补充线性代数模型魔方

线性代数模型Durer

魔方植物

的分布常

的隐性疾病森林管理问题马氏链简介有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，其发展趋势。线性代数模型Durer

魔方德国著名的艺术家

Albrecht Durer

(1471--1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen

cotia

I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里

仅研究铜币右上角的数字问题。8967124151411

Durer

魔方特点:每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。四角之和、中间对边之和均为34。所出现的数是1至16的自然数。最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题:是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？0

6

1071定义如果4×4数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为

Durer

魔方。R=C=D=S你想构造Durer魔方吗？如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？2.Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合,记为

D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=4a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D

加法和数乘封闭，且构成一线性空间。记M={所有的4×4数字方}，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，则任一个Durer

可由这组基线性表示。由

0,1

数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8

个，记为Qi, i=1,2,…,8。1Q

=10000010000101002Q

=10000001010000103Q

=Q4=000110000010010000010100100000105Q

=00101000010000016Q

=01000010100000017Q

=00100100000110008Q

=0100000100101000

7

0易知则4

2

,,Q88

线性相关。0000000000000000r1

r2r6r5

r7r3

r4r3

r5r4

r7r1

r6r2r4

r6r2

r5r3r1

r7r7r1

r3r2

r4r5

r6而由

r1Q1

r2Q2

r3Q3

r4Q4

r5Q5

r6Q6

r7Q7

0=r1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

0,线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。结论：1.Durer方有无穷多个。2.Durer方可由,线性组合得到。Albrecht

Durer的数字方的构成：D

r1Q1

r2Q2

r1

r2r6r5

r7r3

r4r3

r5r4

r7r1

r6r2r4

r6r2

r5r3r1

r7r7r1

r3r2

r4r5

r6=8967124r1

8

r2

8,

r3

7D

8

2

7

4

35 6

4Q73.

Durer方的应用推广（1）要求数字方的所有数字都相等。G

rE,

r

R基为

E

1（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对角线数字和都相等。B基为510101010010101011P

01101001011010011001011010010110010110101010010111000011110000112P

3P

P4

P5

例22-3127621126712P

R=C=H=N=46H

主对角线，N付对角线数字和。（3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。8

Q。基为

2

,,Q7

,

N0

01-10000000000-110N0

D是Q的7维子空间。例679812657510967779P

R=C=D=30（4）要求行和、列和数字相等。

10W。基为,,N,,,N3,21010-110-10-10010-1100000100-1-100100001N

N2

0100100000010010N3

（5）对数字没有任何要求的数字方

16M空间

0

G

B

D

Q

W

M维数

0

1

5

7

8

10

16思考能否构造出其他维数的数字方？练习

完成下面的Durer方698597R=C=D=S=30R=C=D=S=100作业构造你自己认为有意义的Durer方。6798125586119467710植物

的分布设一农业

植物园中某植物的的

型为AA、Aa

和aa

。计划采用AA型的植物与每一种

型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种

型分布如何？1

建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的，形成了自己的对，对就确定了后代所表现的特征。常遗传的规律：后代是从每个亲体的形成自己的

对，即对中各继承一个

，型。如果考虑的遗传特征是由两个

A、a控制的，那末就有三种

对，记为AA、Aa

和

aa

。如草花的颜色是由两个遗传因子决定的，基因型为AA的

草开红花，Aa

型的开粉红花，而

aa型的开白花。人类眼睛的颜色也是通过常

来控制的。型为AA

，或Aa

型的人眼睛颜色为棕色，而aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA

，Aa表示同一外部特征，

认为基因A支配

a，即

a对A来说是隐性的。AA-AA父体AA-Aa AA-aa的Aa-Aa对Aa-aaaa-aa后代基因对AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21双亲体结合形成后代的型概率矩阵2

假设假设1an

,bn

,

cn分别表示第n代植物中

型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。an

bn

cn

1第n代植物的

型分布为,

n(n)

c

an

x

b,

0

0(0)

c

a0

x

b表示植物

n

型初始分布。型分布与第n代分布的假设2

植物中第n-1代关系由上表确定。父体

的

对AA-AA AA-Aa AA-aa后代基因对AA11/20Aa01/21aa000n1n1na

a

1

b2n1n

n12b

1

b

ccn

0an

bn

cn

13

建模

0

n1

n1

n

n

0

c

1

bn1

c

bn

0

a

1

1/

2

0

a1/

20n1n1na

a

1

b2n1n1n2b

1

b

ccn

0an

bn

cn

10

01

1/

2

0M

0

1/

2

10x(n)

Mx(n1)x(n)

Mx(n1)

M

2

x(n2)

M

3

x(n3)

M

n

x04

求解模型关键计算

M

nx(n)

M

n

x0

0

01

1/

2

0M

0

1/

2

10特征值为1，1/2，0，M可对角化，即可求出可逆对角矩阵P，使PMP-1为对角型矩阵。

0

0

1

1

0

1

0,

1,

2特征值为1，1/2，0的特征向量分别为则

1

01

0

1

P

0

1

200

01

0

0D

0

1/

2

00x(n)

M

n

x0

PDn

P1

x0x01

11

0

00

0

21

0

0

2

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1/

2n

10

0

0x01

11

0

00

0

21

0

0

2

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1/

2n

10

0

01/

2n1

x00

1

(1/

2n1

)

0

1

1

(1/

2n

)

0

1/

2n00

(1/

2n

)b

(1/

2n1

)c0

000

0

0

b

c

(1/

2n

)b

(1/

2n1

)c

0

a00

00n

n1

(1/

2n

)b

(1/

2n1

)c)c0

1

(1/

2

)b

(1/

200

00

0

(1/

2n

)b

(1/

2n1

)c1

(1/

2n

)b

(1/

2n1

)c

n

n

x(n)

cb

an

当n

时，

an

1,bn

0,bn

05

结论经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现AA型。父体

的

对AA-AA

Aa-Aa

aa-aa后代基因对AA11/40Aa01/20aa01/41练习题1若不选用AA型植物与每种植物结合的方案，而是采用将相同

型植物相结合，则情形怎样？在极限状态下，后代仅具有型

AA和aa。的

缺陷由父母代传遗传疾病是常给子代的疾病。常的隐性疾病常

遗传的正常

记为A，不正常记为a，并以AA、Aa

和aa

分别表示正常人，隐性患者和显性患者的一代人口中AA、Aa

和aa型。若在开始的型的人所占百分比为a0，b0，c0，

在下列两种情况下第n代的

型分布。1

控制结合：显性患者不能

后代，正常人与隐性患者必须与正常人结合

后代；2结合：这三种

的人任意结合后代。父体AA-AA的Aa-AA对后代对AA11/2Aa01/22n1n1na

a

1

b2n1nb

1

ban

bn

1

n1

n

b

0

an

1/

2

b1

1/

2

an1

x(n)

M

n

x0

PDn

P1

x0

1

0

11 1

0

11 1

1D

P

P0

1/

2

0

M

n

PDn

P1

1

00

1/

2

0

11 1

1

0

1 1

1

(1/

2)n

01(1/

2)n

b0

1

(1/

2)n

a0

1x(n)

n

0

(1/

2)

0

0

(1/

2)n

b1

(1/

2)n

b

当n

时，

an

1,bn

0,即经过足够长的时间后，隐性患者

。型的分布及变练习题2若采用随机结合的方式，各化趋势如何？在

，以镰状网性贫血症为例。如果

中有10%的人是隐性患者，在随机结合的情况下，计算隐性患者的概率从25%降到10%需要多少代？在控制结合下，经过这么多代，隐性患者的概率相应下降到多少？思考的政策中有一项控制近亲（指直系血缘关系在三代以内）结婚的限制。试用常

的隐

模型分析这项政策的深远意义。作业血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使停止。很有意思的是，虽然

和女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力。若已知某时刻的和女人的比例为1:1.2，试建立一个

这种遗传疾病逐代扩散的数学模型。森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。

希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。题目要求做什么确定设计变量和目标变量；确定目标函数的表达式；寻找约束条件。如果已判断该题是某类问题，按此类问题的要求寻找线索建模。如：优化模型森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。

希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。1

建模分析目标函数：被砍伐树木的经济价值。决策变量：被砍伐的树木的数量。约束条件：持续收获，总数不变。2

模型假设假设1

按高度将树木分为n类：第一类，高度为

[0,

h1)

幼苗，其经济价值

p1

0第k

类，高度为[hk

1,hk

)每棵树木的经济价值

pk1

k

n第

n类，高度为[hn1,

)

每棵树木的经济价值

pn记x1(t),

x2

(t),,

xn

(t)为第

t

年开始时森林中各类树木的数量。假设2每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。设

y1,

y2

,,

yn分别是第1，2，…，n类树木在采伐时砍伐的棵数。假设3

设森林中树木的总数是

s

，即x1(t)

x2

(t)

xn

(t)

s根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。假设4每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。设

gk是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则1

gk

是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。3

建模先看没有砍伐时树木生长规律x1(t

1)

(1

g1)x1(t),x2

(t

1)

g1x1(t)

(1

g2

)x2

(t),x3

(t

1)

g2

x2

(t)

(1

g3

)x3

(t),xn

(t

1)

gn1xn1(t)

xn

(t),变形，矩阵形式定义高度状态向量和生长矩阵：

x

(t)

x2

(t)

n

x1

(t)

x(t)

x

(t)

31

21n1n1g1

g1

g1G

g

1

g

g2

1

g3

则没有砍伐时树木生长方程为x(t

1)

Gx(t)再考虑有砍伐和补种时的情形根据问题的要求，要维持持续收获，即生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补种的幼苗数应等于生长期开始的量(1

g1)x1(t)

y1

z

x1(t),g1x1(t)

(1

g2

)x2

(t)

y2

x2

(t),g2

x2

(t)

(1

g3

)x3

(t)

y3

x3

(t),gn1xn1(t)

xn

(t)

yn

xn

(t),各式相加后，得

z

y1

y2

yny1

0,z

y2

yn(1

g1)x1(t)

y1

y1

y2

y3

yn

x1(t),g1x1(t)

(1

g2

)x2

(t)

y2

x2

(t),g2

x2

(t)

(1

g3

)x3

(t)

y3

x3

(t),gn1xn1(t)

xn

(t)

yn

xn

(t),再记

n

y

,y

y2

y1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

R

则Gx(t)

y

Ry

x(t)(1

g1)x1(t)

y1

z

x1(t),g1x1(t)

(1

g2

)x2

(t)

y2

x2

(t),g2

x2

(t)

(1

g3

)x3

(t)

y3

x3

(t),gn1xn1(t)

xn

(t)

yn

xn

(t),y2

y3

yn

g1x1y2

g1x1

g2

x2y3

g2

x2

g3

x3yn

gn1xn1所收获树木的价值f

(

y2

,

y3

,,

yn

)

p2

y2

p3

y3

pn

yng1x1

g2

x2

g3

x3

gn

xn

0

pn1)gn1xn1

p2

g1x1

(

p3

p2

)g2

x2

(

pn问题max

f

(

y2

,

y3

,,

yn

)s.t.

g1x1

g2

x2

g3

x3

gn

xnx1

x2

x3

xn

sxi

0,

i

1,2,,

n4模型求解利用线性规划的理论和方法，得如下结论：砍伐某一类树木而不砍伐其他类的树木时，可获得最大收益。利用这一结论，设被砍伐的树木为第

k

类，则yk

0,

y

j

0,

(

j

k,

j

1,2,,

n)根据所建模型，

xk

0,

xk

1

0,,

xn

0y2

y3

yn

g1x1

gk

1xk

1

gk

xkyky2

g1x1

g2

x2yk

1

gk

2

xk

2

gk

1xk

1yn

gn1xn1得

xk

0,

xk

1

0,,

xn1

0根据所建模型，k

1

gk

xk

gk

1xk

1yyk

g1x1g2

x2

g1x1gk

1xk

1

gk

2

xk

2

gk

1xk

1yk结果表明：森林从幼苗开始长到第

k

年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。从第k

年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。因此，森林中没有高于或等于

k

类高度的树木。问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？g2

x2

g1x1

g3

x3

g2

x2gk

1xk

1

gk

2

xk

212gx12

313g

g1

gx

x

x1g1k

1xgk

1x

由

x1

x2

xn

sgk

1g1g2

g3

g11

g11x

sfk

(

y2

,

y3

,,

yn

)

pk

yk

pk

g1x1gk

1g1

g2

g31

1

1

1pk

s当森林中各参数给定时，分别计算fk

的值，再比较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。yk

g1x1

gk

1g1

g2

g31

1

1

1s5

算例已知森林具有6

年的生长期，其参数如下。求出最优采伐策略。g1

0.28,

g2

02

50

p3

00解得f2

14.0s,

f3

故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。6

进一步思考持续养鱼问题企业持续发展问题经济（社会）持续发展问题马氏链简介（Markov

Chain）马氏链（Markov

Chain）是随机过程的一个特例，专门研究无后效条件下时间和状态均为离散的随机转移问题，但在建模过程中采用线性代数的方法，因此，也

性代数模型中来学习。马氏链简介—正则链（Regular

Chain）（一）商品的经营问题某商店每月

一次经营情况，其结果用销路好或销路坏这两种状况之一表示。已知如果本月销路好，下月仍保持这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变为销路好的概率为0.4。试分析假若开始时商店处于销路好的状况，那么经过若干月后能保持销路好的概率有多大？若开始时商店处于销路坏的状况呢？n0123410.50.450.4450.4445？00.50.550.5550.5555？1

分析110

102a

(n)

5

5510n

1011110n1

)

5101

5

(94a2

(n)

9n0123400.40.440.4440.4444？10.60.560.5560.5556？10n410

10241a

(n)

4

1011110n1

)

4101

4

(95a2

(n)

9表示销路坏；n

0,1,22

符号说明商店的经营状况是随机的，每月转变一次。建模目标是经过一段时间（若干月）后，经营状况如何，即经营好或经营坏的概率分别为多少？用随 量

X

n

表示第

n

个月的经营状况Xn

1

表示销路好；Xn

2X

n

称为这个经营系统的状态。用ai

n表示第

n

月处于状态

i

的概率，

i

1,2,即ai

n

PXn

iai

n

称为状态概率。pij

表示已知这月处于状态

i

，下月处于状态j的概率，i

,

j

1,2,

即

PXn1

j

|

Xn

ipijpij称为状态转移概率。状态及转移情况见图。0.50.40.50.6123

建模a1n

1

a1np11

a2

np21a2

n

1

a1np12

a2

np22an

a1

n,

a2

n

,an

1

anP22ijP

p

令

21 22

1

2

1

2p

pp12

p11n

1

a

,

a

n

1

a

n,

a

n

P

概率转移矩阵an

1

anP

an

1P2

a0Pn1an

a0Pn4

求解P

特征值为1，1/101

0

0

1/10D

14

1

1

5

Q

4

4

9 9

4

5

9 9

Q1

9

4

4

1

5

11

1

01Pn

99 9

4

5

1

40

10n

0.60.5

0.5P

0.4当

n

5

9 9

49

4

5

Pn

9a2

(n)

a1

(0)5

9 9

45

9 9

42a

(0)1a

(n)2a

(0)

(1

0)1a

(0)2a

(n)

(

41a

(n)2a

(0)

(01a

(0)5)9

95)9

92a

(n)

(

411)

a

(n)5

结论不论初始状态如何，经过相当长的时间后经营状态趋于稳定的概率。注意到经营系统在每个时期所处的状态是随机的，但从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各个时期的状态无关。这种性质称为无后效性，或马尔可夫（Markov）性，即已知现在，将来与历史无关。具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程，通常用马氏链（Markov

Chain）模型描述。马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域有广泛应用，不仅可以解决随机转移过程，还可以处理一些确定性系统的状态转移问题。一般地，一个行向量

P，当它的所有分量是非负，且行和为1，称此向量为概率向量。每行都为概率向量的矩阵，称为概率转移矩阵。P

0.5

0.50.4

0.6

可证明若A,B为概率转移矩阵，则AB也为概率转移矩阵。若P

为概率转移矩阵，则

Pn

也为概率转移矩阵。证明

若A,B为概率转移矩阵，

1,

bij

0, (i

1,2,,

n)

1,

aij

0nbijj

1naijj

1而AB=C的第

i

行，第

j列元素为

ainbnj

, (i,

j

1,2,,

n)cij

ai1b1

j

ai

2b2

j显然，cij

0

ain

bnj

), (i

1,2,,

n)nncij

(ai1b1

j

ai

2b2

jj

1

j

1

ain

bnj

), (i

1,2,,

n)nnj

1cij

(ai1b1

j

ai

2b2

jj

1n

nj

1

j

1

ai1

b1

j

ai

2

b2

jn

ain

bnjj

11

1

a定义1

一个有

k

个状态的马氏链如果存在正整数

N使从任意状态i

经过N

次转移都以大于零的概率到达状态

ji,j

1,2,,k

，则称为正则链。（0

指PN

的每一特点：从任意状态出发经过有限次转移都能到达另外的任意状态。定理1

若马氏链的转移矩阵为

P

，则它是正则链的充要条件是，存在正整数N

使P

N元素大于零）。（用这个定理检验一个马氏链是否为正则链。）定理2正则链存在唯一的极限状态概率

w

w1

,w2

,,wk

,w

又称为稳态概率。由k

wi

1i1nlim

Pn存在，记作

P

P

的每一行都是稳态概率w如果记}ijP

{

p那么，有i

wpij使得当n

时状态概率

an

w,w概率

a0

无关。an

1

anPwP

w,与初始状态由an

a0Pn上例中,

)w

(9

94

5

4

5

9

9

9

9

4

5

P从状态

i

出发经

n

次转移，第一次到达状态

j

的概率称为

i

到

j

的首达概率，记作

fij

n，于是

nfij

nijn1为由状态

i

第一次到达状态j

的平均转移次数。特别地，ij

是状态

i

首次返回的平均转移次数。与稳态概率

w

有密切关系，即ij定理3

对于正则链

1/

wiij（二）

信息

问题一条消息在

a1,a2

,n等人中

，传给

a3

,的方式是

a1传给

a2

,

a2如此继续下去，每次都是由

ai传给

ai1,每次即ai消息的失真率为

p, 0

p

1,将消息传给

ai1,

时，传错的概率为

p这样经过长时间

第n个人得知消息时，消息的真实程度如何？第n个人知道消息可能是真，也可能是假，有两种状态，记为Xn

1Xn

2表示消息假；表示消息真；n

0,1,2用ai

n表示第

n

个人处于状态

i

的概率，

i

1,2,即状态概率为

a(n)(a1n,a2

n)由题意，状态转移概率矩阵为p

1

pP

1

p

p

1

b

bP

1

a

a

由

0

p

1,P

为正则矩阵。an

a0Pn求w=?令

P

p

1

p1

p

p

设w

(w1,

w2)w

wPk

wi

1i1

b

1

b1

a

a

w

wP

(w1,

w2

)

((1

a)w1

bw2

,

aw1

(1b)w2

)w1

(1

a)w1

bw221w

w

12

1

2w

aw

(1

b)w得,w

(b

aa

b a

b)

w

(

1

,

1

)2

21/

21/

2nP

an

(1/

2,1/

2)1/

2

1/

2结论长时间

消息的真实性趋于稳定，且消息的真假概率各半。例1

中1/

2

11/

2P

2

/

5

1

2

/

52

/

51a

b

(1/

2)

(2

/

5)w

b

4992w

5练习迷宫问题（1）下面给出一个迷宫图。迷宫有两个分隔间，分别记为1，2。每个分隔间粉刷成不同的颜色，试验者把一只老鼠放在迷宫的某个分隔间内，不同的颜色对老鼠的吸引作用不同，从第i

个分隔间转移到第

j

个分隔的概率为

pi（j见后）0.7

0.3

0.5

0.5ijP

(

p

)

迷宫112随后，试验者周期地观察老鼠的位置。因为观察的时间是间断的，试验者不可能确定任何时刻老鼠的位置，但希望知道，不论运动过程如何，在经过较长的一段时间后，运动是否趋于稳定？三个分隔间的情形如何？0.7

0.20.4

0.30.2

0.3P

(

pij

)

0.3

0.5迷宫2123

0.112

12w

(

7

,

5

)w

(18

,

53

,

33

)61

122

122思考

迷宫问题（2）右图给出一个迷宫图。迷宫3231在第一个分隔间放进实物，其他两个分隔间粉成不同的颜色，老鼠可由一个分隔间到达其他分隔间，但当到达第一分隔间时，被实物吸引，不再运动到其他分隔间，已知转移矩阵P，长时间后，老鼠运动状态如何？二

吸收链(Absorbing

Chain)迷宫问题（2）问题经过n次观察后，老鼠处于各个分隔间的概率？长时间运动后，老鼠的运动状态如何？若再增加一个放食物的分隔间，情况又如何？1）分析n

1,2,Xi

(n),

i

1,2,3ai

(n),

i

1,2,3时间的离散性每个时段状态的随机性处于第

i个状态的概率0.4

0.3

1

0

0

P

(

pij

)

0.3

0.4

0.30.3若转移概率矩阵为P2

）马氏链模型an

a0Pn可以看出，老鼠从第2，3个分隔间可以以大于零的概率达到每个分隔间，但从第1个分隔间，不能以大于零的概率达到其他分隔间。猜测：最后老鼠停留在第1个分隔间。3）求解计算lim

an

a0lim

Pnn

n求PnSP

R

1

O记O

(0,0)

0.3R

0.30.30.4S

0.3

0.4

P

R S R

1

O

1

O221

S

R

SR

SO

S

R S

1

O

1

O

R

SRP

3O

32R

SR

S

R

S1O

n11R

SR

S

R

SnnP

O

n11(I

S

S

)R

Sn

1

0I

0

1nnlim

Pn

n

lim

(I

S

Sn)R

lim

S

n1O1nlim

Pn

nn

n

)R

lim

S

n1

lim

(I

S

SO1由于从第2，3个分隔间总是以大于零的概率达到第1个分隔间，0

00

0nnlim

S

O

又由(I

S)(I

S

Sn1

)

II

S

Sn1

(I

S)1记

F

I

S

S

n1

(I

S)1nnlim

P

FR O

1

O

(a1,

a2

,

a3

)

本例中

1

01

2

3FR

0(a

(0),

a

(0),

a

(0))SI)(

0.31

0.6

0.3

0.6

10.30.6

0.27

0.3

0.6

0.30.30.60.27

0.3

0.60.3

FR

111

1

031

2

3

1FR

0(a

,

a

,

a

)

(a

(0),

a

(0),

a

(0))

0121

0

0

(a1

(0),

a2

(0),

a3

(0))1

000

(1,0,0)4）结论

不论初始老鼠处在那个分隔间，长时间运动后，老鼠处在第1个分隔间的概率为1，其他的概率为零。状态1为吸收态，2，3为非吸收态。5）问题的进一步考虑增加一个放食物的分隔间。an

a0Pn

1000

0100

0.10.20.30.40.10.10.40.4P

注：1，2分隔间放食物，3，4

分隔间涂色。S

I

OP

R记

0

00.20.1O

R

0

0

0.1

0.10.4

0.3S

0.4

0.4O

n1I(I

S

S

)R

SnnP

F

I

S

S

n1

(I

S)10

0

O

0

0nlim

Sn

0.7

0.41

0.41

0.6

0.40.7

0.6

0.26

0.411

(I

S)

010.70.6

0.4FR

0.26

0.40

0

1

26

26nlim

P

(a1,

a2

,

a3

,

a4

)

(a初始(1,0,0,0)极限(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)26

26初始

极限(10

,

16

,0,0)26

26(

11

,

15

,0,0)结论若初始老鼠处在1，2分隔间，长时间运动后，老鼠仍处在1，2分隔间；若初始老鼠处在第3，4分隔间，则经长时间运动后，在分隔间3，4的概率为零，而以正概率分别进入1，2分隔间。即无论初始状态如何，经过长时间后，都将被吸收态吸收。

R S

OP

Irr其中，k

r

阶子方阵

S

的特征值

满足

1一般地定义2

转移概率

pii

1的状态

i

称为吸收状态。如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。吸收链的转移矩阵的标准形式：r

个吸收状态，t,(k

r)个非吸收态

SP

QIrrnO

n1

nI O

(I

S

S

)R

SS

n表示以任何非吸收态出发，经过n步转移后，到达

t

个非吸收状态的转移概率。定义从状态

i出发经n

次转移，第一次到达状态

j

的概率称为

i

到

j

的首达概率，记作bij

n，于是

nbij

nn1ij为由状态

i

第一次到达状态

j

的平均转移次数。定理4对于吸收链

P

的标准形式（上面矩阵），记列向量

e

1,1,,1T，则I

S

可逆，且

F

I

S

1

S

i

（基矩阵）i0F中的每个元素，表示从任何非吸收状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次数；y

Fe

的第i

分量是从第

i

个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收的平均转移次数。设状态

i

是非吸收状态，j

是吸收状态，那么首达概率bij

n实际是

i

经n

次转移被j

吸收的概率，而

bij

nbijn1则是从非吸收状态

i

出发最终将被吸收状态j

吸收的概率。记

B

{bij

}k

r

r

，下面的定理给出了计算bij的方法。定理5设吸收链的转移矩阵P表为标准形式，则B

FR练习智力竞赛问题甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则为：竞赛开始时，甲、乙两队各记2分，在抢答问题时，如果甲队赢得1分，那么甲队的总分将累加1分，同时乙队总分将减少1分。当甲（或乙）队总分达到4分时，竞赛结束，甲（或乙）获胜。甲队获胜的概率是多少？竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数是多少？（３）甲队获得１，２，３分的平均次数是多少？1）分析n

0,1,2,i

0,1,2,3,4

每轮得分情况表示轮数i

0,1,

2,

3,

4P

(

pij

)

甲Xi

(n),ai

(n),转移概率矩阵设甲得1分的概率为

p0处于第

i个状态的概率1

2

3

4

1

0

0

0 0

01

p

0

p

0 0

10

1

p

0

p

0

20

0

1

p

00

0

0

0p

31

4P

1

p0

4

1

2

31

0

0

00

1

0

00

0

p0

0 1

p

00

p

0 1

p0

00

40

1p

20

3

0I

1

0

1p

R

0 0

01

p

0

00

0p

0

S

1

p

0

p

1

p0

0

00

0O

0O

n1I(I

S

S

)R

SnnP

00

0

11

0F

(I

S)1

01

0

0

0

p

1

0

1

p

0

p

0

1

p1

0

1

p

1