}的通项公式；（2）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn．解析：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），解得q＝2或q＝－1（舍去）．则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，∴{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n．（2）Sn＝

＝2n＋1＋n2－2．与等比数列有关的数列求和例2已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1（n∈N*，且n≥2），a4＝81．解析：（1）由an＝2an－1＋2n－1（n∈N*，且n≥2），思路点拨：（1）由an＝2an－1＋2n－1及a4＝81，递推出a3，a2，a1的值．得a4＝2a3＋24－1＝81，得a3＝33，同理，得a2＝13，a1＝5．（1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；（2）若数列

为等差数列，求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和Sn．与等比数列有关的数列求和例2已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1（n∈N*，且n≥2），a4＝81．思路点拨：（2）利用等差数列的定义，求出p的值．（2）若数列

为等差数列，求实数p的值；解析：（2）∵数列

为等差数列，且（n≥2，n∈N*），∴

是与n无关的常数，∴1＋p＝0，即p＝－1．与等比数列有关的数列求和例2已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1（n∈N*，且n≥2），a4＝81．思路点拨：（3）求出an—→错位相减法求Sn．（3）求数列{an}的前n项和Sn．解析：（3）由（2）知，等差数列

的公差为1，∴an＝（n＋1）·2n＋1．∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋（n＋1）×2n＋n，与等比数列有关的数列求和例2已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1（n∈N*，且n≥2），a4＝81．（3）求数列{an}的前n项和Sn．记Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋（n＋1）×2n①，则2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋n×2n＋（n＋1）×2n＋1②，①－②，得－Tn＝2×2＋（22＋23＋…＋2